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黄冈市2015年元月高三年级调研考试理数


黄冈市 2015 年高三年级元月质量检测

参考答案(理科)
一、选择题
1、D 2、A 3、C 4、B 5、C 6、B 7、D 8、A 9、A 10、B

二、填空题 3 4 11、 ( ? , ) 12、 55 5 5 三、解答题
16、解: (Ⅰ) f ( x) ?

13、-160

14、4 15、①17,② (n ?1)2n ?1

1 ? cos 2 x 1 3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x ??????2 分 2 2 2 2 2 1? 3 ????????????????????4 分 2

?当sin 2 x ? ?1 时, f ( x)max ?
此时 2 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ), ? x 的取值集合为 {x | x ? k? ?

?
4

, k ? Z } ???????6 分

(Ⅱ)

? C 1 3 1 3 , C 为锐角,? C ? ??8 分 f( )? ? sin C ? ? ,? sin C ? 3 2 2 2 4 2
1 2 2 , 得 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 3 3 2? 3 1 3?2 2 ????????????12 分 ? B) ? cos B ? sin B ? 3 2 2 6

由 cos B ?

? sin A ? sin(

17、解: (Ⅰ)记“系统甲发生故障、系统乙发生故障”分别为事件 A、B, “任意时刻至多有一个系统发生故障”为事件 C。

1 49 1 ?P ? ,? P ? ????????5 分 5 50 10 9 9 27 ? (Ⅱ)依题意 ? ~ B (3, ) ,? E (? ) ? 3 ? ??????????????8 分 10 10 10 9 1 27 D(? ) ? 3 ? ? ? ?????????????????????????12 分 10 10 100
则 P(C ) ? 1 ? P( AB) ? 1 ? P( A) P( B) ? 1 ? 18、解:(1)∵an+1=2an +2an,2an+1+1=2(2an +2an)+1=(2an+1) , ∴数列{2an+1}是“平方递推数列”. 由以上结论 lg(2an+1+1)=lg(2an+1) =2lg(2an+1), ∴数列{lg(2an+1)}为首项是 lg 5,公比为 2 的等比数列??4 分
2 2 2 2

(2)lg(2an+1)=[lg(2a1+1)]×2 =2 1 2n-1 2n-1 ∴2an+1= 5 ,∴an= ( 5 -1). 2

n-1

n-1

lg 5= lg5

2n-1



∵lg Tn=lg(2a1+1)+?+lg(2an+1)=(2 -1)lg 5,∴Tn= 5 n lg Tn (2 -1)lg 5 1 (3)∵bn= = n-1 =2- n-1, lg(2an+1) 2 lg 5 2 1 ∴Sn=2n-2+ n-1. 2 1 ∵Sn>2 014,∴2n-2+ n-1>2 014. 2 1 ∴n+ n>1 008.∴nmin=1 008.??12 分 2 19、解:(1)由题意知,该产品售价为 2 ? (

n

2n-1

.??8 分

10 ? 2t ) 万元, t

10 ? 2t y ? 2? ( ) ? t ? 10 ? 2t ? x , t 4 y ? 20 ? ( ? x) ,( 0 ? x ? a2 ? 3a ? 3 ) ??5 分 代入化简得 x ?1
(2) y ? 21 ? ( 当且仅当
2

4 4 ? x ? 1) ? 21 ? 2 ? ( x ? 1) ? 17 x ?1 x ?1

4 ? x ? 1,即x ? 1 时,上式取等号 ??8 分 x ?1

当 1 ? a ? 3a ? 3 ,即 a ? 2 或 0 ? a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; 9 分
2 当 a ? 3a ? 3 ? 1 , 即 1 ? a ? 2 时 , y ?
'

? ? x ? 1? ? ? x ? 3?

? x ? 1?

2

? 0 , 故 y ? 21 ? (

4 ? x ? 1) 在 x ?1

0 ? x ? a2 ? 3a ? 3 上 单调 递增 , 所 以在 x ? a 2 ? 3a ? 3 时 , 函 数有 最大 值 . 促销 费用投 入 x ? a 2 ? 3a ? 3 万元时,厂家的利润最大 ??11 分
综上述,当 a ? 2 或 0 ? a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大; 当 1 ? a ? 2 时,促销费用投入 x ? a ? 3a ? 3 万元时,厂家的利润最大 ????12 分
2

20、解: (Ⅰ)易知 a ? 2, b ? 1, c ? 1 ,椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1????????(5 分) 2

(Ⅱ)由题意可设 l : x ? ky ? 1 ,由 ?

? x ? ky ? 1 ?x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2

得(k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 ?(6 分)

?2k ? ? y1 ? y2 ? k 2 ? 2 ① ? ?1 ? ② 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ),则有 ? y1 y2 ? 2 k ?2 ? ? y1 ? ? y2 (? ? 0)③ ? ?

y1 y2 4k 2 1 4k 2 将① ?②得 ????????(8 分) ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
2

2 1 1 1 ?4k 2 ? 0 , 0 ? k 2 ? ????(9 分) 由 ? ?[?2, ?1] 得 ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? 2 7 2 ? 2 k ?2

TA ? ( x1 ? 2, y1 ),  TB ? ( x2 ? 2, y2 ) , TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 )
x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 4(k 2 ? 1) k2 ? 2

16(k 2 ? 1)2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 | TA ? TB | ? ? 2 ? ? 16 ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 (k ? 2) (k ? 2) (k ? 2) k ? 2 (k ? 2)2
2

(11 分)

1 7 1 ? [ , ],| TA ? TB |2 ? 8t 2 ? 28t ? 16 k ? 2 16 2 1 ? t ? 时 | TA ? TB |2 的最小值是 4????????????????????(13 分) 2 1 ax ? 1 ( x ? 0) 21、解: (Ⅰ) F ( x) ? ax ? ln x,F ?( x) ? a ? ? x ax
令t ?
2

①当 a ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x)在(0, ??) 递减, F ( x) 无极值; ②当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 1 1 ,? F ( x)在(0, )递减,在( , ??) 递增, a a a

1 1 ? F ( x)极小 ? F ( ) ? 1 ? ln ? 1,  ? a ? 1 ??????????????4 分 a a
(Ⅱ)

G( x) ? a sin(1 ? x) ? ln x在(0,1) 上是增函数,
1 ? 0对x ? (0,1) 恒成立, x

? G?( x) ? ?a cos(1 ? x) ?

cos(1 ? x) ? 0 ,?当a ? 0 时, G?( x) ? 0 恒成立,

当 a ? 0 时, G?( x) ? 0 等价于

1 ? x cos(1 ? x) , a 1 ? 1,即0 ? a ? 1 , a

? 设 h( x) ? x cos(1 ? x), 显然h( x)在(0,1) 递增,? h( x) ? h(1) ? 1,

故 a 的取值范围是 a ? 1 ???????????????????????9 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时, G( x) ? sin(1 ? x) ? ln x在(0,1) 上是增函数,

?G( x) ? sin(1 ? x) ? ln x ? G(1) ? 0 , sin(1 ? x) ? ln

1 x

1 k (k ? 2) 1 (k ? 1)2 ,即x ? 令1 ? x ? ,则 sin , ? ln (k ? 1) 2 (k ? 1) 2 (k ? 1)2 k (k ? 2)

? ? sin
k ?1

n

1 22 32 42 ? ln ? ln ? ln ? (k ? 1)2 1? 3 2? 4 3? 5

? ln

(n ? 1)2 , n(n ? 2)
? [2ln(n ? 1) ? ln n ? ln(n ? 2)]

? (2ln 2 ? ln 3) ? (2ln 3 ? ln 2 ? ln 4) ? ? ln 2 ? ln(n ? 1) ? ln(n ? 2)
? ln 2 ? ln


n ?1 ? ln 2 n?2

? sin (k ? 1)
k ?1

n

1

2

? ln 2 ????????????????????????14 分


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