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上海市浦东新区2015届高三4月教学质量检测数学理试题

2015 年浦东新区第二次高三数学质量检测 数学试卷(理科) 注意:1.答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共 23 道试题,满分 150,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分);考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 3 x ? 2 的解为 .. 2.设 i 是虚数单位,复数 ? a ? 3i ??1 ? i ? 是实数,则实数 a ? . ?1 ? 1 2 ? 3.已知一个关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ? ? ,则 x ? y ? ?0 1 2? . 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,则该数列的通项公式 an ? 1? ? 5.已知 ? x 2 ? ? 展开式中二项式系数之和为 1024,则含 x 2 项的系数为 x? ? n . .0 6.已知直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 ? x ? 1? ? y2 ? r 2 圆相切,则该圆的半径大小为 2 . 7.在极坐标系中,已知圆 ? ? 2r sin ? ? r ? 0? 上的任意一点 M ? ? ,? ? 与点 N ? 2, ? ? 之间的最小距离为 1, 则r ? . 8.若对任意 x ? R ,不等式 sin 2 x ? 2sin 2 x ? m ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 . 2 9.已知球的表面积为 64? cm ,用一个平面截球,使截面球的半径为 2 cm ,则截面与球心的距离是 cm 1 10.已知随机变量 ? 分别取 1、2 和 3,其中概率 p ?? ? 1? 与 p ?? ? 3? 相等,且方差 D? ? ,则概率 3 p ?? ? 2? 的值为 2 . . 11.若函数 f ? x ? ? x2 ? x 3 ? 4 的零点 m ? ? a, a ? 1? , a 为整数,则所以满足条件 a 的值为 12.若正项数列 ?an ? 是以 q 为公比的等比数列,已知该数列的每一项 a k 的值都大于从 ak ? 2 开始的各项 和,则公比 q 的取值范围是 . 13.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 、公比 q 是关于 x 的方程 ?t ? 1? x2 ? 2x ? ? 2t ? 1? ? 0 的实数解,若数列 ?an ? 有且只有一个,则实数 t 的取值集合为 . 14.给定函数 f ? x ? 和 g ? x ? ,若存在实常数 k , b ,使得函数 f ? x ? 和 g ? x ? 对其公共定义域 D 上的任何 实数 x 分别满足 f ? x ? ? kx ? b 和 g ? x ? ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的“隔离直 线”.给出下列四组函数: 1 1 ① f ? x ? ? x ? 1, g ? x ? ? sin x ;② f ? x ? ? x3 , g ? x ? ? ? ; 2 x 1 1 ③ f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? lg x ;④ f ? x ? ? 2x ? x , g ? x ? ? x x 2 其中函数 f ? x ? 和 g ? x ? 存在“隔离直线”的序号是 . 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分);每小题给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确 的,考生应在答题纸相应的位置上,选对得 5 分,否则一律不得分. 1 1 15.已知 a , b 都是实数,那么“ 0 ? a ? b ”是“ ? ”的 ( ) a b A.充分不必要条件 C.充要条件 ( ) A. 平行 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 16. 平面 ? 上存在不同的三点到平面 ? 的距离相等且不为零,则平面 ? 与平面 ? 的位置关系是 B. 相交 C. 平行或重合 D. 平行或相交 17.若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 3 没有公共点,设点 P 的坐标 ? a, b ? ,那过点 P 的一条直线与椭 圆 x2 y 2 ? ? 1 的公共点的个数为 4 3 A. 0 B. 1 C. 2 ( ) D. 1 或 2 18.如图,正方体 PP 1,2,3,4?? , 1 2P 3P 4 ?Q 1Q2 Q3Q4 的棱长为 1,设 x ? PQ 1 1?SiTj , Si , Tj ? P i , Qj , ?i, j ?? 对于下列命题: x ?1; ①当 SiTj ? PQ i i 时, P1 ? ? ?? P4 P2 P3 ②当 x ? 0 时, ? i, j ? 有 12 种不同取值; Q4 Q3 Q2 ③当 x ? ? 1 时, ? i, j ? 有 16 种不同的取值; ④ x 的值仅为 ?1, 0,1 . 其中正确的命题是 A. ①② B. ①④ Q1 ( C. ①③④ D. ①②③④ ) 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分):解答下列各题必须在答题纸的相应位置上,写出必要 的步骤. 19. (本大题共有 2 个小题,满分 12 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 已知函数 f ? x ? ? x ? a , ? x ? 0 ? , a 为实数. x (1)当 a ? ? 1 时,判断函数 y ? f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的单调性,并加以证明; (2)根据实数 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ? x ? 的最小值. 20. (本大题共有 2 个小题,满分 12 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面正方形 ABCD 为边长为 2, PA ? 底面 ABCD ,

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