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高考数学排列组合试题常见错误分析1


高考数学排列组合试题常见错误分析
建阳外国语学校 邱印娣 18039778502
内容摘要: 排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点,因其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题 中出现错误.本文就高考数学排列组合的试题对学生出现的错误就行分析。 关键词 高考 数学 排列组合 高考中,数学试题中的排列组合试题因其自身的灵活性,往往成为数学中较难把握的一类试题。针 对高中改卷情况分析,学生常见的错误有以下五种。 一、基本原理理解不透彻 排列组合解题中所用的基本原理是加法原理和乘法原理。 加法原理:做一件事,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+?+mn 种 不同方法。 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重) ; 乘法原理: 乘法原理:做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×?×mn 种不 同的方法。 任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务; 。 例如、从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则 不同的取法有几种. 误解:因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机,所以只有 2 种取法. 错因分析:误解的原因在于没有意识到“选取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计
2 3 3 2 算机”是完成任务的两“类办法,每类办法中都还有不同的取法.正确答案为 C 6 ? C5 ? C6 ? C5 ? 350 种方

法。 二、判断失误 在判断一个问题是排列还是组合问题时,主要看元素的组成有没有顺序性,有顺序的是排列,无顺序的是 组合. 排列是与顺序有关的,组合与顺序无关。 在拿到一个题时,如果不好区分排列、组合,可以这样考虑:先取一种特殊情况符合题意,然后交 换这种特殊情况中的某两个元素的位置,看得到的情况与前者是否相同,如相同则意味着不须有排列;不 同,则应再考虑排列的情况。 例、有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法? 误解:因为是 8 个小球的全排列,所以共有 A8 种方法. 错因分析:误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的,5 个白色小球也是完全相同的,同色球之间 互换位置是同一种排法. 正解:8 个小球排好后对应着 8 个位置,题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球,剩下的
3 位置给白球,由于这 3 个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题.这样共有: C8 ? 56 排法.
8

三、审题不认真,忽视题设条件出错 2 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至 1 3 每一个字和符号,不然就可能多解或者漏解. 4 例、如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共

5



种.(以数字作答) 误解:先着色第一区域,有 4 种方法,剩下 3 种颜色涂四个区域,即有一种颜色涂相对的两块区域,

1 2 有 C3 ? 2 ? A2 ? 12 种,由乘法原理共有: 4 ?12 ? 48种.

错因分析:据报导,在高考中有很多考生填了 48 种.这主要是没有看清题设“有 4 种颜色可供选择”, 不一定需要 4 种颜色全部使用,用 3 种也可以完成任务. 正解:当使用四种颜色时,由前面的误解知有 48 种着色方法;当仅使用三种颜色时:从 4 种颜色中 选取 3 种有 C 4 种方法,先着色第一区域,有 3 种方法,剩下 2 种颜色涂四个区域,只能是一种颜色涂第 2、4 区域,另一种颜色涂第 3、5 区域,有 2 种着色方法,由乘法原理有 C 4 ? 3 ? 2 ? 24 种.综上共有: 48? 24 ? 72 种. 四、忽视了限制条件 例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同 学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 误解:先安排甲乙,有 7 种方法,然后再安排其余 8 人到另外两个城市有
3 3

A82 种,共有 7 A82 方法.

错因分析:误解的原因在于没有考虑甲乙不一定被选中,对甲乙是否被选中进行分类 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 学生有

A84 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其余

3 A8 3 A3 3 A3 方法,所以共有 8 ;③若乙参加而甲不参加同理也有 8 种;④若甲乙都参加,则先安排甲

乙,有 7 种方法,然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 总数为 例
4 3 3 2 A8 ? 3A8 ? 3A8 ? 7 A8 ? 4088 种.

A82 种,共有 7 A82 方法.所以共有不同的派遣方法

现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有(
8 6 3 (B) A8 ? A6 ? A3 3 3 (C) A5 ? A3 8 4 (D) A8 ? A6
5

)种.

3 5 (A) A6 ? A5

误解:除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排,有 A5 种排法,5 人排好后产生 6 个空档,插入甲、乙、
3 5 3 丙三人有 A6 种方法,这样共有 A6 ? A5 种排法,选 A.

错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义,得到的结果是“甲、乙、丙三人互 不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻,但允许其中有两人相 邻. 正解:在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙三人不相邻的
8 6 3 方法数,即 A8 ? A6 ? A3 ,故选 B.

五、排列组合计算中的重复遗漏错误 在解答排列组合问题中,易犯的错误是遗漏与重复。遗漏多半比较明显,而重复较为隐蔽。 例 某天有六节不同的课,若第一节排数学,或第六节排体育,问共有多少种不同的排法? 错解 数学排第一节的排法有

A

5 5

种,体育排第六节的排法也有

A

5 5

种,根据加法原理,第一节排数学

或排体育的排法共有

A

5 5



A

5 5

=2

A

5 5

=240 种

剖析 在数学排第一节的排法中,存在着体育排第六节的排法,在排体育第六节的排法中,存在着数学 排第一节的排法,它重复计算了数学排第一节,同时体育排第六节的排法,即多算
5 5 4 A5 ? A5 ? A4 ? 216种

A

4 4

种。正确结果是:

在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面,因为遗漏某些情况,而出错。 例 6 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有( ) (A)36 个 (B)48 个 (C)66 个 (D)72 个 0 1, 3

误解:如右图,最后一位只能是 1 或 3 有两种取法, 又因为第 1 位不能是 0,在最后一位取定后只有 3 种取

2 2 法,剩下 3 个数排中间两个位置有 A3 种排法,共有 2 ? 3 ? A3 ? 36 个.

错因分析:误解只考虑了四位数的情况,而比 1000 大的奇数还可能是五位数.
3 正解:任一个五位的奇数都符合要求,共有 2 ? 3? A3 ? 36 个,再由前面分析四位数个数和五位数个

数之和共有 72 个,选 D. 排列组合问题虽然种类繁多 ,稍不注意就会产生这样或那样的错误 ,但只要能把握住最常见的原理和 方法,即: “分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合” ,留心容易出错的地方就能够以不变应万变,把 排列组合做好. “数学是思维的体操”,而排列组合的灵活性使这部分内容成为检测学生的数学学科素养必不可少的 一部分。通过对高考常见错误的分析可以使我们的学生完善自己的解题思维,也是提高学科素养的途径。


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