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【章节训练】第3章 空间向量与立体几何 -1


【章节训练】第 3 章 空间向量与立体几何 -1

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【章节训练】第 3 章 空间向量与立体几何
一、选择题(共 10 小题) 1. (2011?重庆)高为

-1

的四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S,A,B,C,D 均在半径为 1 的同

一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( ) A. B. C.1

D.

2. (2004?浙江)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α,则 α=( )

A.

B.

C.

D.

3. (2005?湖南)设 P 是△ ABC 内任意一点,S△ ABC 表示△ ABC 的面积,λ1= 义 f(P)=(λ1,λ2,λ3) ,若 G 是△ ABC 的重心,f(Q)=( , , ) ,则( A.点 Q 在△ GAB 内 B.点 Q 在△ GBC 内 C.点 Q 在△ GCA 内

,λ2= )

,λ3=

,定

D.点 Q 与点 G 重合

4. (2007?湖北)设 A.(2,14) B.

, 在 上的投影为

, 在 x 轴上的投影为 2,且 C.

,则 为(



D.(2,8)

5. (2001?江西)若向量 =(3,2) =(0,﹣1) =(﹣1,2) , , ,则向量 2 ﹣ 的坐标是( A.(3,﹣4) B.(﹣3,4) C.(3,4)



D.(﹣3,﹣4)

6. (2005?黑龙江)△ ABC 的顶点在平面 α 内,A、C 在 α 的同一侧,AB、BC 与 α 所成的角分别是 30°和 45°.若 AB=3,BC= ,AC=5,则 AC 与 α 所成的角为( ) A.60° B.45° C.30° D.15° 7. (2004?贵州)已知球的表面积为 20π,球面上有 A、B、C 三点,如果 AB=AC=2,BC=2 的距离为( ) A.1 B. C. D.2 ,则球心到平面 ABC

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www.jyeoo.com 8. (2013?北京)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取 值有( )

A.3 个

B.4 个

C.5 个

D.6 个 )

9. (2013?温州一模)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( A. B. C. D.

10. (2013?山东)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( A. B. C. ) D.

的正三角形,若 P 为

二、填空题(共 5 小题) (除非特别说明,请填准确值) 11. (2012?惠州模拟)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 _________ . 12. (2011?台湾)H:x﹣y+z=2 为坐标空间中一平面,L 为平面 H 上的一直线.已知点 P(2,1,1)为 L 上距离 原点 O 最近的点,则 _________ 为 L 的方向向量. 13. (2009?安徽)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,﹣3,1) ,点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是 _________ .

14. (2010?江西)已知向量 , 满足| |=2, 与 的夹角为 60°,则 在 上的投影是 _________ . 15. (2013?北京)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 _________ .

三、解答题(共 5 小题) (选答题,不自动判卷) 16. (2013?上海) 如图,在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线 BC′平行于 平面 D′AC,并求直线 BC′到平面 D′AC 的距离.

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17. (2013?陕西)如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD, . (Ⅰ) 证明:A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小.

18. (2013?重庆)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD= PC 的中点,AF⊥PB. (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值.

,F 为

19. (2013?江西)如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= 上一点,DE=1,EC=3 (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

,AA1=3,E 为 CD

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www.jyeoo.com 20. (2013?江西) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 为 BD 的中点, 为 PD 的中点, DAB≌△DCB, E G △ EA=EB=AB=1,PA= ,连接 CE 并延长交 AD 于 F (1)求证:AD⊥平面 CFG; (2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.

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【章节训练】第 3 章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题) 1. (2011?重庆)高为

-1

的四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S,A,B,C,D 均在半径为 1 的同

一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( ) A. B. C.1

D.

考点: 点、线、面间的距离计算;球内接多面体. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可知 ABCD 所在的圆是小圆,对角线长为
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,四棱锥的高为

,而球心到小圆圆心的距离为



则推出顶点 S 在球心距的垂直分的平面上,而顶点 S 到球心的距离为 1,即可求出底面 ABCD 的中心与顶 点 S 之间的距离. 解答: 解:由题意可知 ABCD 所在的圆是小圆,对角线长为 ,四棱锥的高为 , ,顶点 S 在球心距的垂直分

点 S,A,B,C,D 均在半径为 1 的同一球面上,球心到小圆圆心的距离为

的平面上,而顶点 S 到球心的距离为 1,所以底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 1 故选 C 点评: 本题是基础题,考查球的内接多面体的知识,考查逻辑推理能力,计算能力,转化与划归的思想. 2. (2004?浙江)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α,则 α=( )

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 如图作 DE⊥面 AA1C1C 于 E, 连接 AE, AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α 是∠DAE, 则 在直角三角形 DAE 中,算了共正弦值,再由值求角. 解答: 解:如图作 DE⊥面 AA1C1C 于 E,连接 AE, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中已知 AB=1,D 在棱 BB1 上,且 BD=1,
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∴AD=

,DE

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www.jyeoo.com ∴sinα= α=arcsin 故选 D. =

点评: 本题考点是立体几何中求线面角,这是立体几何中常考的一个题型.

3. (2005?湖南)设 P 是△ ABC 内任意一点,S△ ABC 表示△ ABC 的面积,λ1= 义 f(P)=(λ1,λ2,λ3) ,若 G 是△ ABC 的重心,f(Q)=( , , ) ,则( A.点 Q 在△ GAB 内 B.点 Q 在△ GBC 内 C.点 Q 在△ GCA 内

,λ2= )

,λ3=

,定

D.点 Q 与点 G 重合

考点: 空间点、线、面的位置. 专题: 压轴题. 分析: 分析知 λ 的值对应的是 P 分△ ABC 所得三个三角形的高与△ ABC 的高的比值,比值大,说明相应的小三角
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形的高比较大,f(Q)=( , , )可以得出 Q 点离线段 AB 距离近,故其应在△ GAB 内. 解答: 解:由已知得,f(P)=(λ1,λ2,λ3)中的三个坐标分别为 P 分△ ABC 所得三个三角形的高与△ ABC 的高 的比值, ∵f(Q)=( , , ) ∴P 离线段 AB 的距离最近,故点 Q 在△ GAB 内 由分析知, 应选 A. 点评: 考查对新定义的理解,此类题关键是通过新给出的定义明了定义所告诉的关系与运算,然后用定义所提供 的方式来解题,本题是把相应的坐标与小三角形的高与大三角形的比值对应起来,根据坐标即可得出相应 的定点到三个边距离的远近.以此来判断相应的点在大三角形中的相应位置.

4. (2007?湖北)设 A.(2,14) B.

, 在 上的投影为

, 在 x 轴上的投影为 2,且 C.

,则 为(



D.(2,8)

考点: 向量的投影;向量的几何表示. 专题: 常规题型;计算题;压轴题. 分析: 先由 在 x 轴上的投影为 2,设

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,再根据 在 上的投影为

,求得 y,最后由



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∴7y ﹣96y﹣28=0,解可得 y=﹣ 或 14, ∵ ,即 4+y ≤144,
2

2

∴y=﹣ , =(2,﹣ ) 故选 B 点评: 本题主要考查向量投影的定义及其应用,考查灵活,巧妙既有知识的运用,也有少量的运算,还有取舍问 题的考查,是一道好题.

5. (2001?江西)若向量 =(3,2) =(0,﹣1) =(﹣1,2) , , ,则向量 2 ﹣ 的坐标是( A.(3,﹣4) B.(﹣3,4) C.(3,4)



D.(﹣3,﹣4)

考点: 空间向量运算的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 由向量的坐标运算的法则,代入运算即可. 解答: 解:由向量的坐标运算可得 2 ﹣ =2(0,﹣1)﹣(3,2)=(0,﹣2)﹣(3,2)=(﹣3,﹣4)
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故选 D 点评: 本题考查空间向量的坐标运算,属基础题. 6. (2005?黑龙江)△ ABC 的顶点在平面 α 内,A、C 在 α 的同一侧,AB、BC 与 α 所成的角分别是 30°和 45°.若 AB=3,BC= ,AC=5,则 AC 与 α 所成的角为( ) A.60° B.45° C.30° D.15° 考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 作出如图的图形,D 是 A 在面内的射影,E 是 C 在面内的射影过 A 作 AF⊥BC 于 F 直线 AC 与其在面内射 影 DE 的夹角与角 DAE 大小相等,求之即可. 解答: 解:如图,D 是 A 在面内的射影, E 是 C 在面内的射影过 A 作 AF⊥BC 于 F, 则面 ADEC 与面 α 垂直,故 AC 在面内的射影即 DE, 直线 AC 与面 α 的夹角即 AC 与 DE 所成的锐角由作图知,∠CAF 的大小即即线面角的大小, 由已知及作图,AB=3,BC=4 ,∠ABD=30°,∠CBE=45°
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∴AD= ,CE=4,

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www.jyeoo.com 由作图知 CF= ,又 AC=5,

在直角三角形 AFC 中,sin∠CAF= = , ∴∠CAF=30°,即 AC 与面 α 所成的角是 30°. 故应选 C.

点评: 考查立体几何中线面角的求法.依据定义作出合适的图象,根据题意求解是解决这类题的重点. 7. (2004?贵州)已知球的表面积为 20π,球面上有 A、B、C 三点,如果 AB=AC=2,BC=2 的距离为( ) A.1 B. C. D.2 ,则球心到平面 ABC

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由已知中球的表面积为 20π,我们可以求出球半径 R,再由△ ABC 中,AB=AC=2,BC=2 ,解三角形我 们可以求出△ ABC 所在平面截球所得圆(即△ ABC 的外接圆半径) ,然后根据球心距 d,球半径 R,截面圆 半径 r,构造直角三角形,满足勾股定理,我们即可求出球心到平面 ABC 的距离. 解答: 解:∵球的表面积为 20π ∴球的半径 R= ∵又 AB=AC=2,BC=2 ,
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由余弦定理得 CosA=﹣ 则 SinA= 则△ ABC 的外接圆半径 2r= =4

则 r=2 则球心到平面 ABC 的距离 d= =1

故选 A 点评: 本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算,其中根据球心距 d,球半径 R,截面圆半径 r,构造 直角三角形,满足勾股定理,是与球相关的距离问题常用方法. 8. (2013?北京)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取 值有( )

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A.3 个

B.4 个

C.5 个

D.6 个

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长|AB|=3,即可得到各顶点的坐标,利用两点间的距 离公式即可得出. 解答: 解:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长|AB|=3,
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则 A(3,0,0) ,B(3,3,0) ,C(0,3,0) ,D(0,0,0) 1(3,0,3) 1(3,3,3) 1(0,3, ,A ,B ,C 3) 1(0,0,3) ,D , ∴ =(﹣3,﹣3,3) ,设 P(x,y,z) ,∵ =(﹣1,﹣1,1) ,∴ =

(2,2,1) . ∴|PA|=|PC|=|PB1|= |PD|=|PA1|=|PC1|= |PB|= |PD1|= , = . ,3, , 共 4 个. = , ,

故 P 到各顶点的距离的不同取值有 故选 B.

点评: 熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键. 9. (2013?温州一模)正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( A. B. C. D. )

考点: 直线与平面所成的角;点、线、面间的距离计算.

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www.jyeoo.com 专题: 空间角. 分析: 正方体上下底面中心的连线平行于 BB1, 上下底面中心的连线与平面 ACD1 所成角, 即为 BB1 与平面 ACD1 所成角, 直角三角形中,利用边角关系求出此角的余弦值. 解答: 解:如图,设上下底面的中心分别为 O1,O; 则 O1O 与平面 ACD1 所成角就是 BB1 与平面 ACD1 所成角,即∠O1OD1, cos∠O1OD1= 故选 D. = = ,

点评: 本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出 D 到 平面 ACD1 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现,属于中档题. 10. (2013?山东)已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( A. B. C. ) D. 的正三角形,若 P 为

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 利用三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, 即为∠APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角. 利用三棱锥的体积计算公式可得 AA1, 再利用正三角形的性质可得
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A1P,在 Rt△ AA1P 中,利用 tan∠APA1= 解答: 解:如图所示,

即可得出.

∵AA1⊥底面 A1B1C1,∴∠APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角, ∵平面 ABC∥平面 A1B1C1,∴∠APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角. ∵ = = . = = ,解得 . =1,

∴V 三棱柱 ABC﹣A1B1C1=

又 P 为底面正三角形 A1B1C1 的中心,∴

在 Rt△ AA1P 中,



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www.jyeoo.com ∴ 故选 B. .

点评: 熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键. 二、填空题(共 5 小题) (除非特别说明,请填准确值) 11. (2012?惠州模拟)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为 .

考点: 用空间向量求直线间的夹角、距离;棱柱的结构特征;异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 2,以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,则
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=(0,2,﹣1) ,由此利用向量法能够求出异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值.

解答: 解:设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 2,以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0) ,E(2,2,1)D1(0,0,2) ,F(0,2,1) ∴ , =(0,2,﹣1) ,

设异面直线 AE 与 D1F 所成角为 θ, 则 cosθ=|cos< 故答案为: . , >|=| |= .

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点评: 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意向量法的合理 运用. 12. (2011?台湾)H:x﹣y+z=2 为坐标空间中一平面,L 为平面 H 上的一直线.已知点 P(2,1,1)为 L 上距离 原点 O 最近的点,则 (2,﹣1,﹣3) 为 L 的方向向量. 考点: 空间向量运算的坐标表示. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据所给的平面的方程,写出平面的一个法向量,设出直线的一个方向向量,根据两个向量之间的关系得 到两个向量的数量积等于 0,求出未知数,得到要求的直线的方向向量. 解答: 解:∵x﹣y+z=2 为坐标空间中一平面
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∴平面的一个法向量是 设直线 L 的方向向量为 ∵L 在 H 上, ∴ 与平面 H 的法向量 故 ∵P(2,1,1)为直线 L 上距离原点 O 最近的点, ∴ 故 解得 b=﹣1,c=﹣3 故答案为: (2,﹣1,﹣3) 点评: 本题考查空间向量运算的坐标表示,本题解题的关键是写出平面的法向量,然后根据两个向量之间的关系 得到结论. 13. (2009?安徽)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,﹣3,1) ,点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是 (0,﹣1,0) . 考点: 用空间向量求直线间的夹角、距离. 专题: 计算题;方程思想. 垂直

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www.jyeoo.com 分析: 根据点 M 在 y 轴上,设出点 M 的坐标,再根据 M 到 A 与到 B 的距离相等,由空间中两点间的距离公式求 得 AM,BM,解方程即可求得 M 的坐标. 解答: 解:设 M(0,y,0) 由 1 +y +4=1+(y+3) +1 可得 y=﹣1 故 M(0,﹣1,0) 故答案为: (0,﹣1,0) . 点评: 考查空间两点间的距离公式,空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆,利于知识的系统 化,属基础题.
2 2 2

14. (2010?江西)已知向量 , 满足| |=2, 与 的夹角为 60°,则 在 上的投影是 1 . 考点: 向量的投影. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 根据投影的定义,应用公式| |cos< , >=
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求解.

解答:

解:根据向量的投影定义, 在 上的投影等于| |cos< , >=2× =1

故答案为:1 点评: 本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用. 15. (2013?北京)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 .

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,取 B1C1 的中点 F,连接 EF,ED1,利用线面平行的性质即可得到 C1C∥平面 D1EF,进而得到 异面直线 D1E 与 C1C 的距离. 解答: 解:如图所示,取 B1C1 的中点 F,连接 EF,ED1,
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,CC1⊥底面 ABCD,∴四边形 EFC1C 是矩形.

∴CC1∥EF, 又 EF?平面 D1EF,CC1?平面 D1EF,∴CC1∥平面 D1EF. ∴直线 C1C 上任一点到平面 D1EF 的距离是两条异面直线 D1E 与 CC1 的距离. 过点 C1 作 C1M⊥D1F, ∵平面 D1EF⊥平面 A1B1C1D1. ∴C1M⊥平面 D1EF. 过点 M 作 MP∥EF 交 D1E 于点 P,则 MP∥C1C. 取 C1N=MP,连接 PN,则四边形 MPNC1 是矩形. 可得 NP⊥平面 D1EF,
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www.jyeoo.com 在 Rt△ D1C1F 中,C1M?D1F=D1C1?C1F,得 = .

∴点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 故答案为



点评: 熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键. 三、解答题(共 5 小题) (选答题,不自动判卷) 16. (2013?上海) 如图,在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线 BC′平行于 平面 D′AC,并求直线 BC′到平面 D′AC 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 建立空间直角坐标系,求出平面 D′AC 的一个法向量为 =(2,1,﹣2) ,再根据
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=﹣0,可得



, 的值,即为直线 BC′到

可得直线 BC′平行于平面 D′AC.求出点 B 到平面 D′AC 的距离 d=

平面 D′AC 的距离. 解答: 解:以 D′A′所在的直线为 x 轴,以 D′C′所在的直线为 y 轴,以 D′D 所在的直线为 z 轴,建立空间 直角坐标系. 则由题意可得,点 A(1,0,1 ) 、B(1,2,1) 、C(0,2,1) 、C′(0,2,0) 、D′(0,0,0) . 设平面 D′AC 的一个法向量为 =(u,v,w) ,则由 ⊥ ∵ =(1,0,1) , =(0,2,1) ,∴ , ⊥ ,可得 . , .

,解得

令 v=1,可得 u=2,w=﹣2,可得 =(2,1,﹣2) .

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www.jyeoo.com 由于 =(﹣1,0,﹣1) ,∴ =﹣0,故有 ⊥ .

再由 BC′不在平面 D′AC 内,可得直线 BC′平行于平面 D′AC. 由于 =(1,0,0) ,可得点 B 到平面 D′AC 的距离 d= = = ,

故直线 BC′到平面 D′AC 的距离为 . 点评: 本题主要考查利用向量法证明直线和平面平行,求直线到平面的距离的方法,体现了转化的数学思想,属 于中档题. 17. (2013?陕西)如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD, . (Ⅰ) 证明:A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)要证明 A1C⊥平面 BB1D1D,只要证明 A1C 垂直于平面 BB1D1D 内的两条相交直线即可,由已知可 证出 A1C⊥BD,取 B1D1 的中点为 E1,通过证明四边形 A1OCE1 为正方形可证 A1C⊥E1O.由线面垂直的 判定定理问题得证.
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(Ⅱ)以 O 为原点,分别以 OB,OC,OA1 所在直线为 x,y,Z 轴建立空间直角坐标系,然后求出平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的法向量,利用法向量所成的角求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 的大小. 解答: (Ⅰ)证明:∵A1O⊥面 ABCD,且 BD?面 ABCD,∴A1O⊥BD; 又∵在正方形 ABCD 中,AC⊥BD,A1O∩AC=O, ∴BD⊥面 A1AC,且 A1C?面 A1AC,故 A1C⊥BD. 在正方形 ABCD 中,∵ ,∴AO=1, 在 Rt△ A1OA 中,∵ ,∴A1O=1.

设 B1D1 的中点为 E1,则四边形 A1OCE1 为正方形,∴A1C⊥E1O. 又 BD?面 BB1D1D,且 E10?面 BB1D1D,且 BD∩EO=O, ∴A1C⊥面 BB1D1D; (Ⅱ)解:以 O 为原点,分别以 OB,OC,OA1 所在直线为 x,y,Z 轴建立如图所示空间直角坐标系, 则 B(1,0,0) ,C(0,1,0) 1(0,0,1) 1(1,1,1) ,A ,B , . 由(Ⅰ)知,平面 BB1D1D 的一个法向量 , . ,

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www.jyeoo.com 设平面 OCB1 的法向量为 ,

由 ∴

,得 .

,取 z=﹣1,得 x=1.



=



所以,平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 θ 为



点评: 本题考查了直线与平面垂直的判定,考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角,解 答的关键是建立正确的空间右手系,是中档题.

18. (2013?重庆)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD= PC 的中点,AF⊥PB. (1)求 PA 的长; (2)求二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值.

,F 为

考点: 用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)连接 BD 交 AC 于点 O,等腰三角形 BCD 中利用“三线合一”证出 AC⊥BD,因此分别以 OB、OC 分别 为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图所示.结合题意算出 A、B、C、D 各点的坐标,设 P(0,﹣3,z) ,
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根据 F 为 PC 边的中点且 AF⊥PB,算出 z=2 (II)由(I)的计算,得 =(﹣

,从而得到 =(

=(0,0,﹣2

) ,可得 PA 的长为 2



,3,0) ,

,3,0) ,

=(0,2,

) .利用垂直向量数量

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www.jyeoo.com 积为零的方法建立方程组,解出 =(3, ,﹣2)和 =(3,﹣ ,2)分别为平面 FAD、平面 FAB 的

法向量,利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦,结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角 B ﹣AF﹣D 的正弦值. . 解答: 解: (I)如图,连接 BD 交 AC 于点 O ∵BC=CD,AC 平分角 BCD,∴AC⊥BD 以 O 为坐标原点,OB、OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 OC=CDcos 又∵OD=CDsin =1,而 AC=4,可得 AO=AC﹣OC=3. = , ,0,0)

∴可得 A(0,﹣3,0) ,B( ,0,0) ,C(0,1,0) ,D(﹣ 由于 PA⊥底面 ABCD,可设 P(0,﹣3,z) ∵F 为 PC 边的中点,∴F(0,﹣1, ) ,由此可得 ∵ ∴ =( ? ,3,﹣z) ,且 AF⊥PB, =6﹣ =0,解之得 z=2 (舍负) ; ,3,0) ,

=(0,2, ) ,

因此,

=(0,0,﹣2 =(﹣

) ,可得 PA 的长为 2 ,3,0) , =(

(II)由(I)知

=(0,2,

) ,

设平面 FAD 的法向量为 =(x1,y1,z1) ,平面 FAB 的法向量为 =(x2,y2,z2) , ∵ ? =0 且 ? ,取 y1= 得 =(3, ,﹣2) ,

=0,∴

同理,由 ?

=0 且 ?

=0,解出 =(3,﹣

,2) ,

∴向量 、 的夹角余弦值为 cos< , >=

=

=

因此,二面角 B﹣AF﹣D 的正弦值等于

=

点评: 本题在三棱锥中求线段 PA 的长度,并求平面与平面所成角的正弦值.着重考查了空间线面垂直的判定与性 质,考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识,属于中档题.
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www.jyeoo.com 19. (2013?江西)如图,直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD= 上一点,DE=1,EC=3 (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离. ,AA1=3,E 为 CD

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)过点 B 作 BF⊥CD 于 F 点,算出 BF、EF、FC 的长,从而在△ BCE 中算出 BE、BC、CE 的长,由勾 股定理的逆定理得 BE⊥BC,结合 BE⊥BB1 利用线面垂直的判定定理,可证出 BE⊥平面 BB1C1C; (2)根据 AA1⊥平面 A1B1C1,算出三棱锥 E﹣A1B1C1 的体积 V= .根据线面垂直的性质和勾股定理,
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算出 A1C1=EC1=3

、 1E=2 A

, 从而得到等腰△ A1EC1 的面积 S△ ×d=

=3 d,从而得到

, B1 到平面 EA1C1 的 设 = d,由此即可解出点

距离为 d,可得三棱锥 B1﹣A1C1E 的体积 V= ×S△ B1 到平面 EA1C1 的距离. 解答: 解: (1)过点 B 作 BF⊥CD 于 F 点,则 BF=AD= ,EF=AB=DE=1,FC=2 在 Rt△ BEF 中,BE=
2 2

=

;在 Rt△ BCF 中,BC=
2

=

因此,△ BCE 中可得 BE +BC =9=CE ∴∠CBE=90°,可得 BE⊥BC, ∵BB1⊥平面 ABCD,BE?平面 ABCD,∴BE⊥BB1, ∵BC、BB1 是平面 BB1C1C 内的相交直线,∴BE⊥平面 BB1C1C; (2)∵AA1⊥平面 A1B1C1,得 AA1 是三棱锥 E﹣A1B1C1 的高线 ∴三棱锥 E﹣A1B1C1 的体积 V= ×AA1×S△ 在 Rt△ A1D1C1 中,A1C1= 同理可得 EC1= =3 =3 ,A1E= =2 = , =

∴等腰△ A1EC1 的底边 EC1 上的中线等于 可得 S△ = ×2 × =3

设点 B1 到平面 EA1C1 的距离为 d,则三棱锥 B1﹣A1C1E 的体积为 V= ×S△ ×d= d,可得 = . d,解之得 d=

即点 B1 到平面 EA1C1 的距离为

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点评: 本题在直四棱柱中求证线面垂直,并求点到平面的距离.着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与 其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识,属于中档题. 20. (2013?江西) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, 为 BD 的中点, 为 PD 的中点, DAB≌△DCB, E G △ EA=EB=AB=1,PA= ,连接 CE 并延长交 AD 于 F (1)求证:AD⊥平面 CFG; (2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用直角三角形的判定得到∠BAD= ,且∠ABE=∠AEB= .由△ DAB≌△DCB 得到
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△ EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠FEA=

,所以 EF⊥AD 且 AF=FD,结合题意得到 FG 是△ PAD 是的

中位线,可得 FG∥PA,根据 PA⊥平面 ABCD 得 FG⊥平面 ABCD,得到 FG⊥AD,最后根据线面垂直的 判定定理证出 AD⊥平面 CFG; (2)以点 A 为原点,AB、AD、PA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系,得到 A、B、C、D、P 的坐标,从而得到 )和 =(1, 、 、 的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出 =(1,﹣ ,

,2)分别为平面 BCP、平面 DCP 的法向量,利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的

余弦,即可得到平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值. 解答: 解: (1)∵在△ DAB 中,E 为 BD 的中点,EA=EB=AB=1, ∴AE= BD,可得∠BAD= ,且∠ABE=∠AEB=

∵△DAB≌△DCB,∴△EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB= ∴∠FED=∠FEA= ,可得 EF⊥AD,AF=FD

又∵△PAD 中,PG=GD,∴FG 是△ PAD 是的中位线,可得 FG∥PA ∵PA⊥平面 ABCD,∴FG⊥平面 ABCD,
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www.jyeoo.com ∵AD?平面 ABCD,∴FG⊥AD 又∵EF、FG 是平面 CFG 内的相交直线,∴AD⊥平面 CFG; (2)以点 A 为原点,AB、AD、PA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系,可得 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C( , ∴ =( , ,0) , =(﹣ ,﹣ ,0) ,D(0, , ) , ,0) ,P(0,0, ) ,0)

=(﹣ ,

设平面 BCP 的法向量 =(1,y1,z1) ,则

解得 y1=﹣

,z1= ,可得 =(1,﹣

, ) ,

设平面 DCP 的法向量 =(1,y2,z2) ,则

解得 y2=

,z2=2,可得 =(1,

,2) ,

∴cos< , >=

=

=

因此平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值等于|cos< , >|=



点评: 本题在三棱锥中求证线面垂直,并求平面与平面所成角的余弦值.着重考查了空间线面垂直的判定与性质, 考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识,属于中档题.

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