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《概率论与数理统计》2_图文

第二章随机变量
2.1 2.2 2.3 2.4 随机变量的概念 随机变量的分布 二维随机变量 随机变量函数的分布

关于随机变量(及向量)的研究,是概率 论的中心内容.这是因为,对于一个随机试验, 我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关 的某个或某些量,而这些量就是随机变量.也 可以说:随机事件是从静态的观点来研究随机 随机事件是从静态的观点来研究随机 现象,而随机变量则是一种动态的观点,一如 现象 数学分析中的常量与变量的区分那样.变量概 念是高等数学有别于初等数学的基础概念.同 样,概率论能从计算一些孤立事件的概念发展 概率论能从计算一些孤立事件的概念发展 为一个更高的理论体系, 为一个更高的理论体系,其基础概念是随机变 量。使我们借助于微积分等数学工具把研究引 向深入。

2.1随机变量的概念
为了全面地研究随机试验的结果,揭示 客观存在着的统计规律性,我们将随机试验 的结果与实数对应起来,将随机试验的结果 数量化,引入随机变量的概念。

由于随机因素的作用,试验的结果有多种 可能性。如果对于试验的每一可能结果,也就 是一个样本点ω,都对应着一个实数ξ(ω), 而ξ(ω)又是随着试验结果不同而变化的一个变 量,则称它为随机变量。随机变量一般用希腊 字母ξ,η,ζ或大写拉丁字母X,Y,Z等表示。

很多随机事件都可以采用数量的标识 都可以采用数量的标识。比 都可以采用数量的标识 如,某一段时间内车间正在工作的车床数目,抽 样检查产品质量时出现的废品个数,掷殼子出 现的点数等等。对于那些没有采用数量标识的 对于那些没有采用数量标识的 事件,也可以给它们以数量标识。比如,某工人 事件,也可以给它们以数量标识 一天“完成定额”记为1,“没完成定额”记为 0;生产的产品是“优质品”记为2,是“次品” 记为1,是“废品”记为0等等.这样一来,对于 实验的结果就都可以给予数量的描述。

定义. ={ω 定义. 设Ω={ω}是随机试验的样本空 如果量X是定义在Ω 间,如果量X是定义在Ω上的一个单 值实值函数即对于每一个ω∈Ω,有 值实值函数即对于每一个ω 一实数X=X( 与之对应,则称X X=X(ω 一实数X=X(ω)与之对应,则称X为随 机变量。 机变量。 随机变量常用 常用X、 、 随机变量常用 、Y、Z 或 等表示。 ξ、η、ζ等表示。 随机变量的特点: 随机变量的特点
1 X的全部可能取值是互斥且完备的 2 X的部分可能取值描述随机事件

X(ω )

R
ω
?

例如 (1)一个射手对目标进行射击,击中目标记 为1分,未中目标记0分。如果用ξ表示射手在一 次射击中的得分,则它是一个随机变量,可以 取0和1两个可能值。 (2)某段时间内候车室的旅客数目记为ξ, 它是一个随机变量,可以取0及一切不大于M的 自然数,M为候车室的最大容量。

(3)单位面积上某农作物的产量ξ是一个 随机变量。它可以取一个区间内的 一切实 数值。即ξ∈[0,T],T为某一个常数。

一个沿数轴进行随机运动的质点, (4)一个沿数轴进行随机运动的质点,它 在数轴上的位置ξ是一个随机变量, 在数轴上的位置ξ是一个随机变量,可以取 任何实数, ξ∈(- ,+∞ (-∞ 任何实数,即ξ∈(-∞,+∞)

显然随机变量是建立在随机事件基础上的 一个概念。既然事件发生的可能性对应于一 定的概率,那么随机变量也以一定的概率取 各种可能值。按其取值情况可以把随机变量 分为两类: 一、离散型随机变量只可能取有限个或无 有限个或无 限可列个值; 限可列个值; 二、非离散型随机变量可以在整个数轴上 取值,或至少有一部分值取某实数区间 取某实数区间的全部 取某实数区间 值。

随机变量的分类: 随机变量的分类:

离散型随机变量 ? ? 连续型 随机变量 ? ? 非离散型 ? ? ?奇异型(混合型) ?
从两方面研究随机变量: 研究随机变量的取值规律 研究随机变量取值的概率规律

2.2 随机变量的分布

(一)离散型随机变量的分布 定义2.1 如果随机变量 ξ只取有限个或可 列个可能值,而且以确定的概率取这些不同 的值,则称 ξ为离散型随机变量。

ξ~

ξ x1 Pk p1

x2 p2

… …

xK pk

… …

为直观起见,将可能取的值及相应概率列成 概率分布表:
ξ x1 x2 …… xk ……

P

p1

p2

…… pk

……

此外,ξ 的概率分布情况也可以用一系 列等式表示:

P(ξ =x k )=p k

(k=1,2,L )

(2.1)

其中 {ξ =x1},{ξ =x 2 },L ,{ξ =x k },L 构成一个完备事件组。 此时,(2.1)式称为随机变量ξ 的概率 函数(或概率分布律)。

2. 分布律的性质
(1) (2) pk ≥ 0, k=1, 2, … ;

∑ p =1.
k ≥1 k

一般所说的离散型随机变量的分布就是指 它的概率函数或概率分布表。 解题可分为三步进行: 1.写出概率函数 (分布律) 2.列出概率分布表 (分布列) 3.画出概率函数图

例1 设袋中有5只球,其中有2只白3只黑。 现从中任取3只球(不放回),求抽得的白球 数X为k的概率分布列。 可取值0 解 k可取值0,1,2 可取值

C C P{ X=k}= C
∴X的概率分布列为:

k 2

3? k 3 3 5

.

X p

0 0 .1

1 0 .6

2 0 .3

例2 产品由一、二、三等品及废品4种,其一、 二、三等品律及废品律分别为60%、10%、20%、 10%,任取一个产品检验其质量,用随机变量 ξ描述检验结果并画出概率函数图。 解:令“ξ=k”与产品为“k等品”(k=1,2,3) 相对应。 “ξ=0”与产品为“废品”相对应。 根据题意,其概率函数为: P(ξ=0)=0.1; P(ξ=1)=0.6; P(ξ=2)=0.1; P(ξ=3)=0.2

概率分布表为:

ξ 0

1

2

3

p 0.1 0.6 0.1 0.2

概率函数图为: p
1

0 .1 0 1 2 3 x

例3 社会上定期发行某种奖券,每券1元,中奖率 为p。某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次 再继续购买1张,直至中奖为止。求该人购买次数 ξ的分布。 解:“ξ=1”=“第一次购买的奖券中奖” “ξ=2”=“购买两次奖券,第一次购买 的奖券未中奖,第二次购买的奖券中奖” ξ=i”=“购买i次奖券,前i-1次购买的奖 券未中奖,第i次购买的奖券中奖”

则概率函数为:
P (ξ = 1 )= p
概率分布列为:

P ( ξ = 2 ) = ( 1 -p ) p
i -1

L

P ( ξ = i ) = ( 1 -p )

p

L

ξ
p

1

2

L

i
i-1

L L

p (1-p)p L (1-p) p

例4 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10个螺口,5个卡口,灯口向下放 着.现在需要1个螺口灯泡,从盒中任取一个 , 如果取到卡口灯泡就不在放回去。求在取到螺 口灯泡之前已取出的卡扣灯泡数ξ 分布。 解:“ξ=0”表示第一个就取到了螺口灯泡, “ξ=1”表示第一个取到卡口而第二个才取 到螺口灯泡,

10 2 ∴ P(ξ =0)= = 15 3

5 10 5 P(ξ =1)= × = 15 14 21

同样方法,可以依次计算出 P(ξ=k)(k=2,3,4,5)的概率,列成概率分布
如表
ξ 0 1
p 2 3 4 5

2 5 5 4 10 5 4 3 10 5 4 3 2 10 5 4 3 2 1 10 × × × × × × × × × × × × × × 3 21 15 14 13 15 14 13 12 15 14 13 12 11 15 14 13 12 11 10

易见, p k =1 ∑
k=0

5

几个常用的离散型分布: (0-1)分布 1. (0-1)分布(p33)
若以X表示进行一次试验事件A 若以X表示进行一次试验事件A发生的次 则称X服从(0 1)分布 两点分布) (0- 分布( 数,则称X服从(0-1)分布(两点分布) P{X=k}= (1- 2.2) P{X=k}=pk(1-p)1-k, (0<p<1) (2.2) k = 0 ,1 X 1 0 或
p p 1? p

2.离散型随机变量均匀分布
如果ξ有概率函数: 1 P(ξ =x k )= (k=1,2,L n) n

(2.3)

且当i ≠ j 时 x i ≠ x j
则称ξ服从离散型均匀分布。

3.几何分布:
如果ξ有概率函数:

P(ξ =i)= p(1-p)

i-1

(i=1,2,L ) (2.4)

则称ξ服从几何分布。

5.某射手对目标独立射击 某射手对目标独立射击5 例5.某射手对目标独立射击5次,每次命中目标 的概率为p 表示命中目标的次数, 的概率为p,以X表示命中目标的次数,求X的分 布律。 布律。
次射击时命中目标, 解:设Ai?第i次射击时命中目标,i=1,2,3,4,5 A 则A1,A2,…A5,相互独立且 )=p,i=1,2,…5. P(Ai)=p,i=1,2, 5. SX={0,1,2,3,4,5},

P{ X = 0} = P( A1 A2 A3 A4 A5 ) = (1-p)5
P{ X = 1} = P{ A1 A2 A3 A4 A5 U A1 A2 A3 A4 A5 U ... = 5 p (1 ? p) 4

P{ X = 2} = P{ A1 A2 A3 A4 A5 U A1 A2 A3 A4 A5 U ... = C52 P 2 (1 ? P )3

P{ X = k} = C5k p k (1 ? p)5? k

k = 0,1,...,5

P55
4、5、6、7、8

(二) 随机变量的分布函数 二
定义2.2(P36) 设ξ是随机变量(可以是离散 型的,也可以是非离散型的), 对任意实数x,事 件{ξ≤x}的概率P{ξ≤x}称为随机变量ξ的分布 函数。 记为F(x),即 F(x)=P{ξ≤x} (2.5) 易知,对任意实数a, b (a<b), P{a<ξ≤b}=P{ξ≤b}-P{ξ≤a}= F(b)-F(a) (2.6)

ξ

x

因此,若已知ξ的分布函数F(x),就能 知道ξ在任何一个区间上取值的概率。 从这个意义上说,分布函数完整的描述 了随机变量的变化情况,它具有下面几 个性质:

分布函数F(x)的性质
① 0≤F(x)≤1,对一切ⅹ∈(-∞,+∞)成立; ② F(x)是ⅹ的不减函数;
③ F( ? ∞)= lim F(x)=0, F(+∞)= lim F(x)=1;
x →?∞ x →+∞



F(x)至多有可列个间断点,而在其间 断点上也是右连续的。
F ( x 0 + 0) = lim+ F ( x ) = F ( x 0 ).
x → x0

一般地, 一般地,对离散型随机变量 X~P{ξ= xk}=pk, k=1, 2, … ~ = = 其分布函数为

F ( x) = P{ξ ≤ x} =
ξ P

k :xk ≤ x


0

pk
1 2

设随机变量ξ具分布律 具分布律如右表 例6 设随机变量 具分布律如右表 试求出ξ的分布函数 试求出 的分布函数。 的分布函数


F ( x)=P{ξ ≤ x}
? 0 ? 0.1 ? =? ?0.7 ?1 ? x <1 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 x≥2

0.1 0.6 0.3

F(x)

1
0 1 2 x

例7 求P35例3的分<布函数F(x) 解:
?0 ?k ? F(x)=P{ξ ≤ x}=? ?6 ?1 ? x<1 k ≤ x< k+1 (k=1,2,3,4,5) x ≥6

F(x)的图形如图所示:

F(x)
1

1 6

0

1

2

3

4

5

6

x

分布函数与概率函数满足关系:
F(x)=
k:x k ≤ x



pk

(2.7)

离散型随机变量的分布函数的图形 是阶梯曲线.它在ξ的一切有概率(指 正概率)的点xk都有一个跳跃,其跃度 为ξ取值xk的概率Pk.而在分布函数的 任何一个连续点上,取值的概率都是零, 这一点对连续型随机变量也是成立的.

(三)连续型随机 变量的分布
尽管分布函数是描述各种类型随机变 量变化规律的最一般的共同形式.但由于 它不够直观,往往不常用.比如,对于离散 型随机变量,用概率函数来描述既简单又 直观.对于非离散型变量也希望有一种比 分布函数更直观的描述方式.

例8 在区间[4,10]上任意抛掷一个质点,用ξ表 示这个质点与圆点的距离,则ξ是一个随机变量. 如果这个质点落在[4,10]上任一子区间内的概率 与这个区间长度呈正比,求ξ的分布函数。 解:根据题意有 ξ可以取[4,10]上的一切实数,“4≤ξ≤10”是一个 必然事件,P(4≤ξ≤10)=1. 若[c,d] ? ([4,10],有P(c≤ξ≤d)=λ(d-c), λ为比例常数.特别地, 取c=4,d=10,P(4≤ ξ≤10)=λ(10-4)=6λ, 而已知P(4≤ξ≤10)=1,因此λ=1/6.
P(c ≤ ξ ≤ d) =λ d-c

?0 ?1 ? F(x)=P(ξ ≤ x)= ? (x-4) ?6 ?1 ?

xp4 4 ≤ x p 10 x ≥ 10

F(x)的图形如下

F(x)
1

0

4

10

x

在这里,分布函数F(x)是实数上的一个非降有界 的连续函数,在整个数轴上没有一个跳跃点(可见, 对于这样的随机变量,它取任何一个具体值的概 率都是零).比例系数λ,反映了概率分布在区间 [4,10]上任意一个子区间[c,d]上的密集程度,记 作φ(x) ?1
? ? (x)= ? 6 ?0 ? 4 < x < 10 其他

而前面求出的分布函数F(x),恰好就是非 负函数 φ(x) 在实数上的广义积分.即

F(x)= ∫ ? (t)dt
?∞

x

用分布函数描述随机变量不如分布律直观, 用分布函数描述随机变量不如分布律直观, 对非离散型随机变量,是否有更直观的描述方法 对非离散型随机变量,是否有更直观的描述方法?

a

b

p{a < ξ ≤ b} = ?

定义2.3 对于随机变量ξ, 定义 (p40) 对于随机变量 ,若存在非负函 数φ(x),(-∞<x<+∞),使对任意实数 ,都有 , ∞ ∞ ,使对任意实数x,

F ( x)=P(ξ ≤ x)=∫ ? (t)dt
?∞

x

(2.8)

则称ξ为连续型随机变量, φ(x)为ξ的概率 则称 为连续型随机变量, 为连续型随机变量 为 的概率 密度函数,简称概率密度或密度函数. 密度函数,简称概率密度或密度函数 常记为 ξ~ φ(x) , (-∞<x<+∞) ~ ∞ ∞

具有的性质 ξ密度函数φ(x)具有的性质
(1) 非负性 φ(x)≥0,(-∞<x<∞); (x)≥ <x<∞ (x) (2) 归一性
+∞



?∞

? ( x)dx=1.

性质(1)、 是密度函数的充要性质 是密度函数的充要性质; 性质 、(2)是密度函数的充要性质;

密度函数的几何意义为 密度函数的几何意义为 几何意义

P(a < ξ ≤ b)=∫ ? (u )du
a

b

例9 设随机变量X的概率密度为

? ( x) = ae
解:∵ 即

?x

求常数a.



+∞

?∞

? ( x ) dx=1.
0 +∞ ?∞ 0



+∞

?∞

? ( x)dx=∫ ? ( x)dx + ∫ ? ( x)dx
x +∞ ?x 0

= ∫ ae dx + ∫ ae dx =
?∞

0

2a

1 ∴ a= 2

例10 已知连续性随机变量ξ有概率密度
?kx + 1 ? ( x) = ? ?0 0≤ x≤2 其他

求系数k及分布函数F(x),并计算P(1.5<ξ<2.5) 解: Q ∫ ? ( x)dx=1. ?∞
+∞





2

0

(kx + 1)dx=1

∴ 2k + 2=1

x <0 ?0 ? 1 x ? F ( x)=P(ξ ≤ x)=∫ ? (t)dt= ?- x 2 + x 0 ≤ x ≤ 2 ?∞ ? 4 x >2 ?1 ?

1 k=2

计算 P(1.5<ξ<2.5)
P(1.5<ξ<2.5)=F(2.5)-F(1.5) =1-P(ξ<1.5)

=1-



1.5

0

1 (- x + 1)dx 2

1 2 =1-(- ×1.5 + 1.5)=0.0625 4

(三)连续性随机变量的分布
区间随机抛一质点, 例2 向[0,1]区间随机抛一质点,以X表示质点坐 区间随机抛一质点 表示质点坐 假定质点落在 标.假定质点落在 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概 区间内任一子区间内的概 率与区间长成正比, 率与区间长成正比,求X的分布函数 的分布函数 解: F(x)=P{X≤x} 当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1 当0≤x≤1时,
F ( x)

F(x) = P{0 ≤ X ≤ x} = kx 1
0

特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1

1

x

x<0 ?0, ? ∴F(x)=P( X ≤ x)=?x, 0 ≤ x ≤1 ? 1, x >1 ?

最后,给出随机变量一个一般的定义 定义2.4 如果每次试验的结果,也就是每 一个样本点ω,都对应着一个确定的实 数ξ,并且对于任何实数x,“ξ≤x”有确 定的概率,称ξ为随机变量。

P55
11 12 13 14

2.3二元随机变量
定义2.5 如果每次试验的结果对应着一组确定 的实数(ξ1…,ξn),他们是随试验结果不同而 变化的n个随机变量,并且对任何一组实数 x1,x2 ,…,xn,事件“ξ1≤ x1 , …,ξn≤ xn”有确定的 概率,则称n个随机变量的整体为一个n元随机 变量(或n元随机向量)。 定义 2.6 称n元函数 F(x ,…,xn)=P(ξ1≤ x , …,ξn≤ xn) (x ,…,xn) ∈R 为n元随机变量的分布函数。
1 1 1

(2.10)

一元随机变量X 一元随机变量X——R1上的随机点坐标 R 二元随机变量(X,Y) 二元随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 (X,Y) R n元随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机 元随机变量(X ,X R 点坐标 多元随机变量的研究方法也与一元类似, 多元随机变量的研究方法也与一元类似, 用分布函数、概率密度、 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其 统计规律

(一)离散型
1.联合分布 定义2.7 如果二元随机变量(ξ,η)所有可能 取的数对为有限或可列个,并且已确定的概 率取各个不同的数对,则称( ξ,η )为二元 离散型随机变量。 为了直观,可以把( ξ,η )所有的可能 取值及相应概率列成表(见表2-6), 称为( ξ,η )的联合概率分布表。 二元随机变量也可以用(X,Y)来表示

若二元随机变量(X, Y)只能取至多可列个值 若二元随机变量(X, Y)只能取至多可列个值 j= 则称(X, Y)为 (xi, yj), (i, j=1, 2, … ),则称(X, Y)为 二元离散型随机变量。 二元离散型随机变量。 若二元离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率为pij,则 若二元离散型随机变量(X, 的概率为p P{X= Y= ,}= 称 P{X=xi, Y= yj,}= pij , (2.11) j= 为二元离散型随机变量(X, Y)的分布 (i, j=1, 2, … ),为二元离散型随机变量(X, Y)的分布 或随机变量X 的联合分布律 律,或随机变量X与Y的联合分布律. 可记为 (X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,(i, j=1, 2, … ),

二元离散型随机变量的分布律也可列表表示如下 二元离散型随机变量的分布律也可列表表示如下: 也可列表表示如下
X P43 Y y1 p11 p21 pi1 ... ... ... y2 p12 p22 ... ... pi2 ... … ... ... ... yj … P1j ... P2j ... ... ... Pij ... ...

x1 x2 xi
... ... ...

联合分布律 联合分布律的性质 (1) pij ≥0 , i, j=1, 2, … ; (2)

∑∑ p =1
i ≥1 j ≥1 ij

例1 同一品种的5个产品中,有2个正品。每 次从中取1个检验质量,不放回地抽取,连续2 次。记“ξk=0”为第k次取到正品,而“ξk=1” 为第k次取到次品(K=1,2)。写出( ξ1,ξ2) 的联合分布律。 解: 试验结果共有4个基本事件组成,相应概 率可按公式(1.10)计算: 列成概率分布表如表2-7所示。
P(ξ1 =0,ξ2 =0) =P(ξ1 =0)P(ξ2 =0/ξ1 =0) 2 1 1 = × = 5 4 10
ξ1 ξ2

0 0.1 0.3

1 0.3 0.3

0 1

例2.袋中有两只红球,三只白球,现不放回摸球二次, 2.袋中有两只红球,三只白球,现不放回摸球二次, 袋中有两只红球 令
? 1 第一次摸到红球 X = ? ? 0 第一次摸到白球 ? 1 第二次摸到红球 Y = ? ? 0 第二次摸到白球

,求(X,Y)的分布律。

Y X 1 0

1

0

1 10 3 10

3 10 3 10

P22 P{ X = 1, Y = 1} = 2 P5 2× 2× 3 P{ X = 1, Y = 0} = 2 P5 3× 2 P{ X = 0, Y = 1} = 2 P5 P32 P{ X = 0, Y = 0} = 2 P5

2.边缘分布与联合分布的关系

边缘分布律 若随机变量X与 的联合分布 的联合分布律为 若随机变量 与Y的联合分布律为 (X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,i, j=1, 2, … ~ = = = = 则称 pij=pi(1) ,i=1, 2, … P{X=xi}=pi.= ∑ = = = 为(X, Y)关于 的边缘分布律 关于X的边缘分布律 关于 的边缘分布律;
j ≥1

(2.12)

pij =p j (2) ,j=1, 2, … P{Y= yj}=p.j= ∑ = = =
关于Y的边缘分布律 为(X, Y)关于 的边缘分布律。 关于 的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。
i ≥1

(2.13)

例3 将两封信随机的往编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ的4个邮筒内投。 ξi表示第i个邮筒内信的 数目(i=1,2)。写出(ξ1,ξ2)的联合分布 及(ξ1,ξ2)中关于ξ1的边缘分布。
解:由1.2例3得,试验共有4×4种不同的等可能结果;

2× 2 4 p 01 =P {ξ1 =0,ξ 2 =1} = = 16 16

4 p 00 =P {ξ1 =0,ξ 2 =0} = 16
2 ×1 p11 = 16

4 p10 =p01 = 16
1 p02 =p 20 = 16

p12 =p 21 =p 22 =0

于是,(ξ1,ξ2)的联合分布为:
ξ2 ξ1 0 1 2 0 4/16 4/16 1/16 1 4/16 2/16 0 2

p

(1) i

1/16 9/16 0 0 6/16 1/16 0 1 2

关于ξ1的边缘分布为: ξ1

p

9/16 6/16 1/16

已知(X,Y)的分布律为 的分布律为 已知 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 的边缘分布律。 求X、Y的边缘分布律。 、 的边缘分布律 解: x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 故关于X和 的分布律分别为 的分布律分别为: 故关于 和Y的分布律分别为: X 1 0 Y 1 P 2/5 3/5 P 2/5 0 3/5

例4.

3 条件分布
离散型随机变量的条件分布律 设随机变量X与Y的联合分布律为 联合分布律 联合分布 (X, Y)~ P{X=xi, Y= yj,}= pij ,(i, j=1, 2, … ), X和Y的边缘分布律分别为

P{ X = xi } = pi? = ∑ pij
j ≥1

i = 1, 2,...
j = 1, 2,...

P{Y = y j } = p? j = ∑ pij
i ≥1

若对固定的j, p.j>0, 则称

pi| j = P{ X = xi | Y = y j }=

pij p. j

,

i = 1, 2,...

(2.14)

为Y= yj的条件下,X的条件分布律 条件分布律; 条件分布律 同理, 同理,对固定的i, pi. >0, 称

Pj|i = P{Y = y j | X = xi }=

pij pi.

,

j = 1, 2,... (2.15)

条件分布律; 为X= xi的条件下,Y的条件分布律 条件分布律

例3 将两封信随机的往编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ的4个邮筒内投。 ξi表示第i个邮筒内 信的数目(i=1,2)。写出ξ2=1条件下关 于ξ1的条件分布 pij 解: P {ξ1 =i/ξ 2 =1} = (2) ( i=1,2) pi
p11 1 P {ξ1 =1/ξ 2 =1} = (2) = p1 3

ξ2=1条件下,ξ1的条件分布
ξ2 0 2/3 1 1/3

p 01 2 P {ξ1 =0/ξ 2 =1} = (2) = p1 3 p 21 P {ξ1 =2/ξ 2 =1} = (2) =0 p1

p

例5 某射手在射击中,每次击中目标的概率 为P(0<p<1),射击进行到第二次击中目标为 止,ξi表示第i次击中目标时所进行的射击次 数(i=1,2),求ξ1和ξ2的联合分布以及它们 的条件分布。 解 事件“ξ1=i,ξ2=j”表示第i次及第j次击 中了目标(1≤i<j),而其余j-2次都没有击中 目标。已知各次射击是相互独立的,所以

pij =P {ξ1 =i,ξ 2 =j} =p q
2

j-2

(q=1-p)

边缘分布为:
(1) i

p =P(ξ1 =i)= ∑ pij =pq
j=i +1
j-2 (2) j



i-1

(i=1,2,L )
2 j-2

p =P(ξ 2 =j)= ∑ pij =(j-1)p q
i=1

(j=2,3,L )
(2) j

对于任意大于1的正整数j=2,3,…,有 p f 0 ξ1条件分布为: pij p 2 q j-2 1 P {ξ1 =i/ξ 2 =j} = (2) = = 2 j-2
pj
2

(j-1)p q

j-1

关于ξ2 的条件分布为:

(i=1,2,L ,j ? 1)

P {ξ 2 =j/ξ1 =i} =

pij

p

(1) i

pq j-i-1 = =pq i-1 pq (j=i + 1,i + 2,L )

j-2

P56
20、21、22、23

(二)连续型 1.联合概率密度 联合概率密度
定义 2.8( p47) 对于二元随机变量( 对于二元随机变量 ξ, η),若存在一个非负 , 可积函数φ 可积函数φ (x, y),使对?(x, y)∈R2, ,使对? ∈ 其分布函数 F ( x , y ) =
?∞ ?∞

∫ ∫ ? (s, t ) d s d t,

x

y

为二元 则称 (ξ, η)为二元连续型随机变量,φ(x,y)为 为二 连续型随机变量, 为 (ξ, η)的密度函数 概率密度 ,或称为 与η的联合 的密度函数(概率密度 的密度函数 概率密度), 称为ξ与 的 密度函数, 密度函数,可记为 (ξ, η)~ φ(x, y), (x, y)∈R2 ~ , ∈

的性质(p47) 联合概率密度φ(x, y)的性质 的性质 (1)非负性 φ(x, y)≥0, (x, y)∈R ; 非负性: 非负性
2
∞ ∞

(2)归一性 归一性: 归一性

-∞ -∞

∫ ∫ ? ( x, y ) dxdy = 1;

反之, y), 反之,具有以上两个性质的二元函数φ (x, y),必 是某个二元连续型随机变量的密度函数。 是某个二元连续型随机变量的密度函数。

(3)显然,对任意实数a<b及c<d,有

P {a<ξ ≤ b,c<η ≤ d} = ∫

b

a



d

c

? (x,y)dydx

此外, (x, y)还有下述性质 此外,φ(x, y)还有下述性质 (4)若φ(x, y)在(x, y)∈R2处连续,则有

? F ( x, y ) = ? ( x, y ); ?x?y
2

联合分布函数(即定义2.6) 联合分布函数(即定义2.6)
设(ξ,η)是二元随机变量,(x, y)∈R2, 则称 F(x,y)=P{ξ≤x, η≤y} 为(ξ, η)的分布函数,或称为ξ与η的联合分布函数。 几何意义:分布函数 几何意义:分布函数F( x0 , y0 ) 表示随机点(X,Y)落在区域 落在区域 表示随机点

{( x, y ) , ?∞ < x ≤ x , ?∞ < y ≤ y }
0 0

中的概率。如图阴影部分

分布函数F(x, y)具有如下性质: (1)归一性 对任意(x, y) ∈R2 , 归一性 且
x →∞ y →∞

0≤ F(x, y) ≤ 1,

F (∞, ∞) = lim F ( x, y ) = 1
F (?∞, ?∞) = lim F ( x, y ) = 0
x →?∞ y →?∞

F (?∞, y ) = lim F ( x, y ) = 0
x →?∞

F ( x, ?∞) = lim F ( x, y ) = 0
y →?∞

(2)单调不减 单调不减 对任意y ∈R, 当x1<x2时, F(x1, y) ≤ F(x2 , y); 对任意x ∈R, 当y1<y2时, F(x, y1) ≤ F(x , y2). (3)右连续 右连续 对任意x∈R,
y → y0

y∈R,

F ( x, y0 + 0) = lim+ F ( x, y ) = F ( x, y0 ).
F ( x0 + 0, y ) = lim F ( x, y ) = F ( x0 , y ); +
x → x0

(4)矩形不等式 矩形不等式 对于任意(x1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1< x2, y1<y2 ), F(x2, y2)-F(x1, y2)- F (x2, y1)+F (x1, y1)≥0.

反之,任一满足上述四个性质的二元函数 F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(ξ,η)的 分布函数。 下面给出矩形不等式的几何解释

对于(x1, y1), (x2, y2)∈R2, (x1< x2, y1<y2 ),则 P{x1<X≤ x2, y1<y≤y2 } =F(x2, y2)-F(x1, y2)- F (x2, y1)+F (x1, y1).

y

(x1, y2)

(x2, y2)

(x1, y1)

(x2, y1)

x

2.边缘 概率密度(p47) 边缘
Fξ(x)=P{ξ≤ x, -∞ <η<+∞} =P{ξ≤x}
= ∫ ds ∫ ? (s,t)dt
-∞ -∞ x +∞

(2.17)

称为二元随机变量 关于ξ的边缘分布函数 称为二元随机变量(ξ,η)关于 的边缘分布函数; 关于 的边缘分布函数;

Fη(y)=P{ -∞ <ξ<+∞,η≤y} =P{η≤y}
=∫
y ?∞

dt ∫

+∞

?∞

? (s,t)d s

( 2 .1 8)

称为二元随机变量 关于η的边缘分布函数. 称为二元随机变量(ξ,η)关于 的边缘分布函数 关于 边缘分布实际上是高维随机变量的某个 (某些 低维分量的分布 某些)低维分量的分布 某些 低维分量的分布。

边缘密度函数 设(ξ,η)~φ (x, y), (x, y)∈R2, 则称 ~ ∈


?ξ ( x) = ∫ ? ( x, y )dy
?∞

(2.19)

关于ξ的边缘密度函数 的边缘密度函数; 为(ξ,η)关于 的边缘密度函数; 同理,称 同理,

?η ( y ) = ∫ ? ( x, y )dx
?∞



(2.20)

关于η的边缘密度函数 的边缘密度函数。 为(ξ,η)关于 的边缘密度函数。

1.设 例1.设(ξ,η)的概率密度为
?c x 2 ≤ y < x ? ( x, y ) = ? others ?0

求常数c;(2)求关于ξ c;(2)求关于 (1)求常数c;(2)求关于ξ的边缘概率密度 解:(1)由归一性 由归一性


∫ dx ∫ cdy = 1 ? c = 6
0 x2

1

x

? (2) ?ξ ( x) = ∫ ? ( x, y )dy = ? ? ?∞

0
x

x < 0 or x > 1

6dy = 6( x ? x 2 ) 0 ≤ x ≤ 1 ∫
x2

3.条件概率密度
若φ2(y)>0,称

? (x,y) ? ( x y )= ?2 (y)

(2.21)

为在η=y条件下,关于ξ的条件概率密度; 若φ1(x)>0,称 >0,

? (x,y) ? ( y x )= ?1 (x)

(2.22)

为在ξ=x条件下,关于η的条件概率密度。

(三)随机变量的相互独立性 三 随机变量的相互独立性
定义2.9 对于任何实数x,y,如果二元随机 变量(ξ,η)的联合分布函数F(x,y) 等于ξ和η的边缘分布函数的乘积,即

F(x,y)=Fξ (x) ? Fη (y)
则称随机变量ξ与η相互独立。

(2.23)

定义: 称随机变量ξ 独立, 定义: 称随机变量ξ与η独立,如果对任意实数 c<d, a<b, c<d,有 p{a<ξ b,c<η d}=P{a<ξ b}·P{c<η p{a<ξ≤b,c<η≤d}=P{a<ξ≤b}·P{c<η≤d} 即事件{a<X≤b}与事件 {c<Y≤d} 独立 , 则称随 与事件{c<Y 独立, 即事件 {a<X≤b} 与事件 {c<Y≤d}独立 {a<X 机变量X 机变量X与Y独立。 独立。

不进行证明,下面给出两个随机 变量ξ与η独立的充要条件:

定理 设(ξ,η)是二元连续型随机变量,ξ与η独 是二元连续型随机变量, 连续型随机变量 立的充分必要条件是 立的充分必要条件是φ(x,y)=φξ(x)·φη(y) 充分必要条件

定理

是二元离散型随机变量, 离散型随机变量 设(ξ,η)是二元离散型随机变量,其

分布律为Pi j=P{ξ=xi, η=yj }, i, j=1,2,..., 分布律为P =P{ξ j=1 ..., 则X与Y独立的充分必要条件是 独立的充分必要条件是 充分必要条件 对任意i,j,Pi j=Pi? P?j 。 对任意i,j, i,j 由上述定理可知,要判断两个随机变量X 由上述定理可知,要判断两个随机变量X 的独立性, 与Y的独立性,只需求出它们各自的边缘 分布,再看是否对( , ) 分布,再看是否对(ξ,η)的每一对可能取 值点, 值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可

例2:判断P44例2中ξ1 ,ξ2 是否相互独立
解:由例2中表2-8可得:

p 22 =P {ξ1 =2,ξ 2 =2} =0
而 p(1) =P {ξ =2} = 1 2 1 16 易见:p 22
1 p =P {ξ 2 =2} = 16
(2) 2

≠ p ?p
(1) 2

(2) 2

∴ ξ1 ,ξ2 不独立

3.已知随机变量(X,Y)的分布律为 已知随机变量(X,Y) 例3.已知随机变量(X,Y)的分布律为 且知X 且知X与Y独立, 独立, 的值。 求a、b的值。 解: ∵ a+b=0.6 ∴b=0.6-a
Y x 0 1 1 0.15 a 2 0.25 b

∵ X与Y独立 P(x=1,y=1)= P(x=1)P(y=1)= a 与 独立 即 (a+b)(0.15+a)=a ∴ (a+b)(0.15+a)=a ? a = 0.15 b=0.45

例4 两个连续型随机变量 ξ1与ξ 2相互独立 其概率密度为

1 ?i (x i )= e σ i 2π

1 x -u - ( i i )2 2 σi

(i=1,2)

其中u i ,σ i都是常数,σ i f 0 (i=1,2) 求ξ1与ξ 2的联合概率密度
解:根据(2.25)式可得
1 ? x1 ,x 2 )=∏ ( e i=1 σ i 2π
2 1 x -u - ( i i )2 2 σi
? x -u 1 ? x -u - ?( 1 1 )2 +( 2 2 )2 ? 2 ? σ1 σ2 ?

=

1 2πσ 1σ 2

e

P56
27、28、29

2.4 随机变量函数的分布
定义2.10 设 ? (x)是定义在随机变量ξ的 一切可能值x的集合上的函数。如果对于 ξ的每一个可能取值x, 有另一个随机变量 η的相应取值y= ? (x) 。则称η为ξ的函数, 记作η = ? (ξ)。 如何根据ξ的分布求出η的分布,或由(ξ1 ,…,ξn) 的分布求出η=f (ξ1 ,…,ξn)的分布。是我们 这节课的学习任务。

一、离散型随机变量函数的分布律
设ξ为一个随机变量,分布律为 为一个随机变量, ξ~P{X=xk}=pk, k=1, 2, … ~ = = = 是一元单值实函数, 是一元单值实函数 若η=f (x)是一元单值实函数,则η=f (x)也是一个 随机变量。求η的分布律 的分布律. 随机变量。 的分布律 例:已知 已知 ξ Pk -1
1 3

求:η=ξ2的分布律 0
1 3

1
1 3

η Pk

1
2 3

0
1 3

例1 测量一个正方形的边长,其结果是一 个随机变量ξ(简便起见把它看成是一个 离散型的)。 ξ的分布如表2-11
ξ P 9 0.2 10 0.3 11 0.4 12 0.1

求周长η和面积ζ的分布律。 解 η 和ζ都是ξ的函数,且η = 4ξ, ζ = ξ2。事件 “η=36”即“4ξ =36”与“ξ =9”相等, 故P{η =36}=P{ξ =9}。依此计算,可得表2-12。

表2-11 ξ P 表2-12 η=4ξ P 36 0.2 40 0.3 44 0.4 48 0.1 9 0.2 10 0.3 11 0.4 12 0.1

同样地,ξ的分布律如表2-13所示。 表2-13 ζ=ξ2 P 81 0.2 100 0.3 121 0.4 144 0.1

求ξ2的分布。 例2 ξ的分布如表2-14:
表2-14 ξ

P

-1 0.2

0 0.1

1 0.3

1.5 0.3

3 0.1

解 事件“ξ2 =0”, “ξ2 =2.25”,“ξ2 =9”,分别与 ξ=0”,“ξ=1.5”,“ξ =3” , 事件 “ξ=0”,“ξ=1.5”,“ξ =3”相等 ,其概率当然分 别相等。 事件“ξ2=1”与两个互斥事件“ξ =-1”及“ξ =1” 的和相等,其概率是这两个事件概率的和。 ξ2 的分布如表2-15所示。 表2-15
ξ2

P

0 0.1

1 0.5

2.25 0.3

9 0.1

例3 一个仪器由两个主要部件组成,其总长度 为此二部件长度的和,这两个部件的长度ξ和η 为两个相互独立的随机变量,其分布律如表2-16、 2-17所示。求此仪器长度的分布律。 表2-16 表2-17 η 6 7
ξ P 9 0.3 10 0.5 11 0.2

P

0.4 0.6

解 设仪器总长度为 ζ =ξ+ η ,其可能取值如 表2-18所示:
ξ η ζ =ξ+η

9 6 15

9 7 16

10 6 16

10 7 17

11 6 17

11 7 18

P(ζ =15)=P(ξ =9, η =6) =P(ξ =9)P(η=6)=0.3×0.4=0.12 P(ζ =16)=P(ξ =9, η =7)+P(ξ=10,η=6)

同样方法可得 P(ζ =17)=0.38 P(ζ =18)=0.12 因而 的分布律如表2-19所示。 表2-19
ζ

=0.3×0.6+0.5×0.4 =0.38

P

15 0.12

16 0.38

17 0.38

18 0.12

例4 求 2.3例二中前两个邮筒内信的数目之和 ξ1+ ξ2的分布律。 解: ξ1+ ξ2 只可能取0,1,2三个值。
P(ξ1+ ξ2 =0)=P(ξ1=0, ξ2 =0)=4/16 P(ξ1+ ξ2 =1)=P(ξ1=0, ξ2=1)+P(ξ1=1, ξ2 =0)=8/16 P(ξ1+ ξ2 =2)= P(ξ1=1,ξ2=1)+P(ξ1=0, ξ2=2)+P(ξ1=2, ξ2=0)=4/16

列成概率分布表如2-20所示. 表2-20
ξ 1+ ξ 2 P

0 1/4

1 1/2

2 1/4

表2-21 ξ1 -ξ2 P

-2 1/16

-1 4/16

0 6/16

1 4/16

2 1/16

总结: 1.当ξ取x1,x2,…, xn时,η=f (ξ)相应的取f (x1), f (x2),… , f(xn),当xi ≠xj 时,有f (xi)≠ f (xj),即当函数 关系为一一对应时, η取f (xi)的概率就等于ξ取xi 的概率。 2.当函数关系不是一一对应时,当xi ≠xj 时,有 f (xi)= f (xj), 则应把相等的值分别合并起来,并 根据概率的加法法则把对应的概率P(ξ=xi)与 P(ξ=xj)相加。

二、连续型随机变量函数的分布
1、一般方法 为随机变量ξ 若ξ~φ(x), -∞< x< +∞, η=f (ξ)为随机变量ξ 的 ), < +∞ 函数,则可先求η 函数,则可先求η的分布函数 Fη (y) =P{η≤y}=P {f (ξ) ≤y}= ≤ = = 然后再求η的密度函数 然后再求 的密度函数



f ( x )≤ y

?ξ ( x)dx

?η ( y ) =

dFη ( y ) dy

此法也叫“ 此法也叫“ 分布函数法 ”

例5 已知ξ的概率密度是φξ(x), η =4ξ-1, 求η的概 率密度φη(x)。 解: 首先求η的分布函数Fη(x) 。依题意,有 Fη(x)=P{η≤x}=P{4ξ-1 ≤ x} =P{ξ≤ (x+1)/4}=F ξ[(x+1)/4] 其中F ξ(x)为ξ的分布函数。 然后根据概率密度与分布函数间的关系 , 上式两边都对x求导:

x +1 1 ?η (x)=?ξ ( )? 4 4

在这里,把所求随机事件“η≤y”的概率转化为 求与它相等的随机事件“ξ≤(x+1)/4”的概率。 而后者恰是已知随机变量ξ的分布函数在 (x+1)/4的值。于是建立了两个随机变量η与ξ 的分布函数之间的关系:

x+1 Fη (x)= Fξ ( ) 4
这对计算随机变量函数的概率密度是关键的一步。

例6 设随机变量 ξ 的分布函数为Fξ (X), 求ξ2的分布 函数. 2 Fξ 2 (x)=P(ξ ≤ 0)=0 解:当x<0时,

Fξ 2 (x)=P(ξ ≤ x)=P( ? x ≤ ξ ≤ x )
2

设x≥0 ,

=P( ? x p ξ ≤ x )+P(ξ = ? x )
=Fξ ( x ) ? Fξ ( ? x ) + P(ξ = ? x )

Fξ 2 (x)=Fξ ( x ) ? Fξ ( ? x ) + P(ξ = ? x )
特别地 , 如果 ξ 是具有概率密度为 φ ξ(x) 的 连续型随机变量 P(ξ = ? x )=0 则ξ2的概率密度为
??ξ ( x ) + ?ξ (- x ) ? ?ξ 2 (x)= ? 2 x ?0 ? xf0 x≤0

例7 和的分布。已知( ξ ,η)的 联合概率密 度是φ(x1, x2),求ζ=ξ+η的概率密度φ ζ(x) 。
解: 先求ξ的分布函数,再求其概率密度。

Fζ (x)=P(ζ ≤ x)=

= ∫ dx1 ∫
-∞

+∞

x1 + x 2 ≤ x

∫∫

? (x1 ,x 2 )dx1dx2

x-x1

-∞

? (x1 ,x 2 )dx2
dx1 ∫ ? (x1 ,u-x1 )du
-∞ x

u=x1 + x 2
x -∞



+∞

-∞

= ∫ du ∫ ? (x1 ,u-x1 )dx1
-∞

+∞

由定义2.3可知, ζ的密度函数为
?ζ (x)= ∫ ? (x1 ,x-x1 )dx1
-∞ +∞

(2.27)

若ξ与η相互独立,则有

?ζ (x)= ∫ ?ξ (x1 )?η (x-x1 )dx1
-∞

+∞

(2.28)

或:

?ζ (x)= ∫ ?ξ (x-x 2 )?η (x-x 2 )dx2
-∞

+∞

(2.29)

2、公式法:一般地 若ξ~φξ(x), η=f(x)是单调可导函数,则

η = f (ξ ) ~ ?η (x) = ?ξ [h(x)] | h′(x) |
其中h (x )为η=f (x)的反函数.
只有当f ) 的单调可导函数时, 注:1 只有当 (x)是x的单调可导函数时,才可用以 的单调可导函数时 上公式推求η的密度函数。 上公式推求η的密度函数。 2 注意定义域的选择

取:α = min {f(x)} , β = max {f(x)} 则(α,β)为η的正概率密度区间

P58
30、31、32、36


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