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河北省武邑中学2018届高三上学期期中考试(理数)

河北省武邑中学 2018 届高三上学期期中考试 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.设 x ? R , i 为虚数单位,且 A.-1
1 x ,则 x ? ( ? 1? i 1? i



B.1

C.-2D.2 )

2.设集合 A ? {x | x 2 ? 7 x} , B ? {x | 5 ? 2 x ? 17} ,则 A ? B 中整数元素的个数为( A.3 B.4 C .5 D.6 )

3.已知向量 a ? (1, x) , b ? ( x,4) ,则 x ? ?2 是“ a 与 b 反向”的( A.充分不必要条件 不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也

4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五 斗, 羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之, 问各出几何?此问题的译文是: 今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿 5 斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有 马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多 少?已知牛、马、羊的主人各应偿还 a 升, b 升, c 升,1 斗为 10 升,则下列判断正确的是 ( )
50 7 50 7

A. a , b , c 依次成公比为 2 的等比数列,且 a ? B. a , b , c 依次成公比为 2 的等比数列,且 c ? C. a , b , c 依次成公比为

1 50 的等比数列,且 a ? 2 7 1 50 的等比数列,且 a ? 2 7

D. a , b , c 依次成公比为

5.若函数 f ( x) ? e 2 x ? (a ?1) x ? 1 在(0,1)上递减,则 a 取值范围是( A. (2e 2 ? 1,??) B. [2e 2 ? 1,??) C. (e 2 ? 1,??) D. [e 2 ? 1,??)



6.某几何的三视图如图所示,其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等,若该几何体的 体积为 12 2 ,则该几何体的表面积为( )
1

A.36

B.42

C. 48D.64 )

7.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ? a ? 2 x ? 2? x ? 4 sin x 的一个零点所在区间为( A. ( ? a , 0 ) B. (0, a) C. (a,3) D. (3, a ? 3)

? x? y ?0 ? x ?1 ? 0 ? 8.设变量 x , y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? y 的取值范围为( ? x ?3 ? 0 ? ?3x ? y ? 2



A.[2,6]

B. (-∞,10]

C.[2,10]

D. (-∞,6]

9.在四棱锥 P ? ABCD中,已知异面直线 PB 与 AD 所成的角为 60? ,给出下面三个命题, p1 : 若 AB ? 2 ,则此四棱锥的侧面积为 4 ? 4 3 ; p2 :若 E , F 分别为 PC , AD 的中点,则 EF // 平面 PAB ; p3 :若 P , A , B , C , D 都在球的表面上,则球的表面积是四边形面积的倍. 在下列明天中,为真命题的是( A. p 2 ? p3 ) C. p1 ? p3
?loga b, a ? b ,则( ?logb a, a ? b

B. p1 ? (?p2 )

D. p2 ? (?p3 ) )

10.设 a , b ? (0,1) ? (1,??) ,定义运算: a?b ? ? A. (2?4)?8 ? (2?8)?4 ? (4?8)?2 C. (4?8)?2 ? (2?8)?4 ? 8?(2?4)

B. 8?(2?4) ? (4?8)?2 ? (2?8)?4 D. (4?8)?2 ? (2?4)?8 ? (2?8)?4
? 1 ? ? ? an ? S n ?

11.设 S n 为数列 ?a n ? 的前项 n 和, 且 3a1 ? 2a2 .记 T n 为数列 ? 2an ? an?1 ? 3 ? 2n?1 (n ? 2) , 的前 n 项和,若 ?n ? N ? , Tn ? m ,则 m 的最小值为( A.
1 3

) D.1 ) D. (??,0]

B.

1 2

C.

2 3

12.当 x ? 0 时, A. ( ??,1]

xe x ? a ln(x ? 1) 恒成立,则 a 的取值范围为( x ?1

B. (??, e]

1 C. (??, ] e

第Ⅱ卷(共 90 分)
2

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.设向量 a , b 满足 | a ? b |? 2 , | a |2 ? | b |2 ? 5 则 a ? b ? 14.函数 f ( x) ? 4 ? 4 x 的值域为 . .

? 5 1 15.若函数 f ( x) ? sin( ?x ? ? )(? ? 0, | ? |? ) 的图象相邻的两个对称中心为 (? ,0) , ( ,0) ,将 2 6 6
f ( x) 的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 g ( x) ?

1 ,得到 g ( x) 的图象,则 2



16.如图,在四棱锥 E ? ABCD中, EC ? 底面 ABCD, EF // EC ,底面 ABCD为矩形, G 为 线段 AB 的中点, CG ? DG , CD ? 2 , DF ? CE , BE 与底面 ABCD所成角为 45? ,则四棱 锥 E ? ABCD与三棱锥 F ? CDG的公共部分的体积为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 在 ?ABC中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 a ? 2c cos A , 5 sin A ? 1 . (1)求 sin C ; (2)求
b . c

18. 设 S n 为数列 ?a n ? 的前项 n 和, S n ? n 2 ,数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , bn ?1 ? bn ? 2 . (1)求 an 及 b n ; (2)记 ? n ? 表示 n 的个位数字,如<6174>=4,求数列 ?
? ? 1 ? 的前 20 项和. ? ? an ? ? ? bn ? ?

? 19. 已知向量 a ? (2 sin x,1) , b ? (2 cos(x ? ),1) ,函数 f ( x) ? a ? b,x ? R . 6
(1)若 a ?

2 , x ? (?? ,0) ,求 x ;

(2)求 f ( x) 在 [0,

?
2

) 上的值域;

3

(3)将 f ( x) 的图象向左平移

?
6

个单位得到 g ( x) 的图象,设 h( x) ? g ( x ?1) ? x 2 ? 2 x ,判

断 h( x) 的图象是否关于直线 x ? 1 对称,请说明理由. 20. 如图,在三棱锥 P ? ACD 中, AB ? 3BD , PB ? 底面 ACD , BC ? AD , AC ? 10 ,

PC ? 5 ,且 cos?ACP ?

2 . 10

(1)若 E 为 AC 上一点,且 EF ? AC ,证明:平面 PBE ? 平面 PAC . (2)求二面角 A ? PC ? D 的余弦值.

21. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 的图象与 x 轴相切,且切点在 x 轴的正半轴上. (1)求曲线 y ? f ( x) 与 y 轴,直线 x ? 1 及 x 轴围成图形的面积 S ; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m x 在 (?3, a) 上的极小值不大于 m ? 1 ,求 m 的取值范围. 22. 已知函数 f ( x) ? ln x , F ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) . (1)当 x ? N 时,比较 3
?

? F (2i) 与 3 (2n ? 1)
i ?1
ax ?1

n

1

3

1 ? 的大小; 3

(2)设 f ( x) ? g ( x) ? x(e

? a)( a ? ?

1 ) ,若函数 g ( x) 在 (0,??) 上的最小值为 e2

?

1 ,求 a 的值. ae 2

数学(理科)参考答案
4

一、选择题
1-5: BBCDB 6-10: CCDAB 11、12: AA

二、填空题
13. ?

1 2

14. [0,2)

15. sin( 2?x ?

?
6

)

16.

2 9

三、解答题
17.解: (1)? a ? 2c cos A ,? sin A ? 2 sin C cos A ,? tan A ? 2 sin C ? 0 .

? 5 sin A ? 1 ,? sin A ? 2 sin C cos A ,? tan A ?
(2)? sin C ?

1 1 ,从而 sin C ? . 2 4

15 1 1 ? ? sin A ,? C 为锐角, cosC ? , 4 4 5

?sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ?
b sin B 2 5 ? 5 3 ? ? ? . c sin C 5

1 15 2 1 2 5 ? 5 3 , ? ? ? ? 4 20 5 5 4

18. 解: (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1 , 由于 a1 ? S1 ? 1也满足 an ? 2n ? 1,则 an ? 2n ? 1.

? b2 ? a3 ? 5 , bn?1 ? bn ? 2 ,?b1 ? 3 ,是首项为 3,公差为 2 的等差数列,?bn ? 2n ? 1.
(2)? an ? 2n ? 1,? an

? ?的前 5 项依次为 1,3,5,7,9.

? bn ? 2n ? 1,?? bn ?的前 5 项依次为 3,5,7,9,1.
易知,数列 an

? ?与 ? b ?的周期均为 5,
n

? 1 ?? ? ? an ? ? ? bn

? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? 的前 20 项和为 4( 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 9 ? 1 ??

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 20 ? 4 ? [ ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? ] ? 4 ? ( ? ? ) ? . 2 3 3 5 5 7 7 9 9 2 9 9 9 1 1 2 2 19. 解: (1)? a ? 4 sin x ? 1 ? 2 ,? sin x ? , sin x ? ? . 4 2
又 x ? (?? ,0) ,

?x ? ?

?
6

或?

5? . 6

5

(2) f ( x) ? 4 sin x cos(x ?

?
6

) ? 1 ? 4 sin x(

3 1 cos x ? sin x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 sin 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) . 6 ? ? ? 7? ? 1 ? x ? [0, ) ,? 2 x ? ? [ , ] ,? sin( 2 x ? ) ? (? ,1] , 2 6 6 6 6 2
故 f ( x) 在 [0,

?

?

2

) 上的值域为 (?1,2] .

(3)? g ( x) ? f ( x ?

?

) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,?h( x) ? cos(2x ? 2) ? ( x ?1)2 ?1 . 6 2

?

? h(2 ? x) ? cos(2 ? 2x) ? (1 ? x)2 ?1 ? cos(2x ? 2) ? ( x ?1)2 ?1 ? h( x) ,
? h( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称.
20. (1)证明:由 PB ? 底面 ACD ,得 PB ? AC . 又 BE ? AC , BE ? PB ? B ,故 AC ? 平面 PBE .

? AC ? 平面 PAC ,平面 PBE ? 平面 PAC .
(2)解:? AP ? AC ? PC ? 2 AC ? PC ? cos?ACP ? 15 ? 2 ? 5 2 ?
2 2 2

2 ? 13 , 10

? AB2 ? BC 2 ? 10, ? AB ? 3 ? ? ? ? BC ? 1 ? AP ? 13 ,则 ? BC 2 ? PB2 ? 5, ? AB2 ? PB2 ? 13, ? PB ? 2 ? ?
以 B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz , 则 A(0, , C (1,0,0) , P(0,0,2) , D(0,1,0) , - 3,0)

PC ? (1,0,?2) , AC ? (1 , 3, 0) , CD ? (?1 , 1 , 0) .
设 n ? ( x1 , y1, z1) 是平面 PCD 的法向量,则 ? 令 x1 ? 6 ,得 n ? (6,?2,3) 设 m ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 PCD 的法向量,则

? ? x1 ? 2 z1 ? 0 ?m ? PC ? 0 ,即 ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 0 ?m ? CD ? 0

? ? x 2 ?2 z 2 ? 0 ?m ? PC ? 0 ,即, ? ? ? ?? x2 ? y 2 ? 0 ?m ? CD ? 0
令 x2 ? 2 ,得 m ? (2,2,1) .
6

? cos m, n ?

m?n mn

?

11 11 ? 3 ? 7 21
11 . 21

由图可知,二面角 A ? PC ? D 为钝角,故二面角 A ? PC ? D 的余弦值为 ?

21. 解: (1)? f' ( x) ? 0 得 x ? ?1 , ( x) ? 3x 2 ? 3 ,? f' 由题意可得 f (1) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 . 故 f ( x) ? x3 ? 3x ? 2 , S ?

?

1

0

1 3 1 3 3 f ( x)dx ? ( x 4 ? x 2 ? 2 x) 1 ? ?2? . 0 ? 4 2 4 2 4

(2) f ( x) ? x3 ? 3x ? 2 ? mx ? x3 ? (m ? 3) x ? 2 , g' ( x) ? 3x 2 ? m ? 3 当 m ? 3 ? 0 时, g ( x) 无极值; 当 m ? 3 ? 0 ,即 m ? 3 时,令 g' ( x) ? 0 得 ?

3? m 3? m ; ?x? 3 3

令 g' ( x) ? 0 得 x ? ?

3? m 3? m 或. x ? 3 3

? g ( x) 在 x ?


3? m 处取得极小值, 3

3? m ? 2 ,即 m ? ?9 , g ( x) 在(-3,2)上无极小值, 3

故当 ?9 ? m ? 3时, g ( x) 在(-3,2)上有极小值 且极小值为 g ( 即
3? m 3? m 3? m )? ( ? m ? 3) ? 2 ? m ? 1 , 3 3 3

2(m ? 3) 3 ? m ? m?3. 3 3 3? m 3 15 ? ,? m ? ? . 3 2 4
7

?m ? 3 , ?

又 ?9 ? m ? 3,故 m ? (?9,?
n

15 ]. 4
3 5 7 2n ? 1

22. 解: (1) 3

? F (2i) ? F (2) ? F (4) ? F (6) ? ? ? F (2n) ? ln(1 ? 3 ? 5 ??? 2n ?1) ? ln(2n ? 1) ,
i ?1

x 3 ? x3 1 构造函数 h( x) ? 3 ln x ? ( x3 ? 1)( x ? 3) , h' ( x) ? ? x 2 ? , 3 x 3

当 x ? 3 时, h' ( x) ? 0 ,? h ( x ) 在 [3,??) 上单调递减.
? h( x) ? h(3) ? 3 ln 3 ? 9 ? 1 ? 0, 3

1 故当 x ? 2n ? 1(n ? N ? ) 时, 3 ln(2n ? 1) ? [(2n ? 1)3 ? 1] ? 0 , 3
n 1 1 1 即 3 ln(2n ? 1) ? [(2n ? 1)3 ?1] ,即 3 F (2i) ? (2n ? 1) 3 ? . 3 3 3 i ?1

?

(2)由题得 g ( x) ? xeax ?1 ? ax ? ln x ,则 g ' ( x) ? e ax ?1 ? axeax ?1 ? a ? 由 e ax ?1 ?

1 1 ? (ax ? 1)(e ax ?1 ? ) , x x

1 1 ? ln x 1 ? ln x ln x ? 2 ,设 p( x) ? , p' ( x) ? . ? 0 得到 a ? x x x x2

当 x ? e 2 时, p' ( x) ? 0 ;当 0 ? x ? e 2 时, p' ( x) ? 0 . 从而 p( x) 在 (0, e 2 ) 上递减,在 (e 2 ,??) 上递增.? p( x) min ? p(e 2 ) ? ? 当a??
1 e2 1 e2

.

时, a ?

1 xe ax ?1 ? 1 1 ? ln x 1 ,即 e ax ?1 ? ? 0 (或 e ax ?1 ? ? ,设 p( x) ? xe ax ?1 ? 1 ,证 x x x x

明 p( x) ? 0 亦可得到 e ax ?1 ?

1 ? 0 ). x

1 在 (0,? ) 上, ax ?1 ? 0 , g ' ( x) ? 0 , g ( x) 递减; a 1 在 (? ,??) 上, ax ?1 ? 0 , g ' ( x) ? 0 , g ( x) 递增. a 1 1 1 1 ? g ( x) min ? g (? ) ? ? 2 ? 1 ? ln(? ) ? ? 2 , a a ae ae 1 1 ? ln(? ) ? 1 ,解得 a ? ? . a e

8


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