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2015江苏高考数学一轮复习配套练习(含答案) 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

课时跟踪检测(二十) 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 第Ⅰ组:全员必做题 1.函数 y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间 [-π,0]上的图像如图所示,则 ω=____________. π 2. 将函数 y=2sin x 的图像上每一点向右平移 1 个单位长度, 3 π 再将所得图像上每一点的横坐标扩大为原来的 倍(纵坐标保持不变), 得函数 y=f(x)的图像, 3 则 f(x)的解析式为____________. 3.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在 R 上的部分 图像如图所示,则 f(2 013)=________. π π π 4.(2014· 苏北四市调研)已知函数 f(x)=sinωx+ (ω>0),若 f =f , 3 6 2 π π 且 f(x)在区间 , 上有最大值,无最小值,则 ω=________. 6 2 5.(2013· 镇江 12 月统考)在矩形 ABCD 中,AB⊥x 轴,且矩形 ABCD 恰好能完全覆盖 函数 y=asin ax(a∈R,a≠0)的一个完整周期图像,则当 a 变化时,矩形 ABCD 周长的最小 值为________. 6 .某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y = a + π ? Acos? ?6?x-6??(x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份 的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. π? 7.已知函数 f(x)= 2sin? ?2x-4?+1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相; π π - , ?上的图像. (2)画出函数 y=f(x)在? ? 2 2?

x π? ?x π? 8.已知函数 f(x)=2 3sin? 2 ? +4?cos?2+4?-sin(x+π). (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像,求函数 g(x)在区间[0,π] 6 上的最大值和最小值.

第Ⅱ组:重点选做题 π 1.(2013· 盐城三调)将函数 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图像向左平移 个单位长度后,所得 6 的函数恰好是偶函数,则 φ 的值为________. 2.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺 庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少, 浪费很严重, 为了控制经营成 本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月 份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物?

答 第Ⅰ组:全员必做题 2π 2π 1.解析:因为 T= ,所以 ω= =3. 3 T 答案:3



π π? π π x- 2.解析:函数 y=2sin x 向右平移 1 个单位长度得 y=2sin (x-1)=2sin? 3 3?,将 ? 3 3 π 所得图像上每一点的横坐标扩大为原来的 倍(纵坐标保持不变), 3

π 3 π? x- 则 y=2sin? π 3?, ?3· π? 即 y=2sin? ?x-3?. π? 答案:y=2sin? ?x-3? π 3.解析:由图知 A=5,T=12,从而 ω= , 6 π π? π φ= ,则 f(x)=5sin? ?6x+6?, 6 5 3 故 f(2 013)=f(9)=- . 2 5 3 答案:- 2 π? π π π 1 4.解析:由题意 f? + = +2kπ,k∈Z,所以 ω= +6k,k∈Z. ?3?=1,即 ω· 3 3 2 2 π 2π 1 又 < ,所以 0<ω<6,故 ω= . 3 ω 2 1 答案: 2 4π 5.解析:根据题意,设矩形 ABCD 的周长为 c,则 c=2(AB+AD)=4|a|+ ≥8 π,当 |a| 且仅当 a=± π时取等号. 答案:8 π 28+18 6.解析:依题意知,a= =23, 2 28-18 A= =5, 2 π ? ∴y=23+5cos? ?6?x-6??, 当 x=10 时, π ? y=23+5cos? ?6×4?=20.5. 答案:20.5 π 7.解:(1)振幅为 2,最小正周期 T=π,初相为- . 4 (2)图像如图所示.

π? ? 3 8 .解: (1) 因为 f(x)= 3sin ? ?x+2?+sin x= 3cos x+ sin x=2? 2 cos x+ π? 2sin? ?x+3?, 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图像向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图像, 6 π? ∴g(x)=f? ?x-6? π? π? =2sin?? ?x-6?+3

1 sin x? = 2 ?

?

?

π? =2sin? ?x+6?. π π 7π? , , ∵x∈[0,π],∴x+ ∈? 6 ?6 6 ? π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时, 6 2 3 π? sin? ?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. π? π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin? ?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. 6 6 第Ⅱ组:重点选做题 π 1.解析:函数 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图像向左平移 个单位后,得 6 π 2x+ +φ?, y=sin? 3 ? ? π π 则 +φ=(2k+1) . 3 2 π 又 0≤φ<π,所以 φ 的值为 . 6 π 答案: 6 2.解:(1)设该函数为 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知

这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅 为 200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且 f(2)=100, 所以 f(8)=500. 2π π 根据上述分析可得, =12,故 ω= , ω 6
?-A+B=100, ?A=200, ? ? 且? 解得? ? ? ?A+B=500, ?B=300.

根据分析可知,当 x=2 时 f(x)最小, 当 x=8 时 f(x)最大, π ? 故 sin? ?2×6+φ?=-1, π ? 且 sin? ?8×6+φ?=1. 5π 又因为 0<|φ|<π,故 φ=- . 6 π 5π? 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)=200sin? ?6x- 6 ?+300. (2)由条件可知, π 5π? 200sin? ?6x- 6 ?+300≥400,化简,得 π 5π? 1 π π 5π 5π sin? ?6x- 6 ?≥2?2kπ+6≤6x- 6 ≤2kπ+ 6 ,k∈Z, 解得 12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为 x∈N*,且 1≤x≤12, 故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.


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