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2015届高考理科数学第一轮基础知识点复习教案19.doc


第三节 三角函数的图象与性质 [考情展望] 1.考查三角函数图象的识别.2.考查三角函数的有关性质(单调

性、奇偶性、周期性和对称性).3.考查三角函数的值域(最值).

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域

x∈R [-1,1] 递增区间是[2kπ π π -2,2kπ+2] (k

x∈R [-1,1]

π x∈R 且 x≠2+ kπ,k∈Z

值域

R

递增区间是[2kπ -π,2kπ](k∈Z), 递减区间是 [2kπ,2kπ+π](k∈ Z) 递增区间是( π π kπ-2,kπ+2)(k ∈Z)

单调性

∈Z), 递减区间是 π 3π 2kπ+2,2kπ+ 2 (k∈Z)

最值 奇偶性 对称 性 对称中 心

ymax=1; ymin=-1 奇函数 (kπ,0),k∈Z

ymax=1; ymin=-1 偶函数 π ? ? ?kπ+2,0?,k∈Z ? ?

无最大值和最小 值 奇函数 ?kπ ? ? 2 ,0?,k∈Z ? ?

对称轴 最小正 周期

π x=kπ+2,k∈Z 2π

x=kπ,k∈Z 2π

无对称轴 π

三角函数奇偶性的判断技巧 1.若 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ=2+kπ(k∈Z); (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z). 2.若 f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0),则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z). π (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ=2+kπ(k∈Z).

1.函数 y=tan 3x 的定义域为(
? ? ? 3 A.?x?x≠2π+3kπ,k∈Z ? ? ? ? ? ? π B.?x?x≠6+kπ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠-6+kπ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? π kπ D.?x?x≠6+ 3 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ?

)

【解析】 【答案】

π π kπ 由 3x≠ +kπ,k∈Z 得 x≠ + ,k∈Z,故选 D. 2 6 3 D )

? 5π? 2.函数 f(x)=2cos?x+ 2 ?是( ? ? A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数

C.最小正周期为 2π 的非奇非偶函数

D.最小正周期为 π 的偶函数 【解析】 ? 5 ? ? π? f(x)=2cos?x+2π?=2cos?x+2? ? ? ? ?

=-2sin x,故 f(x)是最小正周期为 2π 的奇函数. 【答案】 A )

? π? 3.函数 f(x)=sin?x-4?的图象的一条对称轴是( ? ? π A.x=4 π C.x=-4 【解析】 法一 π B.x=2 π D.x=-2

∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故

π π 3π 令 x-4=kπ+2,k∈Z,∴x=kπ+ 4 ,k∈Z. π 取 k=-1,则 x=-4. 法二 = π π ?π π? ?π π? x=4时, y=sin?4-4?=0, 不合题意, 排除 A; x=2时, y=sin?2-4? ? ? ? ?

2 π ? π π? ,不合题意,排除 B;x=- 时,y=sin?-4-4?=-1,符合题意,C 项 2 4 ? ?

π 2 ? π π? 正确;而 x=-2时,y=sin?-2-4?=- 2 ,不合题意,故 D 项也不正确. ? ? 【答案】 C

? π? ? π? 4.比较大小:sin?-18?________sin?-10?. ? ? ? ? 【解析】 【答案】 π π π ? π? ? π? ∵-2<-10<-18<0,∴sin?-18?>sin?-10?. ? ? ? ? >

π? π? ? ? 5.(2013· 天津高考)函数 f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为( ? ? ? ? A.-1 2 C. 2 2 B.- 2 D.0

)

【解析】

π π π 3π π π ∵x∈[0,2],∴-4≤2x-4≤ 4 ,∴当 2x-4=-4时,f(x)=

π 2 sin(2x-4)有最小值- 2 . 【答案】 B

π? ? 6.(2013· 江苏高考)函数 y=3sin?2x+4?的最小正周期为________. ? ? 【解析】 【答案】 π? 2π ? 函数 y=3sin?2x+4?的最小正周期 T= 2 =π. ? ? π

考向一 [053] (1)函数 y=

三角函数的定义域和值域

1 的定义域为________. tan x-1

(2)求下列函数的值域: ①y=2cos2 x+2cos x; ②y=3cos x- 3sin x,x∈[0,π]; ③y=sin x+cos x+sin xcos x. 【思路点拨】 π (1)由 tan x-1≠0,且 x≠2+kπ,k∈Z 解得.

(2)①令 cos x=t,转化成二次函数求解,注意 t 的范围. ②借助辅助角公式,化原式成 y=Asin(ωx+φ)的形式,借助函数的单调性 求解. t2-1 ③令 sin x+cos x=t,则 sin xcos x= 2 ,从而转化成二次函数求值域. 【尝试解答】 (1)要使函数有意义,必需有

tan x-1≠0, ? ? ? π x≠ +kπ,k∈Z, ? ? 2

π ? ?x≠4+kπ,k∈Z, 即? π x ≠ ? ? 2+kπ,k∈Z. 故函数的定义域为
? ? ? π π ?x?x≠ +kπ且x≠ +kπ,k∈Z? 4 2 ? ? ?

.
? ? ? ? ?

【答案】

? ? ? π π ?x?x≠ +kπ且x≠ +kπ,k∈Z 4 2 ? ? ?

1? 1 ? (2)①y=2cos2x+2cos x=2?cos x+2?2-2. ? ? 当且仅当 cos x=1 时,得 ymax=4, 1 1 当且仅当 cos x=-2时,得 ymin=-2, ? 1 ? 故函数值域为?-2,4?. ? ? ? 3 ? 1 ②y=3cos x- 3sin x=2 3? cos x- sin x? 2 ?2 ? ? π? =2 3cos?x+6?. ? ? ∵x∈[0,π], π π 7π ∴6≤x+6≤ 6 , 3 ? π? ∴-1≤cos?x+6?≤ 2 , ? ? ? π? ∴-2 3≤2 3cos?x+6?≤3. ? ? ∴y=3cos x- 3sin x 的值域为[-2 3,3]. ③法一:y=sin xcos x+sin x+cos x ?sin x+cos x?2-1 ? π? = + 2sin?x+4? 2 ? ? ? π? ? π? 1 =sin2?x+4?+ 2sin?x+4?-2 ? ? ? ? ? ? π? 2? =?sin?x+ ?+ ?2-1, ? ? 4? 2 ?

? π? 所以当 sin?x+4?=1 时, ? ? 1 1 y 取最大值 1+ 2-2=2+ 2. 2 ? π? 当 sin?x+4?=- 2 时,y 取最小值-1, ? ? 1 ? ? ∴该函数值域为?-1,2+ 2?. ? ? t2-1 法二:设 t=sin x+cos x,则 sin xcos x= 2 (- 2≤t≤ 2), 1 1 1 y=t+2t2-2=2(t+1)2-1, 1 当 t= 2时,y 取最大值为 2+2, 当 t=-1 时,y 取最小值为-1. 1 ? ? ∴函数值域为?-1,2+ 2?. ? ? 规律方法 1 1.求三角函数的定义域实际上是解三角不等式,常借助三角

函数线或三角函数图象来求解. 2.求解三角函数的值域?最值?的常见类型及方法.,?1?形如 y=asin x+bcos x +c 的三角函数化为 y=Asin?ωx+φ?+k 的形式,再求最值?值域?; ?2?形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的 二次函数求值域?最值?; ?3?形如 y=asin xcos x+b?sin x± cos x?+c 的三角函数,可设 t=sin x± cos x, 化为关于 t 的二次函数求解. 考向二 [054] 三角函数的单调性

求下列函数的单调区间. π? ? (1)y=sin?-3x+4?;(2)y=|tan x|. ? ? π? ? 【思路点拨】 (1)y=-sin?3x-4?,再借助复合函数单调性求解;(2)由 y ? ? =tan x 的图象→y=|tan x|的图象→求单调区间. 【尝试解答】 π? ? (1)y=-sin?3x-4?, ? ?

π? ? 它的增区间是 y=sin?3x-4?的减区间, ? ? π? ? 它的减区间是 y=sin?3x-4?的增区间. ? ? π π π 由 2kπ-2≤3x-4≤2kπ+2,k∈Z, 2kπ π 2kπ π 得 3 -12≤x≤ 3 +4,k∈Z. π π 3π 由 2kπ+2≤3x-4≤2kπ+ 2 ,k∈Z. 2kπ π 2kπ 7 得 3 +4≤x≤ 3 +12π,k∈Z. ?2kπ π 2kπ π? 故所给函数的减区间为? 3 -12, 3 +4?,k∈Z; ? ? ?2kπ π 2kπ 7π? 增区间为? 3 +4, 3 +12?,k∈Z. ? ? π? ? (2) 观察图象可知, y = |tan x| 的增区间是 ?kπ,kπ+2? , k ∈ Z ,减区间是 ? ? π ? ? ?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ? 规律方法 2 1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出

图象,结合图象判定. 2.求形如 y=Asin?ωx+φ?或 y=Acos?ωx+φ??其中,ω>0?的单调区间时, 要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果 ω<0,那么一定先借 助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错. 对点训练 求: (1)函数的周期; (2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间. 【解】 π? ?π ? ? 由 y=sin?3-2x?可化为 y=-sin?2x-3?. ? ? ? ? ?π ? (2014· 常州模拟)已知函数 y=sin?3-2x?, ? ?

2π 2π (1)周期 T= ω = 2 =π. π π π (2)令 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z,

π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π 5π? ?π ? ? 所以 x∈R 时,y=sin?3-2x?的减区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ? ? ? 7π? ? 取 k=-1,0 可得函数在[-π,0]上的单调递减区间为?-π,-12?和 ? ? ? π ? ?-12,0?. ? ? 考向三 [055] 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 )

π (1)已知函数 f(x)=sin(πx-2)-1,则下列说法正确的是( A.f(x)是周期为 1 的奇函数 B.f(x)是周期为 2 的偶函数 C.f(x)是周期为 1 的非奇非偶函数 D.f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数

(2)已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ)为偶函数,则 φ 可以取的一个 值为( π A.6 π C.-6 ) π B.3 π D.-3

π? ? (3)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,给出以下四个论断: ? ? ①它的最小正周期为 π; π ②它的图象关于直线 x=12成轴对称图形; ?π ? ③它的图象关于点?3,0?成中心对称图形; ? ? ? π ? ④在区间?-6,0?上是增函数. ? ? 以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个 命题________(用序号表示即可). 【思路点拨】 (1)借助诱导公式对 f(x)先化简,再判断.

(2)化 f(x)为 Asin(ωx+φ)的形式,再结合诱导公式求解.

(3)本题是一个开放性题目,依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对 称性逐一判断. 【尝试解答】 π? 2π ? (1)周期 T= π =2,f(x)=sin?πx-2?-1 ? ?

=-cos πx-1,因此函数 f(x)是偶函数,故选 B. π? ?1 ? 3 ? (2)f(x) = 2 ? cos? 3x+φ?- sin? 3x+φ?? = 2cos ?? 3x+φ?+3? = ? ? 2 ?2 ? π?? π π ? ? 2cos? 3x+?φ+3??,由 f(x)为偶函数,知 φ+3=kπ(k∈Z),即 φ=kπ-3(k∈Z), ? ? ?? 由所给选项知只有 D 适合. 2π π π π (3)若①、②成立,则 ω= π =2;令 2· 12+φ=kπ+2,k∈Z,且|φ|<2,故 π? π? π π ? ? k=0,∴φ=3.此时 f(x)=sin?2x+3?,当 x=3时,sin?2x+3?=sin π=0, ? ? ? ? ?π ? ? 5π π ? ∴f(x)的图象关于?3,0?成中心对称;又 f(x)在?-12,12?上是增函数,∴ ? ? ? ? ? π ? 在?-6,0?上也是增函数,因此①②? ③④,用类似的分析可得①③ ?②④ . ? ? 因此填①②?③④或①③?②④. 【答案】 规律方法 3 (1)B (2)D (3)①②?③④或①③?②④

1.判断三角函数的奇偶性和周期性时,一般先将三角函数式

化为一个角的一种三角函数, 再根据函数奇偶性的概念、 三角函数奇偶性规律、 三角函数的周期公式求解. 2.求三角函数的周期主要有三种方法:?1?周期定义;?2?利用正?余?弦型函 数周期公式;?3?借助函数的图象.

思想方法之九

研究三角函数性质的一大“法宝”——整体思想

所谓整体思想就是研究问题时从整体出发,对问题的整体形式、结构特征 进行综合分析、整体处理的思想方法. 在三角函数学习中,运用“整体思想”可以解决以下几类问题 (1)三角函数的化简求值;

(2)研究三角函数的有关性质(如定义域、值域、单调性等); (3)解三角不等式或求含参变量的取值范围问题. ———— [1 个示范例] ————[1 个对点练] ————

π? ?π ? ? (2012· 课标全国卷)已知 ω>0, 函数 f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?上 ? ? ? ? 单调递减,则 ω 的取值范围是( ?1 5? A.?2,4? ? ? 1? ? C.?0,2? ? ? 【解析】 ) ?1 3? B.?2,4? ? ? D.(0,2] π π π π π 由2<x<π 得2ω+4<ωx+4<πω+4,

π π? ?π 3π? ?π 由题意知?2ω+4,πω+4???2, 2 ?, ? ? ? ? π π π ? ?2ω+4≥2, ∴? π 3π ?πω+4≤ 2 , ? 1 5 ∴ ≤ω≤ ,故选 A. 2 4 ? π π? 已知函数 f(x)=2sin ωx 在区间?-3,4?上的最小值为-2,则 ω 的取值范 ? ? 围是( )

9? ? A.?-∞,-2?∪[6,+∞) ? ? 9? ?3 ? ? B.?-∞,-2?∪?2,+∞? ? ? ? ? C.(-∞,-2]∪[6,+∞) ?3 ? D.(-∞,-2]∪?2,+∞? ? ? 【解析】 π π 当 ω>0 时,由-3≤x≤4得

π π π π 3 -3ω≤ωx≤4ω,由题意知,-3ω≤-2,∴ω≥2, π π π π 当 ω<0 时,由-3≤x≤4得4ω≤ωx≤-3ω,

π π 由题意知,4ω≤-2,∴ω≤-2, ?3 ? 综上知 ω∈(-∞,-2]∪?2,+∞?. ? ? 【答案】 D


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