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高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何


56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 ( 2 )向量的模——有向线段的长度,| a | ? (3)单位向量| a 0 | ? 1, a 0 ? (4 )零向量 0 ,| 0| ? 0 ? ? ? ? ? a | a| ? ?长度相等 ? ? (5)相等的向量 ? ? a?b ?方向相同 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 ? b ∥ a ( b ? 0 ) ? 存在唯一实数?,使 b ? ? a ? ? ? ? ? (7)向量的加、减法如图: ? ? ? OA ? OB ? OC ? ? ? OA ? OB ? BA (8)平面向量基本定理(向量的分解定理) ? e 1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一 ? ? ? ? ? ? ? 实数对? 1 、? 2 ,使得 a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 , e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量 1 的一组基底。 (9)向量的坐标表示 ? i , j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得 ? ? ? ? ? a ? x i ? y j ,称( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a ? ?x,y?,即为向量的坐标 ? 表示。 设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? 则 a ? b ? ?x1 ,y1 ? ? ?y1 ,y 2 ? ? ?x1 ? y1 ,x 2 ? y 2 ? ? a ? ??x1 ,y1 ? ? ??x1 ,?y1 ? ? ? ? ? ? 若A?x1,y1 ?,B?x 2 ,y 2 ? ? 则 AB ? ?x 2 ? x1 ,y 2 ? y1 ? ? | AB| ? ?x 2 ? x1 ?2 ? ?y 2 ? y1 ?2 ,A、B两点间距离公式 ? ? ? ? ? ? 57. 平面向量的数量积 (1) a · b ?| a | ·| b|cos ?叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。 ?为向量 a 与 b 的夹角,? ??0,?? ? b ? B ? ? O ? a D A 数量积的几何意义: 2 ? a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cos ?的乘积。 ? ? ? ? (2)数量积的运算法则 ①a ·b ? b·a ? ? ? ? ? ? ? ? ②( a ? b ) c ? a · c ? b · c ? ? ? ? ? ③ a · b ? ?x1 ,y1 ?·?x 2 ,y 2 ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 注意:数量积不满足结合律 ( a · b ) · c ? a · ( b · c ) ? ? ? ? ? ? (3)重要性质:设 a ? ? x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? ① a ⊥ b ? a · b ? 0 ? x 1 ·x 2 ? y1 ·y 2 ? 0 ② a ∥ b ? a · b ?| a | ·| b| 或 a · b ? ?| a | ·| b| ? a ? ? b ( b ? 0,?惟一确定) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 2 2 ③ a ?| a

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