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四川省成都外国语学校2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

成都外国语学校高 2017 届高二下期期中考试 数学试题(文科)
注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。 2.答题前,考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。 3.考试结束后,将所有答题卷和机读卡交回。 第Ⅰ卷 主观题部分 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的 1.焦点在 x 轴上,且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程是( ) A. y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x C. x 2 ? 4 y 或 x 2 ? ?4 y 2.下列说法中正确的是( ) B. x 2 ? 8 y 或 x ? ?8 y D. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?4 x

2 2 A.命题“若 x = 1 ,则 x = 1 ”的否定为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

B. 已知 y = f x 是上的可导函数,则“ f ? x0 = 0 ” 是“ x0 是函数 y = f x 的极值点”的充

()

( )

()

分必要条件
2 2 C.命题“存在 x ? R ,使得 x + x +1 < 0 ”的否定是:“对任意 x ? R ,均有 x + x +1 < 0 ”

D.命题“角 a 的终边在第一象限,则 a 是锐角”的逆否命题为真命题
2 2 3. 设 k ? R ,“直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 相切” 是“ k ? 1 ”的(



A.充分不必要条件 4.曲线 f ( x ) ? A.

B.必要不充分条件

C.充要条件 )

D.既不充分又不必要条件

? 4

1 在点 (1, f (1)) 处的切线的倾斜角为( x ? 2? 3? B. C. D. 3 3 4

y
5.函数 f ( x) 在其定义域内可导,其图象如右图 所示, 则导函数 y ? f ' ( x) 的图象 可能为( )

O

x

y

y

y

y

O

x

O

x

O C

x

O

x

A
2

B
2 2

D

6. 方 程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的 曲 线 在 同 一 坐 标 系 中 的 示 意 图 可 能 是
-1-





x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( ) 5 m A. m ? 5 B. m ? 1 C. 1 ? m ? 5或m ? 5 D. m ? 1 2 2 8. 若椭圆 C : mx ? ny ? 1??? m ? 0,??n ? 0,??m ? n? 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 交于 A , B 两点,过原
7.直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 点与线段 AB 中点的直线的斜率为 A. 2 9. 若函数 f ( x) ? A. [1, ??) B.

m 2 ,则 ? ( n 2
D.



1 2

C. 2

2 2


1 3 x ? kx 2 ? (2k ? 1) x ? 5 在区间 (2, 3) 上是减函数, 则 k 的取值范围是 ( 3
B. [0,1] C. ( ??, 0] D. [2, ??)

10.已知双曲线 C :

6 x2 y 2 ? 2 ? 1 (b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x , F1 , F2 分别为双曲线 C 的 4 b 2

左右焦点,P 为双曲线 C 上的一点, | PF 1 |:| PF 2 |? 3:1 ,则 | PF 1 ? PF 2 | 的值是( A.4 B. 2 6 C. 2 10 D.

???? ??? ?



6 10 5
,则

11.已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 此椭圆离心率的取值范围是( A. [

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上一点且 a 2 b2


1 1 3 2 2 C. [ D. (0, , ] ] 3 2 3 2 2 x 12. 设过曲线 f ( x) = - e - x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线

3 ,1) 3

B. [ , ]

g ( x) = ax + 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ^ l2 ,则实数 a 的取值范围为(
A. - 1, 2

) D. - 2,1

[

]

B. - 1, 2

(

)

C. - 2,1

[

]

(

)

第Ⅱ卷 客观题部分 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上的相应位置
-2-

13.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是 14.若双曲线 的离心率为

.

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与抛物线 x2 ? 4 y 的准线所围成的三角形面积为 2 ,则该双曲线 2 a b


15.已知 A ? ?

1? ? 1 ? ? , 0 ? , B 是圆 C : ? x ? ? ? y 2 ? 4 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BC 于 M , 2? ? 2 ? ?
.

2

则动点 M 的轨迹方程为

xx y y ? ? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图像,对于函数 y ? f ( x) ,有如下结论: 16 9 ① f ( x) 在 R 上单调递减;②函数 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3 x 不存在零点;③函数 y ? f ( x) 的值域是 R;④ y y xx 若函数 g ( x) 和 f ( x) 的图像关于原点对称,则函数 y ? g ( x ) 的图像就是方程 ? ? 1 确定的 16 9
16. 方程 曲线. 其中所有正确的命题序号是 .

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? x ? R 0 ? ax ? 1 ? 5 , B ? ? x ? R ?

?

?

? ?

1 ? ? x ? 2? ? a ? 0 ? . 2 ?

(I)若 A ? B ,求出实数 a 的值; (II)若命题 p : x ? A, 命 题 q : x ? B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? ln x . (I)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x ) 极值; (II)求函数 f ( x ) 的单调区间.

19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ?

1 2 x ,焦点为 F . 4

(I)若直线 y ? ? x ? 4 交抛物线于 A 、 B 两点,求证: OA ? OB ; (II)若直线 l 过 F 交抛物线于 M 、 N 两点,求证: ?MON 为钝角.

-3-

20.(本小题满分 12 分)椭圆 C :

x2 y 2 ?4 b? ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的上顶点为 ? , ? ? , ? 是 C 上的一 2 a b ?3 3?

点,以 ?? 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F . (I)求椭圆 C 的方程; (II)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的距 离之积等于 1 ?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 设 x=m 和 x=n 是函数 f ( x) ? 2 ln x ? (I)若 a=2 时,求 m,n 的值; (II)求 f (m) ? f (n) 的取值范围;

1 2 x ? (a ? 1) x 的两个极值点,其中 m<n,a>0. 2

22.(本小题满分 12 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 a 2 b2
3 2 a 。 4

A, B 两点, AF 的最大值为 M , BF 的最小值为 m ,满足 M ? m ?
(Ⅰ)若线段 AB 垂直于 x 轴时, ,求椭圆的方程;

(Ⅱ )若椭圆的焦距为 2, 设线段 AB 的中点为 G , AB 的垂直 平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点, O 是坐标原点,记

?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求
范围。

2 S1S 2 的取值 S12 ? S 2 2

成都外国语学校高 2017 届高二下期期中考试答案
-4-

数学试题(文科) 注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。 2.答题前,考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。 3.考试结束后,将所有答题卷和机读卡交回。 第Ⅰ卷 主观题部分 一.选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的 1.焦点在 x 轴上,且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程是( A. y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x C. x 2 ? 4 y 或 x 2 ? ?4 y 2.下列说法中正确的是( ) B. x 2 ? 8 y 或 x ? ?8 y D. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?4 x )D

2 2 A.命题“若 x = 1 ,则 x = 1 ”的否定为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

B. 已知 y = f x 是上的可导函数,则“ f ? x0 = 0 ” 是“ x0 是函数 y = f x 的极值点”的充

()

( )

()

分必要条件 C.命题“存在 x ? R ,使得 x + x +1 < 0 ”的否定是: “对任意 x ? R ,均有 x + x +1 < 0 ”
2 2

D.命题“角 a 的终边在第一象限,则 a 是锐角”的逆否命题为真命题 【答案】A 3. 设 k ? R , “ k ? 1 ”是“直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 不相切”的(
2 2



A.充分不必要条件 【答案】B 【解析】

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

试题分析:圆 x ? y ? 1 的圆心是(0,0),半径为 1,直线 l : y ? kx ? 2 ,可化为 kx ? y ? 2 ? 0 ,
2 2

它到原点的距离 d ?

| 2| k ?1
2

2 2 所以 “ k ? 1” 时 “直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 ? 1 时,k ? ?1 ,

有可能相切,所以不充分; “直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 不相切” 则“ k ? 1 ”必要,所以
2 2

“ k ? 1 ”是“直线 l : y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 不相切”的必要不充分条件.
2 2

4.曲线 f ( x ) ? A.

?
4

1 在点 (1, f (1)) 处的切线的倾斜角为( x ? 2? 3? B. C. D. 3 3 4

)D

y

O

x

-5-

5.函数 f ( x) 在其定义域内可导,其图象如右图所示, 则导函数 y ? f ' ( x) 的图象可能为(

)C

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

C B A D 2 2 2 6. 方 程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的 曲 线 在 同 一 坐 标 系 中 的 示 意 图 可 能 是
( )A

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( ) C 5 m A. m ? 5 B. m ? 1 C. 1 ? m ? 5或m ? 5 D. m ? 1 2 2 8. 若椭圆 C : mx ? ny ? 1??? m ? 0,??n ? 0,??m ? n? 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 交于 A , B 两点,过原
7.直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 点与线段 AB 中点的直线的斜率为 A. 2 9.若函数 f ( x) ? A. [1, ??) B.

m 2 ,则 ? ( n 2
D.

)D

1 2

C. 2

2 2

1 3 x ? kx 2 ? (2k ? 1) x ? 5 在区间(2,3)上是减函数,则 k 的取值范围是 D 3
B. [0,1] C. ( ??, 0] D. [2, ??)

10.已知双曲线 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x , F1 , F2 分别为双曲线 C 的 4 b 2

左右焦点,P 为双曲线 C 上的一点, | PF 1 |:| PF 2 |? 3:1 ,则 | PF 1 ? PF 2 | 的值是( A.4 【答案】C B. 2 6 C. 2 10 D.

???? ??? ?



6 10 5

-6-

x2 y 2 11.11.已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 2 ? 2 ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上一点且 a b
则此椭圆离心率的取值范围是( A. [ )C C. [



3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

12. 设过曲线 f x = - ex - x ( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1 ,总存在过曲线

()

g ( x) = ax + 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l 2 ,则实数 a 的取值范围为(
A. - 1, 2

) D. - 2,1

[

]
()

B. - 1, 2

(

)

C. - 2,1

[

]

(

)

【答案】A 试题分析:由 f x = - ex - x 得 f ? ( x) = - ex - 1,

? e x +1 > 1,\

1 ? (0,1) , e +1
x

( x) = a - 2sin x , 由 g x = ax + 2cos x ,得 g ?

()

又 - 2sin x ? [ 2, 2] , ∴ a - 2sin x ? [ 2 + a, 2 + a] ,

第Ⅱ卷 客观题部分 二.填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上的相应位置 13.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是 . ? 0, ?

? ?

1? e?

-7-

14.若双曲线 的离心率为

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与抛物线 x2 ? 4 y 的准线所围成的三角形面积为 2 ,则该双曲线 2 a b


1? ? 1 ? ? 15.已知 A ? ? , 0 ? , B 是圆 C : ? x ? ? ? y 2 ? 4 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BC 于 M , 2? ? 2 ? ? 则动点 M 的轨迹方程为 . 2 y x2 ? ?1 3 4 xx y y ? ? ?1 的曲线即为函数 y ? f ( x) 的图像,对于函数 y ? f ( x) ,有如下结论:① 16.方程 16 9 f ( x) 在 R 上单调递减;②函数 F ( x) ? 4 f ( x) ? 3x 不存在零点;③函数 y ? f ( x) 的值域是 R;④若 y y xx 函数 g ( x) 和 f ( x) 的图像关于原点对称,则函数 y ? g ( x ) 的图像就是方程 ? ? 1 确定的曲 16 9
线. 其中所有正确的命题序号是 . ①②③

2

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? x ? R 0 ? ax ? 1 ? 5 , B ? ? x ? R ?

?

?

? ?

1 ? ? x ? 2? ? a ? 0 ? . 2 ?

⑴若 A ? B ,求出实数 a 的值; ⑵若命题 p : x ? A, 命 题 q : x ? B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) a ? 2 ; (2) (2, ??) ? (??, ?8) .

-8-

综上 p 是 q 的充分不必要条件,实数 a 的取值范围是 a ? 2, 或 a ? ?8 ????10 分 18.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x .
2

(I)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x ) 极值; (II)求 函数 f ( x ) 的单调区间. 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? ?2 时, f '( x ) ?

??????1 分 ??????3 分

1 ? 4 x2 , x
1 2
0 极大值

x
f ?( x)

1 (0, ) 2
+
?

1 ( , ??) 2

?
?

f ( x)

函数的极大值是 f ( ) ? ?

1 2

1 ? ln 2 ? ?0 ?????????.6 分 2
1 (ax ? 1)(2 x ? 1) , ? x x

(Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? ①当 a ? 0 时,

??????8 分

-9-

x
f ?( x)

1 (0, ) 2
+
?

1 2
0 极大值

1 ( , ??) 2

?
?

f ( x)

?

???9 分

②当 0 ? a ? 2 时,

x
f ?( x)

1 (0, ) 2
+
?

1 2
0 极大值

1 1 ( , ) 2 a

1 a
0 极小值

1 ( , ??) a
+
?

??..10 分

?
?

f ( x)

(2x ? 1)2 ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,且仅当 ? 1 时 f '( x) ? 0 x 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) . ?????11 分
③当 a ? 2 时, f ?( x) ? ④当 a ? 2 时

x
f ?( x)

1 (0, ) a
+
?

1 a
0 极大值

1 1 ( , ) a 2

1 2
0 极小值

1 ( , ??) 2
+
?

?
?

f ( x)
综上,

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( , ??) ;

1 2

1 2

1 2 当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ??) ; 1 a

当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 ( , ) ;

1 a

1 1 2 a

当 a ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 ( , ) .

1 2

1 1 a 2

19. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ?

1 2 x ,焦点为 F . 4

(1)若直线 y ? ? x ? 4 交抛物线于 A 、 B 两点,求证: OA ? OB ; (2)若直线 l 过 F 交抛物线于 M 、 N 两点,求证: ?MON 为钝角.

- 10 -

1 2 ? ?y ? x 19.解: (1)由 ? ,得 x 2 ? 4 x ? 16 ? 0 , 4 ? ? y ? ?x ? 4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?4 , x1 x2 ? ?16 . ∴ OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (?x1 ? 4)(?x2 ? 4)

? 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? ?32 ? 16 ? 16 ? 0 .
∴ OA ? OB .??6 分 (2)设直线 l 方程为 y ? kx ? 1 .

1 2 ? ?y ? x 2 由? ,得 x ? 4kx ? 4 ? 0 . 4 ? ? y ? kx ? 1
设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y 4 ) ,则 x3 ? x4 ? 4k , x3 x4 ? ?4 . ∴ OM ? ON ? x3 x4 ? y3 y 4 ? x3 x4 ? (kx3 ? 1)(kx4 ? 1)

? (1 ? k 2 ) x3 x4 ? k ( x3 ? x4 ) ? 1 ? ?4(1 ? k 2 ) ? 4k 2 ? 1 ? ?3 ? 0 ,
∴ ?MON 为钝角.??12 分

20.(本小题满分 12 分)椭圆 C :

x2 y 2 ?4 b? ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的上顶点为 ? , ? ? , ? 是 C 上的一 2 a b ?3 3?

点,以 ?? 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F . (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点,它们到直线 l 的距 离之积等于 1 ?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由. 【答案】 (1) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1; (2)存在两个定点 ?1 ?1,0? , ?2 ? ?1,0? . 2

4 b2 16 b2 ? 0 ①,又点 P 在椭圆 C 上,可得 2 ? 2 ? 1 ②,又 试题分析: (1)由题设可得 c ? c ? 3 3 9a 9b
2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ③,由①③联立解得 c ,b2,即可得解.
2 2 2 (2) 设动直线 l 的方程为 y=kx+m, 代入椭圆方程消 去 y, 整理得 2k ? 1 x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0

?

?

- 11 -

(﹡) ,由△=0,得 m ? 2k ? 1 ,假设存在 ?1 ? ?1 ,0? , ?2 ? ?2 ,0? 满足题设,则由
2 2

d1 ? d2 ?

? ?1k ? m?? ?2k ? m?
k 2 ?1

?

?1?2 k 2 ? ? ?1 ? ?2 ? km ? 2k 2 ? 1
k 2 ?1

? 1 对任意的实数 k 恒成立.由

??1?2 ? 2 ? 1 即可求出这两个定点的坐标. ? ??1 ? ?2 ? 0

试题解析: (1) F ? c,0 ? , ? ? 0, b? ,由题设可知 F?? F? ? 0 ,得

??? ? ???

4 b2 c ? c? ?0 3 3
2

①? ?????????1 分

又点 ? 在椭圆 C 上,?

16 b2 ? 2 ? 1 , ? a2 ? 2 2 9a 9b



b2 ? c 2 ? a 2 ? 2
2

③??????????3 分

①③联立解得, c ? 1 , b ? 1 ??????????4 分 故所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1??????????5 分 2

总上,存在两个定点 ?1 ?1,0? , ?2 ? ?1,0? ,使它们到直线 l 的距离之积等于 1 .??1 2 分 21. (本小题满分 12 分) 设 x=m 和 x=n 是函数 f ( x) ? 2 ln x ?

1 2 x ? (a ? 1) x 的两个极值点,其中 m<n,a>0. 2
- 12 -

(I)若 a=2 时,求 m,n 的值; (II)求 f (m) ? f (n) 的取值范围; 21.解:(Ⅰ) ∵ f ?( x) ?

2 x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? x ? (a ? 1) ? ,?????????3 分 x x

∴ 当 a=2 时, f ?( x) ?

x 2 ? 3x ? 2 . x
2

由已知有 m,n 是方程 x -3x+2=0 的两个根, ∴ m=1,n=2.????6 分 (Ⅱ)由已知有 m,n 是方程 x -(a+1)x+2=0 的两个根, ∴ Δ =(a+1) -8>0,m+n=a+1>0,mn=2>0. ??????8 分 ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln m ?
2 2

1 2 1 m ? (a ? 1)m ? 2 ln n ? n2 ? (a ? 1)n 2 2 1 ? 2 ln mn ? (m2 ? n2 ) ? (a ? 1)(m ? n) 2

1 ? 2 ln 2 ? [(m ? n)2 ? 2mn] ? (a ? 1)(m ? n) 2

1 ? 2 ln 2 ? [(a ? 1)2 ? 4] ? (a ? 1)2 2 1 ? ? (a ? 1)2 ? 2 ? 2 ln 2 . 2
∵ (a+1) >8, ∴ f (m) ? f (n) ? 2 ln 2 ? 6 ,即 f (m) ? f (n) 的取值范围为(-∞, 2 ln 2 ? 6 ). ????12 分 22.(本小题满分 12 分) 如图,椭圆
2

??????10 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 a 2 b2
3 2 a 。 4

A, B 两点, AF 的最大值为 M , BF 的最小值为 m ,满足 M ? m ?
(Ⅰ)若线段 AB 垂直于 x 轴时, ,求椭圆的方程;

(Ⅱ )若椭圆的焦距为 2 设线段 AB 的中点为 G , AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于

D, E 两点, O 是坐标原点,记 ?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求
取值范围。

2 S1S 2 的 S12 ? S 2 2

- 13 -

【答案】 (Ⅰ) x ?
2

4 y2 9 ? 1 (Ⅱ) (0, ) 3 41

试题解析:(Ⅰ) 设 F (?c,0)(c ? 0) ,则根据椭圆性质得

M ? a ? c, m ? a ? c, 而 M ? m ?

3 2 3 a ,所以有 a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? 4c 2 , a ? 2c , 4 4

3 2b 2 3 ? 且 a 2 ? b 2 ? c 2 ,得 a ? 1, b 2 ? , 又 4 a 2
因此椭圆的方程为: x ?
2

4 y2 ?1 3
x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 a ? 2 , b ? 3 ,椭圆的方程为

根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零,设直 线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 并设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则由 ? x 2 y 2 消去 y 并整理得 ? ? 1 ? ?4 3

(4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0
从而有 x1 ? x2 ? ?

8ck 2 6ck , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 , 2 4k ? 3 4k ? 3

(6 分)

4ck 2 3ck , 2 ). 所以 G (? 2 4k ? 3 4k ? 3
3ck 2 ck 2 4 k ? 3 DG ? AB x ? ? 因为 ,所以 . ? k ? ?1 , D 4k 2 ? 3 4ck 2 ? 2 ? xD 4k ? 3
由 Rt ?FGD 与 Rt ?EOD 相似,所以

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S1 GD 2 ? ? S2 OD 2

(?

4ck 2 ck 2 2 3ck ? ) ? ( 2 )2 2 2 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3 ? 9 ? 9 ? 9 . 2 ck k2 (? 2 ) 2 4k ? 3

(10 分)



S1 ? t ,则 t ? 9 ,从而 S2

2S S 2S1S2 2 2 9 9 ? ? ? ,即 2 1 2 2 的取值范围是 (0, ) . 2 2 1 1 S1 ? S 2 S1 ? S2 41 41 t? 9? t 9
考点:椭圆的综合问题.

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