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【随堂优化训练】2014年数学(人教a版)必修5配套课件:2.3.1 等差数列的前n项和


2.3 等差数列的前 n 项和
2.3.1 等差数列的前 n 项和

【学习目标】 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其推导过程. 2.体会等差数列的和与二次函数的联系.

1.等差数列{ an}的前 n 项和
n?a1+an? 等 差 数 列 { an} 的 前 n 项 和 公 式 为 Sn = __________ = 2
n?n-1?d na1+ ________________. 2

练习 1:(2014 年广东汕头一模)等差数列{an}的前 n 项和为

Sn,若 a2+a5+a8=15,则 S9=( B )
A.54 B.45 C.36 D.27

2.等差数列前 n 项和公式 Sn 与通项公式 an 之间的关系 S2n-1 a1+a2n-1 ?a1+a2n-1??2n-1? 1 2n-1 (1)an= = · =_______. 2 2 2n-1 (2)已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,则
an S2n-1 = b T2n-1 n __________________ .

注意:数列的前 n 项和与通项公式之间的关系: ? ?n=1?, ?S1 an=? ? ?n≥2?. ?Sn-Sn-1 练习 2:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 an=______ 2n-1
(n∈N*).

【问题探究】
1.等差数列{ an}的前 n 项和的两个公式涉及几个量?至少 要知道几个量才能求解. 答案:等差数列{ an}的前 n 项和的 2 个公式涉及 a1,an,

Sn,n,d 5 个量,至少要知道其中 3 个量才能求解.

n?n-1?d 2. 把等差数列{ an}的前 n 项和公式 Sn=na1+ 进行 2 化简,观察变换后的公式是关于 n 的什么函数?

d? d 2 ? d * ? ? 答案:公式化为 Sn=2n + a1-2 n(n∈N ),若令 A=2,B ? ? d =a1-2,则 Sn=An2+Bn(n∈N*)是关于 n 的二次函数.

题型 1 求等差数列的前 n 项和 【例1】 已知数列{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=

28,求该数列前10项和S10.
思维突破: 只需求出条件 a1和 a10 或求出条件 a1 和d ,利用 解方程组的知识求得a1和d.

解:设等差数列{an}的公差为 d,依题意,可得
? ?2a1+d=4, ? ? ?2a1+13d=28. ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

10×?10-1?d 10×9×2 ∴S10=10a1+ =10×1+ =100. 2 2

【变式与拓展】 210 1.在等差数列{an}中,已知 a11=10,则 S21=_____.
21?a1+a21? 21×20 解析: a1+a21=2a11=20, ∴S21= = 2 =210. 2

2.(2013 年上海)若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和 为 57,则数列的前 n 项和 Sn=__________.

解析:方法一: ? ?S =6a +6×?6-1?d=23, 1 2 ? 6 ∵? 9×?9-1? ? S9=9a1+ d=57, ? 2 ? 5 2 7 ∴Sn=6n -6n. 1 ? ?a1=3, ∴? ?d=-5. 3 ?

方法二:设等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn, ? 5 a=6, ? ? 36 a + 6 b = 23 , ? 则由题意,得? 解得? ? ?81a+9b=57. ?b=-7. 6 ? 5 2 7 故数列的前 n 项和 Sn=6n -6n.
5 2 7 答案: 6n -6n

题型 2 等差数列的性质与前 n 项和 【例2】 在等差数列{an}中, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16; (2)已知a6=20,求S11; (3)一个等差数列的前 4 项之和是 40,最后 4 项之和为 80, 所有项之和是 210,求项数 n. 思维突破:(1)由等差数列的性质,可以直接利用条件求 出a1+a16的和.(2)要求S11只需知道a1+a11即可,而a1与a11的 等差中项恰好是a6.

解:(1)∵a2+a15=a5+a12=a1+a16=18, 16?a1+a16? ∴S16= =8×18=144. 2 (2)∵a1+a11=2a6, 11?a1+a11? ∴S11= =11a6=11×20=220. 2 (3)∵a1+a2+a3+a4=40,an-3+an-2+an-1+an=80, ∴4(a1+an)=40+80,即 a1+an=30. ?a1+an?n 又∵Sn= =210, 2 2×210 ∴n= =14. a1+an

【变式与拓展】
3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=21,则 a2

7 +a5+a8+a11=____.
4 .已知在等差数列 {an} 中, a10 = 10 ,其前 10项和S10 = 70,求其公差d的值.

10?a1+a10? 解:由 S10= =70,得 a1=4. 2 2 a10-a1=9d,d=3.

题型 3 等差数列的通项与前 n 项和 【例 3】 两个等差数列的前 n 项和之比是(7n+1)∶(4n+

27),试求它们的第 11 项之比.
思维突破:利用性质m+n=p+q?am+an=ap+aq解题.

解:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的前 n 项和为 Tn. a1+a21 b1+b21 则 a11= 2 ,b11= 2 .

1 1 ?a +a21? 2?a1+a21?· 21 a11 2 1 ∴b =1 =1 11 21 2?b1+b21? 2?b1+b21?· S21 7×21+1 4 =T = =3. 4 × 21 + 27 21

已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 an S2n-1 Sn 和 Tn,则b = . T2n-1 n

【变式与拓展】
5.已知两个等差数列{an},{bn},它们的前 n 项和分别是 2n+3 a9 Sn Sn,Sn′,若 = ,求b 的值. Sn′ 3n-1 9
解:∵2a9=a1+a17,2b9=b1+b17, 17?a1+a17? 17?b1+b17? ∴S17= =17a9,S17′= =17b9. 2 2 a9 S17 2×17+3 37 ∴b = = =50. S17′ 3×17-1 9

3 2 205 【例 4】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n + 2 n+3,

求数列{an}的通项公式. 易错分析:容易漏掉当n=1 时的情形,得到的结果不完全.

3 205 解:当 n=1 时,a1=S1=-2+ 2 +3=104; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
? 3 2 205 ? ? 3 ? 205 2 =?-2n + 2 n+3?-?-2?n-1? + 2 ?n-1?+3? ? ? ? ?

=-3n+104. ∵a1 不满足 an=-3n+104, ∴{an}的通项公式为
? ?104 an=? ? ?-3n+104

?n=1?, ?n≥2?.

[方法· 规律· 小结] 1.记清等差数列的前 n 项和公式的两种形式并能正确地选
n?a1+an? 用,当题中具备 3 个条件:n,a1,an 时,选用 Sn= , 2
n?n-1?d 当题中具备 3 个条件: n, a1, d 时, 选用 Sn=na1+ . 2

2.基本量原则:注意在 5 个基本量 n,a1,d,an,Sn 中知 道 3 个量时,可利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式求其 他 2 个量. 3.注意把实际问题转化为等差数列的问题进行研究.


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