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高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何

56. 你对向量的有关概念清楚吗? (1)向量——既有大小又有方向的量。 ( 2 )向量的模——有向线段的长度,| a | ? (3)单位向量| a 0 | ? 1, a 0 ? (4 )零向量 0 ,| 0| ? 0 ? ? ? ? ? a | a| ? ?长度相等 ? ? (5)相等的向量 ? ? a?b ?方向相同 在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。 (6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 ? b ∥ a ( b ? 0 ) ? 存在唯一实数?,使 b ? ? a ? ? ? ? ? (7)向量的加、减法如图: ? ? ? OA ? OB ? OC ? ? ? OA ? OB ? BA (8)平面向量基本定理(向量的分解定理) ? e 1 , e 2 是平面内的两个不共线向量, a 为该平面任一向量,则存在唯一 ? ? ? ? ? ? ? 实数对? 1 、? 2 ,使得 a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2 , e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量 1 的一组基底。 (9)向量的坐标表示 ? i , j 是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得 ? ? ? ? ? a ? x i ? y j ,称( x,y) 为向量 a 的坐标,记作: a ? ?x,y?,即为向量的坐标 ? 表示。 设 a ? ?x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? 则 a ? b ? ?x1 ,y1 ? ? ?y1 ,y 2 ? ? ?x1 ? y1 ,x 2 ? y 2 ? ? a ? ??x1 ,y1 ? ? ??x1 ,?y1 ? ? ? ? ? ? 若A?x1,y1 ?,B?x 2 ,y 2 ? ? 则 AB ? ?x 2 ? x1 ,y 2 ? y1 ? ? | AB| ? ?x 2 ? x1 ?2 ? ?y 2 ? y1 ?2 ,A、B两点间距离公式 ? ? ? ? ? ? 57. 平面向量的数量积 (1) a · b ?| a | ·| b|cos ?叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)。 ?为向量 a 与 b 的夹角,? ??0,?? ? b ? B ? ? O ? a D A 数量积的几何意义: 2 ? a · b 等于| a | 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cos ?的乘积。 ? ? ? ? (2)数量积的运算法则 ①a ·b ? b·a ? ? ? ? ? ? ? ? ②( a ? b ) c ? a · c ? b · c ? ? ? ? ? ③ a · b ? ?x1 ,y1 ?·?x 2 ,y 2 ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 注意:数量积不满足结合律 ( a · b ) · c ? a · ( b · c ) ? ? ? ? ? ? (3)重要性质:设 a ? ? x1 ,y1 ?, b ? ?x 2 ,y 2 ? ① a ⊥ b ? a · b ? 0 ? x 1 ·x 2 ? y1 ·y 2 ? 0 ② a ∥ b ? a · b ?| a | ·| b| 或 a · b ? ?| a | ·| b| ? a ? ? b ( b ? 0,?惟一确定) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 2 2 ③ a ?| a |2 ? x1 ? y1 ,| a · b| ?| a | ·| b| ?2 ? ? ? ? ? ? ④ cos ? ? a·b ? ? | a | ·| b| ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 2 2 x ? y1 · x2 2 ? y2 2 1 [练习] ? ? ? ? ? ? (1)已知正方形ABCD,边长为1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则 | a ? b ? c| ? ? ? ? 答案: 2 2 (2)若向量 a ? ?x,1?, b ? ?4,x?,当x ? ? ? 时 a 与 b 共线且方向相同 ? ? 答案:2 (3)已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么| a ? 3 b| ? ? ? ? ? 答案: 13 3 58. 线段的定比分点 设P1 ?x1,y1 ?,P2 ?x2 ,y2 ?,分点P?x,y?,设P1、P2 是直线 l 上两点,P点在 ? ? l 上且不同于P1 、P2 ,若存在一实数 ?,使 P1 P ? ? PP2 ,则 ? 叫做P分有向线段 ? P1 P2 所成的比(? ? 0,P在线段P1 P2 内,? ? 0,P在P1 P2 外),且 x ? ?x 2 x ? x2 ? ? x? 1 x? 1 ? ? ? ? 1? ? 2 ,P为P1 P2 中点时, ? ? ?y ? y 1 ? ?y 2 ?y ? y 1 ? y 2 ? ? 1? ? 2 ? ? 如:?ABC,A?x1,y1 ?,B?x2 ,y2 ?,C?x3 ,y3 ? y ? y2 ? y3 ? ? x ? x2 ? x3 则?ABC重心G的坐标是? 1 , 1 ? ? ? 3 3 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗? 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗? 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化: 线∥线 ? ?? 线∥面 ? ?? 面∥面 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面⊥面 ???? 线∥线 ? ?? 线⊥面 ? ?? 面∥面 线面平行的判定: a∥b,b ? 面?,a ? ? ? a∥面? a b ?? 线面平行的性质: ?∥面?,? ? 面?,? ? ? ? b ? a∥b 4 三

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