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高考数学单元复习训练题12-不等关系及不等式的解法


山东省新人教版数学高三单元测试 12【不等关系及不等式的解法】 本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分)

1. 不等式 ? ?3 的解集是( A. (?? ,? )
2 3 2 3

2 x

)
2 3

B. (?? ,? ) ? (0,??) C. (? ,0) ? (0,??)

D. (? ,0) )

2 3

2. 若 0 ? a ? 1, f ( x) ?| loga x | ,则下列各式中成立的是(
1 1 A. f (2) ? f ( ) ? f ( ) 3 4 1 1 C. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 3 4 1 1 B. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 4 3 1 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 4 3

3. 若不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是 A
(?2,2)

B

(?2,2]

C

(??,?2) ? (2,??)

D (??,2)

4. 已 知 O 为 直 角 坐 标 系 原 点 , P , Q 坐 标 均 满 足 不 等 式 组
?4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则使 cos?POQ 取最小值时的 ?POQ 的大小为( ?x ? 1 ? 0 ?

) D.

A.
? 4

? 2

B. ?

C. 2?

5. 设函数 f ( x) ? ?
?

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 x ? 6, x ? 0

, 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是



) D.(??, ?3) (1,3)

A.(?3,1) (3, ??) B.(?3,1) (2, ??) C.(?1,1) (3, ??)

6. 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) =2, 且 f ( x) 的导数 f ?( x) 在 R 上恒有 f ?( x) < 1( x ? R) ,则不等式 f ( x) ? x ? 1 的解集为( A. (1,??) B. (??,?1) C. (?1,1) )

D.(??,?1) ∪ (1,??)

7. 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) =1, 且 f ( x) 的导数 f ?( x)

在 R 上恒有 f ?( x) < ( x ? R) , 则不等式 f ( x 2 ) ? A. (1,??) B. (??,?1)
1 3

1 2

x2 1 ? 的解集为 ( 2 2



C. (?1,1) D. (??,?1) ∪ (1,??)

8. 已知函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x ,0 ? a ? b ? c , f (a) f (b) f (c) ? 0 ,实数 d 是 函数 f ( x) 的一个零点. 给出下列四个判断: ①d ? a; ②d ? b; ③d ? c; ④ d ? c .其中可能成立的个数为( A.1 D.4
?x ? m y ? n ? 9. 直线 x ? m y ? n(n ? 0) 经过点 A(4,4 3) , 若可行域 ? 3x ? y ? 0 围成的三 ?y ? 0 ?

) C.3

B.2

角形的外接圆的直径为 A. 3 或 5 或4

14 3 ,则实数 n 的值是( 3

) D.3

B.4 或 5

C. 3 或 6

10. 若变量 x, y 满足约束条件 ( )

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? x ? y ? 1 ? 0 , 则z ?| y ? 2 x | ?y ? 1 ?

的最大值为

A.6 B.5 C.4 D.3
二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分)

11. 若 1 ? a ? 5 ,则 a ? 1 的取值范围是
5 a

.

12. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2x, x ? R ,若不等式 f (m cos? ) ? f (m ? sin ? ) ? 0 ,
?? 当? ? ? ?0, ? 时恒成立,则实数 m 的取值范围是
? 2?

13. 已知三个不等式:①ab<0;②- c >- d ;③bc>ad.以其中两
a b

个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成
1 2 14. 使 x ? x 2 成立的 x 的取值范围是________;

个真命题.

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x | x ? a |,(a ? R) (1)若 a ? 2 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? x ; (2)若对 ?x ? (0,1] 都有 f ( x) ? m(m ? R, m 是常数),求 a 的取值范围. 16. (本小题满分 10 分) 要将两种厚度、材质相同,大小不同的钢 板截成 A 、 B 、 C 三种规格的成品.每张钢板可同时截得三种规格的 块数如下表: 成品规 格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 1 1 2 1 1 3 A 规格 B 规格 C 规格

每张钢板的面积:第一张为 1m 2 ,第二张为 2m2 .今需要 A 、B 、
C 三种规格的成品各为 12、 15、 27 块. 则两种钢板各截多少张,

可得所需三种规格的成品,且使所用钢板的面积最少? 17. (本小题满分 12 分)已知 a , b 都是正数,△ABC 在平面直角坐 标系 xOy 内, 以两点 A (a ,0 )和 B (0,b )为顶点的正三角形,且它 的第三个顶点 C 在第一象限内. (1)若△ABC 能含于正方形 D = { ( x , y ) | 0 ? x ? 1, 0? y ? 1}内, 试求变量 a , b 的约束条件,并在直角坐标系 aOb

内画出这个约束条件表示的平面区域; (2)当(a, b )在(1)所得的约束条件内 移动时,求△ABC 面积 S 的最大值,并求此 时(a , b)的值.(14 分) 18. (本小题满分 12 分)已知甲、乙两煤矿每年 的产量分别为 200 万吨和 300 万吨, 需经过东车站和西车站两个车站 运往外地,东车站每年最多运 280 万吨煤,西车站每年最多运 360 万 吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/吨和 1.5 元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8 元/吨和 1.6 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,使总运费最少? 答案 一、选择题 1. B2. D3. B4. D5. A6. A7. D8. C9. A10. D 二、填空题 11.
[2, 26 ] 12. 5

m≥113. 314. ?1, ?? ?

三、解答题 15. 解: (1)当 a ? 2 时,不等式 f ( x) ? x 即 x | x ? 2 |? x 显然 x ? 0 ,当 x ? 0 时,原不等式可化为:
| x ? 2 |? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3

当 x ? 0 时, 原不等式可化为: | x ? 2 |? 1 ? x ? 2 ? 1 或 x ? 2 ? ?1 ? x ? 3 或 x ? 1 ∴x?0 综上得:当 a ? 2 时,原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 3或x ? 0}

(2)∵对 ?x ? (0,1] 都有 f ( x) ? m ,显然 m ? 0 即 ?m ? x( x ? a) ? m ?对 ?x ? (0,1] , ?
?对 ?x ? (0,1] , x ?
m x m m ?a ? x? x x m , x ? (0,1] x m m ? x ? a ? 恒成立 x x

设 g ( x) ? x ? , x ? (0,1] , p( x) ? x ? 则对 ?x ? (0,1] , x ? ∵ g '( x) ? 1 ?

m m ? a ? x ? 恒成立 ? g ( x)max ? a ? p( x)min , x ? (0,1] x x

m , 当 x ? (0,1] 时 g '( x) ? 0 x2

∴函数 g ( x) 在 (0,1] 上单调递增,

∴ g ( x)max ? 1 ? m 又∵ p '( x) ? 1 ?
m ( x ? m )( x ? m ) = , 2 x x2

当 m ? 1即 m ? 1 时,对于 x ? (0,1] , p '( x) ? 0 减函数 ∴ p( x)min ? p(1) ? 1 ? m .

∴函数 p( x) 在 (0,1] 上为

当 m ? 1,即 0 ? m ? 1 时,当 x ? (0, m] , p '( x) ? 0
p '( x) ? 0

当 x ? ( m,1] ,

∴在 (0,1] 上, p( x)min ? p( m) ? 2 m (或当 0 ? m ? 1 时,在 (0,1] 上, p( x) ? x ? 取等号) 又∵当 0 ? m ? 1 时,要 g ( x)max ? a ? p( x)min 即 1 ? m ? a ? 2 m 还需满足
2 m ? 1 ? m 解得 3 ? 2 2 ? m ? 1

m m ? 2 x ? ? 2 m ,当 x ? m 时 x x

∴ 当 3 ? 2 2?m ? 1 时 , 1 ? m ? a ? 2 m ; ---13 分
1? m ? a ? 1? m .

当 m ?1 时 ,



16. 解:设需第一种 x 张,第二种 y 张,所用钢板面积 z m 2 ,则
? x ? y ? 12 ?2 x ? y ? 15 ? ,作图(略)由 , 其中x, y ? Z , 目 标 函 数 z ? x? 2 y ? ? x ? 3 y ? 27 ? ? x ? 0, y ? 0
?x ? 3y ? 2 7 ? 9 1 ? 5 ? A? , ? , ? ?2 2 ? ? x ? y ? 12

由于点 A 不是整数点,可以在可行域内找出整点 ? 4,8? 和 ? 6, 7 ? 使得 z 最小值是 20 .∴ Zmin ? 20 17. 解析: (1)由题意知:顶点 C 是分别以 A、B 为圆心,以|AB|为 半径的两圆在第一象限的交点,由圆 A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2 , 圆 B: x2 + ( y – b )2 = a2 + b2 . 解得 x =
a ? 3b , 2

y =

3a ? b ,∴C( a ? 3b , 3a ? b 2 2 2



△ABC 含于正方形 D 内,即三顶点 A,B,C 含于区域 D 内时,
?0 ? a ? 1, ?0 ? b ? 1, ? ? a ? 3b ?0 ? ? 1, 2 ? ? 3a ? b ?0 ? ? 1. 2 ?



这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形, ∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外. (2) ∵△ABC 是边长为 a 2 ? b 2 的正三角形,∴ S =
3 ( a2 + b 2 ) 4

在 (1) 的条件下, 当 S 取最大值等价于六边形图形中的点( a, b ) 到原点的距离最大, 由六边形中 P、Q、R 相应的 OP、OQ、OR 的计算.

OP2 = OR2 = 12 + ( 2 – = 8 – 4
3.

3)

2

= 8 – 4

3 ,OQ

2

= 2(

3

– 1)2

∴ OP = OR =OQ 1), 或( 2 –

∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 –
3,

3 ),

或(

3–

1,

3–

1 )时, Smax =2

3–

3.

18. 解析:设甲煤矿调往东站的煤为 x 万吨,乙煤矿调往东站的煤为
y 万吨,则

那么总运费: z ? x ? 1.5(200? x) ? 0.8 y ? 1.6(300? y) 万元,
x ? y ? 280 ? ?200 ? x ? 300 ? y ? 360 即 z ? 780 ? 0.5x ? 0.8 y ,而 x, y 满足 ? ,作出可行域, ? ? x ? 0;200 ? x ? 0 ? ? y ? 0;300 ? y ? 0

( 略 ) 设 直 线 x ? y ? 280 与 y 轴 交 点 为 M (0,280) , 则 . 把 直 线
l : 0.5 x ? 0.8 y ? 0 向上平移至 M

时 z 最小。 所以甲煤矿生产的煤全部运往

西站;乙煤矿向东站运 280 万吨,向西站云 20 万吨时,总运费最少。



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