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河南省实验中学2014届高三数学第一次模拟考试文新人教a版_图文

河南省实验中学 2014 届高三数学第一次模拟考试 文 新人教 A 版
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.)
2 1. 已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ,

1 B ? {x | log 4 x ? } 2 ,则(
D. A



A. A ? B

B. B ? A

C.

A CR B ? R

B??

z?
2.已知复数 A. 2 ? i

1 ? 2i i 5 ,则它的共轭复数 z 等于(
C. 2 ? i D. ?2 ? i

)s

B. ?2 ? i

?? ? ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 ?2 ? 3..命题“ ”的否定是(



?? ? ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 ?2 ? A. ?? ? ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 ?2 ? C.

?? ? ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 ?2 ? B. ?? ? ?x ? ? , ? ?, sin x ? cos x ? 2 ?2 ? D.


4.已知 ? , ? 是两个不同的平面,下列四个条件中能推出 ? / / ? 的是( ①在一条直线 a, a ? ? , a ? ? , ②存在一个平面 ? , ? ? ? , ? ? ? ; A.①③ B.②④

③存在两条平行直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a / / ? , b / /? ; ④存在两条异面直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a / / ? , b / /? . D.②③

C.①④

? , m ? 3, n ? 2 5.已知平面向量 m, n 的夹角为 6 且 ,在 ?ABC 中, AB ? 2m ? 2n , AC ? 2m ? 6n ,
D 为 BC 中点,则
A.2 B.4
2 2

AD ?

(

) C.6 D.8

6.能够把圆 O : x ? y ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”,下列 函数不是圆 O 的“和谐函数”的是( )

A. f ( x) ? 4x ? x
3

f ( x) ? 1n
B.

5? x 5? x

C. f ( x) ? e ? e
x

?x

f ( x) ? tan
D.

x 2

7.已知 sinα + 2cosα = 3,则 tanα =( A. 2 2 B. 2 C.- 2 2 D.- 2

)

1

8.已知等比数列 A. 4
n ?1

{an } 的前 An 项和为 Sn ,且
C. 2
n ?1

a1 ? a3 ?

Sn 5 5 ? a2 ? a4 ? 2, 4 ,则 an (



B. 4 ? 1
n

D. 2 ? 1
n

9.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 4,则 P 的取值范围 是 ( )

7 15 ?P? 16 A. 8 3 7 ?P? 8 D. 4

P?
B.

15 16

7 15 ?P? 16 C. 8

1 0.已知实数 x, y 满足

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? ?x ? 2 y ?1 ? 0 ? x ? y ?1 ?

,则

3x ? 4 y ? 7

的最大

值为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 11.设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O,所成的角为 60°的直线 A1B1 和 A2B2,使

A1B1
(

= )

A2 B2

,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是

?2 3 ? ? ? 3 , 2? ? (A) ?

?2 3 ? ,2? ? ? 3 ? (B) ?

?2 3 ? , ?? ? ? ? 3 ? ? ? (C)

?2 3 ? , ?? ? ? ? 3 ? 12 .已知函数 (D) ?

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? f ? x? ? ? 3 ?? ? 2 x , x ? ? 1 ,1? g ? x ? ? a sin ? ? ? ? ?2 ? ?6 ? x ?1 ,函数

? x ? ? 2a ? 2 ? a ? 0 ? , x , x ??0,1? ? 若存在 1 2 ,使得

f ? x1 ? ? g ? x2 ?
? 2 ? ? ,1? ? 3 ? ? A.
?1 ? ,2 ? ?3 ? ?

成立,则实数 a 的取值范围是( )[

?1 4? , ? ? 2 3? ? B.

?4 3? , ? ? 3 2? ? C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的 横线上)

f (x ? )
13 . 已 知 函 数

2 ? 2 ?1
x

x s i n
, 则

f (? 2 ? )f

?(

1 ? f )

? f( 0 ) ? f . ( 1? )

( 2 )
2

14.已知球的直径 PQ=4,A、B、C 是该球球面上的三点,∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°,?ABC 是正三角形,则 棱锥 P-ABC 的体积为_________________. 15. 一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下, M 、 N 分别为 中正确的题号有 ①直线 MN 与

A1 B



B1C1

的中点.下列结论

A1C

相交.

ACC1 A1 N ? A1 BC ② MN ? BC .③ MN //平面 . ④三棱锥 的体积为

VN ? A1BC ?

1 3 a 6 .

16. 某城市为促进家庭节约用电,计划制定阶梯电价,阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、 四档,属于第一档电价的家庭约占 10 ,属于第二档电价的 家庭约占 40 ,属于第三档电价的家庭约占 30 ,属于第四 档电价的家庭约占 20 。为确定各档之间的界限,从该市的 家庭中抽查了部分家庭, 调查了他们上一年度的年月均用电量 (单位:千瓦时) ,由调查结果得下面的直方图 由此直方图可以做出的合理判断是 ①.年月均用电量不超过 80 千瓦时的家庭属于第一档 ②.年月均用电量低于 200 千瓦时,且超过 80 千瓦时的家庭属于第二档 ③.年月均用电量超过 240 千瓦时的家庭属于第四档 ④.该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数 三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分,17---21 必做,每题 12 分;22、23、24 选做,每题 10 分,多 选以第一题为准,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置)
2 17. (本小题满分 12 分)若 f ( x) ? 3 cos ax ? sin ax cosax (a ? 0) 的图像与直线 y ? m(m ? 0) 相切,

并且切点横坐标依次成公差为 ? 的等差数列. (1)求 a 和 m 的值;

A 3 ( , ) (2) ⊿ABC 中 a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边.若 2 2 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心,且
a=4,求⊿ABC 周长的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时,给 出的区间 [0, 10] 内的一个数,该数越接近 10 表示越满意.为了解某大城市市民的幸福感,随机对该城市 的男、女各 500 人市民进行了调查,调查数据如下表所示: [ 0, 2 ) [ 2, 4 ) [ 4, 6 ) 幸福感指数 男市民人数 女市民人数 10 10 20 10 220 180

[6, 8)
125 175

[8, 10)
125 125

根据表格,解答下面的问题:

3

(1)完成频率分布直方图,并根据频率分布直方图估算该城市市民幸 福感指数的平均值; (参考数据: 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 40 ? 5 ? 30 ? 7 ? 25 ? 9 ? 646 ) (2)如果市民幸福感指数达到 6,则认为他幸福.试在犯错误概率不超 过 0.01 的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关?
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 O

频率 组距

0.125

K2 ?
参考公式:

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )
0.01 6.635 0.001 10.828

0.01 0.015

2

4

6

8

10 幸福感指数

P( K 2 ? k 0 )
k0

0.10 2.706

19(本小题满分 12 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 为 AC 中点, AE ? BD 于 E (不同于点 D ) ,延长 AE 交 BC 于 F, 将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥

A1 ? BCD ,如图 2 所示.
A1EF ;

(1)若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM //平面 (2)求证:BD⊥ (3)若平面

A1F ;

A1BD ? 平面 BCD ,试判断直线 A1 B 与直线 CD 能否垂

直?并说明理由. (本小题满分 12 分)

5 P( x0 , y0 ) 是抛物线上任意一点(除 已知抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 上的一点(m,1)到焦点的距离为 4 .点
2

去顶点) ,过点 分别以点

M1 (0, ?1) 与 P 的直线和抛物线交于点 P1 ,过点 M 2 (0,1) 与的 P 直线和抛物线交于点 P2 .

P1 , P2 为切点的抛物线的切线交于点 P′.

(I)求抛物线的方程; (II)求证:点 P′在 y 轴上.

? 21. (本小题满分 12 分)对于函数 f ( x)(x ? D) ,若 x ? D 时,恒有 f ( x) > f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是
D 上的 J 函数. (Ⅰ)当函数 f ( x) ? me ln x 是定义域上的 J 函数时,求 m 的取值范围;
x

(Ⅱ)若函数 g ( x) 为(0,+∞)上的 J 函数,
4

试比较 g ( a ) 与 e 求 证 :

a ?1

g (1) 的大小;
于 任 意 大 于 1 的 实 数



x1 , x2 , x3 ,?, xn





g (ln(x1 ? x2 ? ? ? xn )) ? g ( x1 l) ? n g ( xl ? ? g ( xl 2 ) ?n n) .n
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A,B 两点,AB 是 圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并与 BO1 的延长线 交于点 P,PB 分别与⊙O1、⊙O2 交于 C,D 两点. 求证: (1)PA?PD=PE?PC; (2)AD=AE. 23. (本小题满分 10 分)选修 4─4:坐标系与参数方程选讲.

? x ? 3cos ? ? y ? 2sin ? ( ? 为参数) 已知曲线 C 的参数方程为 ? , 在同一平面直角坐标
? ? 1 x ? x ? ? 3 ? 1 ? y? ? y ? 2 得到曲线 C ? . 系中,将曲线 C 上的点按坐标变换 ?
(1)求曲线 C ? 的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C ? 上,点 B (3, 0) ,当点 A 在曲线 C ? 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程. 24. (本小题满分 10 分)选修 4─5:不等式证明选讲. 已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x )



x2 ? 6 x ? 9 ? x2 ? 8x ? 16 .

f (4) 的解集;

(2)设函数 g ( x) ? k ( x ? 3), k ? R ,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 都成立,求 k 的取值范围.

5

2014 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(一) 文科数学答案 选择题: D CB C A CAD D DA B

二、填空题 13. 5

9 3 14. 4

15. ②③ ④

16.①③④

18.

6

19.【解析】 试题解析: (1)因为 D , M 分别为 AC , FC 中点,所以 DM // EF 又 2分

EF ? 平面A1EF , DM ? 平面A1EF

所以

DM / / 平面A1EF .

4分

(2)因为 所以 又

A1E ? BD , EF ? BD 且 A1E
7分

EF ? E

BD ? 平面A1EF

A1F ? 平面A1EF
BD ? A1F
8分 9分
7

所以

(3)直线

A1B 与直线 CD 不能垂直

因为

平面A1BD ? 平面BCD , 平面A1BD 平面BCD ? BD , EF ? BD ,

EF ? 平面CBD ,
所以 因为

EF ? 平面A1BD . A1B ? 平面A1BD ,所以 A1B ? EF ,

10 分

A B ? DM . 又因为 EF / / DM ,所以 1
假设 因为 所以 所以 这与

A1B ? CD , A1B ? DM , CD DM ? D , A1B ? 平面BCD , A1B ? BD , ?A1BD 为锐角矛盾 A1B 与直线 CD 不能垂直.
12 分 11 分

所以直线

考点:线面平行判定定理,线面垂直判定定理

1?
20.解: (Ⅰ)由题意得

1 p 5 p? ? 2 2 4,
2

所以抛物线的方程为 y ? x …………4 分 (II)设

P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )



因为 y ? 2 x
'

则以点

P1 为切点的抛物线的切线方程为


y ? y1 ? 2x1 ( x ? x1 )
同理可得以点

y1 ? x12 ,所以 y ? 2x1x ? x12 ……………6 分

P2 为切点的抛物线的切线方程为 y ? 2x2 x ? x22
x?
解得



? y ? 2 x1 x ? x12 ? ? 2 ? ? y ? 2 x2 x ? x2

x1 ? x2 2 ………………………………………8 分

又过点

P( x0 , y0 ) 与 M1 (0, ?1) 的直线的斜率为 PM1 的方程为
y? y0 ? 1 x ?1 x0

k1 ?

y0 ? 1 x0

所以直线

8



y0 ? 1 ? ? y ? x x ?1 0 ? ? y ? x2 ?

x2 ?


y0 ? 1 1 x1 ? x ?1 ? 0 x x ? 1 ,即 x0 ……10 分 x0 所以 0 1 y? y0 ? 1 x ?1 x0

同理可得直线

PM 2 的方程为



y0 ? 1 ? ? y ? x x ?1 0 ? ? y ? x2 ?

x2 ?


y0 ? 1 x ?1 ? 0 x0

所以

x0 x2 ? ?1 ,即

x2 ? ?

1 x0

x1 ? x2 ?


1 1 ? (? ) ? 0 x0 x0 ,即 P′得横坐标为 0,

所以点 P′在 y 轴上………………………………………………12 分

? x ex ? ? f x ? m e ln x ? ? ? ? ? f ? x ? ? me x ln x x? ? 21 解: (Ⅰ)由 ,可得 , ? ex ? me x m ? e x ln x ? ? ? me x ln x ?0 f ? x? J x? 因为函数 是 函数,所以 ? ,即 x ,
ex ?0 因为 x ,所以 m ? 0 ,即 m 的取值范围为 (0, ??) .……………………………3 分 h ? x? ? g ? x? , x ? ? 0, ?? ? ex ,

(Ⅱ)①构造函数



h? ? x ? ?

g? ? x? ? g ? x? ?0 h ? x ? ? 0, ?? ? ex ,可得 为 上的增函数,

当 a ? 1 时,

h ? a ? ? h ?1?

g ? a ? g ?1? a ?1 ? a e ,得 g ? a ? ? e g ?1? ; ,即 e g ? a ? g ?1? a ?1 ? a e ,得 g ? a ? ? e g ?1? ; ,即 e

当 0 ? a ? 1 时,

h ? a ? ? h ?1?

g ? a ? g ?1? ? a h ? a ? ? h ?1? g ? a ? ? e a ?1 g ?1? a ? 1 e e 当 时, ,即 ,得 .…………………6 分
②因为

x1 ? x2 ?

? xn ? x1 ,所以 ln ? x1 ? x2 ?

? xn ? ? ln x1



由①可知

h ? ln ? x1 ? x2 ?

? xn ? ? ? h ? ln x1 ?
?



g ? ln ? x1 ? x2 ?
所以

? xn ? ?

e

ln ? x1 ? x2 ? ? xn ?

x1 g ? ln ? x1 ? x2 ? ? xn ? ? g ? ln x1 ? ? g ? ln x1 ? x1 ? x2 ? ? xn eln x1 ,整理得 ,
9

x2 g ? ln ? x1 ? x2 ?
同理可得

? xn ? ?

x1 ? x2 ?

? xn

? g ? ln x2 ?
,…,

xn g ? ln ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ?

? xn ? ?

? xn

? g ? ln xn ?
.

把 上 面 n 个 不 等 式 同 向 累 加 可 得 【 全 , 品 … 中 & 高 * 考 * 网 】

g ? ln ? x1 ? x2 ?

? xn ? ? ? g ? ln x1 ? ? g ? ln x 2 ? ?

? g ? ln xn ?

.……………………12 分

O2的割线 (1)? PE, PB分别是圆
? PA ? PE ? PD ? PB ①……………………2 分

又? PA, PB分别是圆 O1的切线与割线
? PA2 ? PC ? PB ②……………………4 分
由 ①②得

PA ? PD ? PE ? PC . ……………………5 分

(2)连接 AC,DE.? BC是圆O1的直径 ,

? ?CAB ? 90? .
PA PC ? ,? AC // ED ,? AB ? DE , PD 由(1)知, PE ……………………8 分
AB 是圆 O2 的直径 ? 弧 AD=弧 AE

? AD ? AE .……………10 分

? ? 1 x ? x ? ? 3 ? ? x ? 3cos ? ? x ? cos ? 1 ? y? ? y ? ? ? y ? 2sin ? y ? sin ? ? 2 ? C ? 23. 【解析】 (1)将 代入 ,得 的参数方程为 ?
∴曲线 C ? 的普通方程为 x ? y ? 1.
2 2

………5 分

(2)设 P ( x, y ) ,

A( x0 , y0 ) ,又 B(3, 0) ,且 AB 中点为 P

? x0 ? 2 x ? 3 ? y ? 2y 所以有: ? 0
又点 A 在曲线 C ? 上,∴代入 C ? 的普通方程
2 2 x0 ? y0 ? 1得 (2 x ? 3)2 ? (2 y)2 ? 1

3 1 ( x ? )2 ? y 2 ? 2 4. ∴动点 P 的轨迹方程为
24.【解析】 (1) f ( x) ?

………10 分

x2 ? 6 x ? 9 ? x2 ? 8x ? 16

? ( x ? 3) 2 ? ( x ? 4) 2 ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |
10

∴ f ( x) ? f (4) 即 | x ? 3 | ? | x ? 4 | ? 9

x ? ?4 x?3 ? ? ?4 ? x ? 3 ? ? ? ? 3 ? x ? x ? 4 ? 9 ① 或 ?3 ? x ? x ? 4 ? 9 ② 或 ? x ? 3 ? x ? 4 ? 9 ③ ∴?
解得不等式①: x ? ?5 ;②:无解 ③: x ? 4 所以 f ( x) ? f (4) 的解集为 {x | x ? ?5 或 x ? 4} . ………5 分

(2) f ( x) ? g ( x) 即 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | 的图象恒在 g ( x) ? k ( x ? 3) 图象的上方

??2 x ? 1, x ? ?4 ? f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 |? ? 7, ? 4 ? x ? 3 ? 2 x ? 1, x?3 ?
g ( x) ? k ( x ? 3) 图象为恒过定点 P (3, 0) ,且斜率 k 变化的一条直线
作函数

y ? f( x ), y ?

k ? 2 , A(?4, 7) ,∴ kPA ? ?1 g( 图象如图 x ) ,其中 PB

由图可知,要使得 f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方 ∴实数 k 的取值范围为 ?1 ? k ? 2 . ………10 分

11


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