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【B版】人教课标版高中数学选修2-1《空间向量的基本定理》优质教案1【精品】


(此文档为 word 格式,下载后可以任意修改,直接打印使用!) 3.1.2 空间向量的基本定理 一、教学目标: 1.了解空间向量基本定理及其推论; 2.理解空间向量的基底、基向量的概念。 二、教学重点:向量的分解(空间向量基本定理及其推论) 三、教学难点:空间作图 四、教学过程设计: (一)复习引入 1.复习向量与平面平行、共面向量的概念. 区别: (1)向量与平面平行时,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时 两者是没有公共点的. (2)平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是在同一平面内 的,但可以平移到同一平面内. 2.空间共面向量定理及其推论. (1)共面向量定理:如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共面 的充要条件是存在实数对 x,y,使得 p= xa+yb. (2)共面向量定理的推论: 空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是存在有序 实 数 对 x , y , 使 得 MP ? xMA ? y MB , 或 对 于 空 间 任 意 一 定 点 O , 有 OP ? OM ? xMA ? yMB . OP ? (1 ? x ? y)OM ? xOA ? yOB 对平面向量基本定理加以推广,应用上面的三个公式可以解决与四点共面有 关的问题,得出空间向量基本定理。 (二)新课讲授 问题1.两个平面向量贡献的判定与性质,是对于空间向量仍然成立? 共线向量定理 x,使得a=xb 两个空间向量a,b(b≠0), a//b的充要条件是存在唯一的实数 问题 2.在平面向量中,向量 b 与向量 a ( a ≠0)共线的充要条件是存在实数 λ,使得 b =λ a .那么,空间任意一个向量 p 与两个不共线的向量 a , b 共面时, 它们之间存在什么样的关系呢? 通常我们把平行于同一个平面的向量叫共面向量; 理解: (1)若 a , b 为不共线且同在平面 α 内,则 p 与 a , b 共面的意义是 p 在 α 内 或 p ∥? . (2)空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量就不一定共面了. 平面向量中,向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 b=? a ,类比到空间向 量,即有: 共面向量定理 如果两个向量 a , b 不共线,那么向量 p 与向量 a , b 共面 的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得 p =x ? +y b .这就是说,向量 p 可 以由不共线的两个向量 a , b 线性表示. 问题 3.如果向量 AB 、 AD 、 AA' 分别和向量 a、b、c 共线, 能否用向量 a、b、c 表示向量 AC' ? AC' =xa+yb+zc 事实上, 对空间任一向量 AC' ,我们都可以构造出上述 平行六面体,由此我们得到了空间向量基本定理: 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对于空间任一向量 p,存在一个唯一的 有序实数组 x、y、z,使 p=xa+yb+zc. 证明:存在性: 唯一性:设另有一组实数 x’、y’、z’,使得 p=x’a+y’b+z’c,则有 xa+yb+zc=x’a+y’b+z’c, ∴(x-x’ ) a+(y-y’ )b+( z-z’ )c=0. ∵a、b、c 不共面, ∴x-x’=y-y’=z-z’=0, 故实数 x、y、z 是唯一的. 即 x=x’且 y=y’且 z=z’. 由上述定理可知,空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成,我们 把{a、b、c}叫做空间的一个基底,a、b、c 都叫做基向量. 说明: (1)空间任意三

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