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必修二 空间几何体和点线面之间的位置关系 解答题集锦

必修二 空间几何体和点线面之间的位置关系 解答题集锦
1、已知 E , F , G , H 为空间四边形 A B C D 的边 A B , B C , C D , D A 上的点,且 E H // F G .求证: E H // B D .
A

E

H D F G C

B

2、正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, M 是 A A1 的中点.求证:平面 M B D ? 平面 B D C

3、 如图:S 是平行四边形 A B C D 平面外一点,M , N 分别是 SA , B D 上的点, 且 平面 SB C

AM SM

=

BN ND

, 求证:M N //

4. 已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 M,N 分别是 AB,PC 的中点. 求证:MN∥平面 PAD;

5、 在三棱锥 S ? A B C 中, A B C 是边长为 4 的正三角形, △ 平面 S A C ? 平面 A B C , S A ? S C ? 2 3 ,M 、
N 分别为 A B , SB 的中点。

(Ⅰ)证明: A C ⊥ SB ; (Ⅱ)求二面角 N - C M - B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 C M N 的距离。

1

6.已知 p 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, ,M,N 分别是 AB,PC 的中点, (1.)求证,MN//平面 PAD (2)若 MN=BC=4,PA=4 根号 3,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小 . P 7 如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC 求证:AB⊥BC A B 8、已知 ? A B C 中 ? A C B ? 9 0 , S A ? 面 A B C , A D ? SC ,求证: A D ? 面 SB C .(12 分)
S
?

C

D B C

A

9.在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,已知 DA ? DC ? 4 , 值 。.

DD 1 ? 3 ,求异面直线 A1 B 与 B 1 C 所成角的余弦

10.如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, P A ? 底面 A B C D , A B ? A D, A C ? C D,
? A B C ? 60 ° , P A ? A B ? B C , E 是 P C 的中点.

(Ⅰ)求 P B 和平面 P A D 所成的角的大小; (Ⅱ)证明 A E ? 平面 P C D ; (Ⅲ)求二面角 A ? P D ? C 的正弦值.

P E A B
C

D

11.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面角 A-BC-D 的正弦值; (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ?,猜想 ??为何值时,四面体 A-BCD 的体积最大.(不要求证明)

2

11. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点,连结 ED,EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

12、如图,a∥α ,A 是 α 另一侧的点,B、C、D∈a,线段 AB、AC、AD 交 α 于 E、F、G 点, 若 BD=4,CF=4,AF=5,求 EG.(12)

13、如图 8,E、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、AD 的中点,平面 α 过 EH 分别交 BC、CD 于 F、G.求证:EH∥FG.(12)

14.正方体 ABCDA1B1C1D1 中. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小

15. (14 分)已知四棱台上,下底面对应边分别是 a,b,试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之 比.

3

16. (12 分)已知正方方体 ABCD ? A ' B 1 C 1 D 1 , 求: (1)异面直线 BA 1 和 CC 1 的夹角是多少? (2) A 1 B 和平面 CDA 1 B 1 所成的角?
A1

D1 B1

C1

D

C B

(3)平面 CDA 1 B 1 和平面 ABCD 所成二面角的大小?
A

17.如图,在三棱锥 P—ABC 中,PA 垂直于平面 ABC,AC ? BC. 求证:BC ? 平面 PAC.

P

C A B

18.如图: AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A , B 的任意一点,求证:
BC ? 平面 PAC

P

C A O B

19.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行四边形.求证:MN∥ 平面 PAD.
P

N

D

C

A M

B

20 如图正方形 ABCD 中,O 为中心,PO⊥面 ABCD,E 是 PC 中点, 求证: (1)PA ||平面 BDE; (2)面 PAC⊥面 BDE.

4

21 如图,

在四棱锥 PABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, =AD, BAD=60° E, 分别是 AP, 的中点. AB ∠ , F AD 求 证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

22 如图

所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为 PC、BD 的中点,侧 面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD. 2 AD. 2

23(14 分)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 = 2 , D 是 A1B1 中点. (1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论.

5

24.在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中 , E 、 F 分 别 是 B B 1 、 C D 的 中 点 (1)证明: A D ? D 1 F ; (2)求 A E 与 D 1 F 所成的角; (3)证明: 面 A E D ? 面 A 1 F D 1 .

25*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°, SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;? (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)
1 2



26*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个棱柱的体积.(提示: 在 AA1 上取一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)

27、已知圆台的上下底面半径分别是 2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.

28 一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工 成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12 分)

E

10 5 x
D O A B F C

6

29、已知正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 , O 是底 A B C D 对角线的交点. 求证: (1) C 1 O ∥面 A B1 D 1 ;
A1 D1 B1 C1

(2 ) A1C ? 面 A B1 D 1 .

(14 分)
D O A B C

30、已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且
AE AC ? AF AD ? ? (0 ? ? ? 1).
A

(Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD? (14 分)

E C F

B

D

31 如下图,已知 ABCD 是矩形,E 是以 CD 为直径的半圆周上一点,且面 CDE⊥面 ABCD.

求证:CE⊥平面 ADE.

32 求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形. 已知:如图,三棱锥 S—ABC,SC∥截面 EFGH,AB∥截面 EFGH. 求证:截面 EFGH 是平行四边形.

33 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a, N 分别为 A1B 和 AC 上的点, 1M=AN= M、 A

2 a, 如图. 3

(1)求证:MN∥面 BB1C1C; (2)求 MN 的长.
7

33.如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120° ,P,Q 分别为 AE,AB 的中点.

(1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值.

34.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥面 ACD. (2)平面 EFC⊥平面 BCD.

35.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC =90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点.

(1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B—DEF 的体积. E 36.在如图所 示的几何体中,四边形 A B C D 为平行四边形,
? A C B ? 9 0 ? , E A ⊥平面 A B C D , E F ∥ A B , FG ∥ BC , EG ∥ AC , AB ? 2 EF .

F

G M A D

(Ⅰ)若 M 是线段 A D 的中点,求证: G M ∥平面 A B F E ;

B

C

8

(Ⅱ)若 A C ? B C ? 2 A E ,求二面角 A ? B F ? C 的大小.

?
3

37 在如图所示的几何体中,四边形 A B C D 是等腰梯形, A B
? D AB ? 60 , FC ?
ABCD , AE ? BD , CB ? CD ? CF .
?



CD







(Ⅰ)求证: B D ? 平面 A E D ; (Ⅱ)求二面角 F ? B D ? C 的余弦值.

38 如图,几何体 E

? ABCD

是四棱锥,△ A B D 为正三角形, C B

? CD , EC ? BD

.

(Ⅰ)求证: BE ? D E ; (Ⅱ)若∠ B C D
? 120 ?

,M 为线段 AE 的中点,

求证: D M ∥平面 B E C . 39 如 图 , 在 五 棱 锥 P — ABCDE 中 , PA ? 平 面 ABCDE , AB//CD , AC//ED , AE//BC ,
? ABC ? 45 ? , AB ? 2 2 , BC ? 2 AE ? 4 ,三角形 PAB 是等腰三角形。

(Ⅰ)求证:平面 PCD ? 平面 PAC; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P—ACDE 的体积。

40 如图, 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. (1) 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. A1 D1 C1 B1

E1 E A

D F

C B
9

41.如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,平面 P A D ? 平面 A B C D , A B ∥ D C ,
△ P A D 是等边三角形,已知 B D ? 2 A D ? 8 , A B ? 2 D C ? 4 5 .

P

(Ⅰ)设 M 是 P C 上的一点,证明:平面 M B D ? 平面 P A D ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? A B C D 的体积. .

M D A C

42 如图,在直四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,已知
D C ? D D1 ? 2 A D ? 2 A B , A D ? D C , A B ? D C .

B

(I)设 E 是 D C 的中点,求证: D1 E ? 平 面 A1 B D ; (II)求二面角 A1 ? B D ? C 1 的余弦值.
D1 C1

A1

B1

D

E C

A

B

43 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC 与 BD 相交于点 O,且顶 点 P 在底面上的射影恰为 O 点,又 BO=2,PO= (I)求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值; (II)求二面角 P-AB-C 的大小; (III)设点 M 在棱 PC 上,且
P
PM MC ? ? ,问 ?

2

,PB⊥PD.

为何值时,PC⊥平面 BMD.

D O

C

A

B

10

44 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB= 9 0 ? ,EA⊥平面ABCD,EF∥A B,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE; (Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.

45 在如图所示的几何体中,四边形 A B C D 是正方形, M A ? 平面 A B C D , P D // M A ,E 、G 、F 分别为 M B 、 P B 、P C 的中点,且 A D ? P D ? 2 M A . (I)求证:平面 E F G ? 平面 P D C ; (II)求三棱锥 P ? M A B 与四棱锥 P ? A B C D 的体积 之比. ,

46 如图,在四棱台 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, D1 D ? 平面 A B C D ,底面 A B C D 是平行四边形,A B = 2 A D ,
A D = A 1 B 1 , ? B A D = 60°

(Ⅰ)证明: A A 1 ? B D ; (Ⅱ)证明: C C 1∥ 平 面 A 1 B D .

11


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