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高一数学空间中直线与直线之间的位置关系

高一年级数学必修2
2.1 空间中直线与直线之间的位置关系

知识回顾

平面的基本性质

公理1 如果一条直线上的两点在一个 平面内,那么这条直线在此平面内.

A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? ? l ? ?
公理1的作用:
A . B .

α

判断直线是否在平面内.

知识回顾

公理2 过不在一条直线上的三点,有 且只有一个平面.

“不共线的三点确定一个平面”

A、B、C不共线 ? A、B、C确定平面?

B



. A . C

知识回顾

公理2推论1: 经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面.
B A

a

C

知识回顾

推论2: 经过两条相交直线,有且只有一个 平面.
a α b

推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个 平面.
a
α

b

公理2及三个推论的作用: 确定一个平面的依据. 下列哪些图形不一定是平面图形: A.四边相等的四边形 C. 菱形 B. 三角形 D. 梯形

E. 圆

知识回顾

公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条过该 ? 点的公共直线.
?
P
l

P ?? , 且P ? ? ? ? ? ? ? l , 且P ? l
确定两平面相交的依据,判断多点共 线的依据.

问题提出

D1

C1

A1
D

B1
C
B

A

探究新知(一)

异面直线: 我们把不同在任何一个平面内的 两条直线.
空间两条直线的位置关系: 相交直线 共面直线 平行直线 异面直线

空间两条直线的位置关系有以下三种:
位置关系 公共点个数 共面情况 相交直线 在同一平面内有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没有 不同在任何 异面直线 没有 一平面内

为了表示异面直线a,b不共面的特 点,作图时,通常用一个或两个平面衬 托,如图.
a
b
A

a
b

a b

探究新知(二)

取一块长方形纸板ABCD,E,F分别为 AB,CD的中点,将纸板沿EF折起,在空间 中直线AD与BC的位置关系如何 ?
D C F D F

A B

C E

B

E

A

平行公理

公理4

平行于同一直线的两条直线 互相平行.

a∥b ? ? 用符号可表示为: ? ? a∥c b∥c ? ?

公理4叫做三线平行公理,它说明空间 平行直线具有传递性.

探究新知(三) 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是 平行四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何 ?
C' B' A' C C' D' C D A

B' A'
B

D' D

B
A

等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补. 方向都相同或相反------相等

一边方向相同一边方向相反------互补

两条异面直线的夹角
如图: a, b是两条异面直线, 经过空间任意一点O, 作直线a`// a, b`// b, 我们把直线a`和b`所成的锐角 (或直角)叫做 异面直线 a, b 所成的角 .

b
?

b`
?

b

a

O

a`

a` ? a

O

?

思考:异面直线的夹角的范围是多少呢?

实例讲解

例1 如图是一个正方体的表面展开图,如果
将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这 四条线段所在直线是异面直线的有多少对?
C G D H A H B G C A D

B

F

E F E

C G

A

A C B G

D

D
H E F

H

FB

E

例2 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知E、F分别是AB、BC的中点, 求证:EF∥A1C1.
D1

C1 B1

A1

D F A E B

C

例3 已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱CD、C1D1的中点. 求证:∠A1E1B1=∠AEB.
E

C
A

B C1 B1

D

E1 D1 A1

例 4 已知ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长为

?1?正方体的哪些棱所在的直线与直
线BC1是异面直线 ?

a 的正方体 ?图1 ? 2 ? 22 ?.

?2?求异面直线AA1与BC 所成的角; ?3?求异面直线BC1和AC所成的角.D1
A1 B1

C1

D

C

A

B

课后作业

1.教材第48页 练习第1、2题 教材第51页 习题2.1第3题

2.学海第二章第2课时


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