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解析几何中的对称问题面面观

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 解析几何中的对称问题面面观 作者:文/李风 来源:《新课程· 中旬》2014 年第 05 期 摘 要:解析几何是中学数学的核心内容之一,在高考数学中占有十分重要的地位,是高 考的重点、热点和难点,而解析几何中的对称问题又是近几年高考考查的热点题型。这就要求 教师对对称问题进行适当的归纳、总结,使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识。介 绍解析几何中常见的三类对称问题:点关于点的对称问题、直线方程中的对称问题、曲线方程 中的对称问题。 关键词:解析几何;对称问题;高考数学 一、点关于点的对称问题 点 A(x1,y1)与点 C(x3,y3)关于点 B(x2,y2)对称,即点 B 为点 A 和点 C 的中 点,且坐标满足 x2=■,y2=■. 二、直线方程中的对称问题 1.求点关于直线对称的点的坐标 问题:求已知点 A(xA,yA)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称的点的坐标为 B(xB, yB)。 求已知点 A(xA,yA)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称的点的坐标为 B(xB,yB),其基 本思想是根据直线 l 是直线 AB 的垂直平分线,求点 B 的坐标。 解法一:步骤一,根据 AB⊥l,且点 A 在直线 AB 上,利用点斜式即可求出直线 AB 的方 程;步骤二,求点 A 与点 B 的中点即直线 l 和直线 AB 的交点 Q;步骤三,根据点 A 与点 Q 即可求出点 B 的坐标。 解法二:步骤一,设点 A 与点 B 的中点为 Q(■,■),根据直线 AQ⊥l,且点 Q 在直线 l 上,联立二元一次方程组即可求出点 Q 的坐标;步骤二,根据点 A 与点 Q 即可求出点 B 的坐 标。 备注:上述两种方法是求点关于直线对称点的一般解法,方法一运用了直线的有关知识, 方法二则突出了方程的思想。 2.直线关于点对称的直线方程 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 问题:已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,求关于点 A(xA,yA)对称的直线方程为 l2。 解法一:步骤一,设点 P(x,y)为所求直线 l2 上的任意一点,点 P 关于点 A 对称的点 P′在已知直线 l1 上,且点 P′的坐标为(2xA-x,2yA-y);步骤二,将 P′(2xA-x,2yA-y)带 入直线方程 l1,即 l1:A1(2xA-x)+B1(2yA-y)+C1=0,整理得 A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0 即所求直线方程为 A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。 解法二:因为直线 l1、l2 关于点 A 对称,所以这两条直线平行,设所求直线为 l2: A1x+B1y+C2=0。 在已知直线 l1 上取一点(0,-■),则点(0,-■)关于 A(xA,yA)对称的点 2(xA, 2yA+■)在直线 l2 上,将点 2(xA,2yA+■)代入 l2:A1x+B1y+C2=0 可求得 C2,从而求得 l2 的直线方程。 注:上述两种方法是解本题型的常用方法,方法一更具普遍性,此法也可解决其他图形关 于点对称的问题;方法二为待定系数法,它利用了图形的几何性质,解答本题型较为简便。 3.直线关于直线对称的直线方程 问题:求直线 l1:A1x+B1y+C1=0 关于直线 l2:A2x+B2y+C2=0 对称的直线方程 l3。 解法一:步骤一:联立 l1、l2 的直线方程,求得 l1、l2 的交点坐标点 N;步骤二:在 l1 上取点 M(0,-■),则可求得点 M(0,-■)关于 l2 对称的点 M′;步骤三:因为点 N、M 都 在直线 l3,所以由两点式方程即可求得 l3 的直线方程。 解法二:设点 P(x,y)为所求直线 l3 上的任意一点,点 P 关于直线 l2:A2x+B2y+C2=0 对称的点为 P0(x0,y0)在直线 l1 上,所以 A1x0+B1y0+C1=0,kPP0=■,线段 PP0 的中点 M (■,■)。因为点 P 与 P0 关于直线 l2 对称,所以■×(-■)=-1A2×■+B2×■+C2=0 解得 x0、y0 分别关于 x、y 的表达式,代入直线方程 l1 中,即可求得 l3 的直线方程。 备注:解法一和解法二的思想都是将问题转化为求一个点 P 关于直线 l 对称点 P0 的问 题。 三、曲线中的对称问题 1.圆关于直线对称的圆的方程 因为圆的方程由圆心和半径即可确定,两个圆关于直线对称, 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 大小相同,半径一定相等,所以求圆关于直线对称的圆,只需求已知圆的圆心坐标关于直 线对称的点的坐标,就是所求圆的圆心, 从而求得所求圆的方程。 2.利用圆的对称性求圆的方程 若圆上任意一点关于已知直线的对称点都在圆上,则此直线一定是圆的直径,再根据其他 条件即可确定圆的方程。 3.曲线关于点对称的曲线方程 问题:已知曲线 C1:f(x,y)=0,求关于点 A(xA,yA)对称的曲线方程为 C2。 解题思路:步骤一,设点 P(x,y)为所求曲线 C2 上的任意一点,点 P 关于点 A 对称的 点 P′在已知曲线 C1 上,且点 P′的坐标为(2xA-x,2yA-y);步骤二,将 P′(2xA-x,2yA-y) 带入曲线方程 C1,即所求的曲线方程为 f(2xA-x,2yA-y)=0。 4.曲线关于直线对称的曲线方程 问题:已知曲线 C1:f(x,y)=0,求关于已知直线 l 对称的曲线方程为 C2。 解题思路:步骤一:设点 P(x,y)为所求曲线 C2 上的任意一点,则点 P 关于直线 l 对 称点 P′(x′,y′)在已知曲线 C1 上;步骤二,将 P′(x′,y′)带入曲线方程 C1,即所求的曲线 方程为 f(x′,y′)=0。 解析几何中的对称问题即分为点对称和直线对称(轴对称), 点对称问题用中点坐标公式即可解决,直线对称(轴对称)问

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