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1.3三角函数的图像与性质(打印版)


1.3.1 正弦函数的图象与性质
函数

y ? sin x

图象

定义域 R 奇偶性 单调性 奇函数 在 ?2k? ? ? ,2k? ? ? ? 增 ? 2 2? ? ? 在 ?2k? ? ? ,2k? ? 3? ? 减 ? 2 2? ? ?

周期 最值
x ? 2 k? ? x ? 2k? ? 2

2?
? 时, y ? ?1 min

? 时, y max ? 1
2

对称性

对称轴: x ? k? ?

?
2



对称中心: ?k? ,0?

例1

画出下列函数图象的简图

(1) y ? 1? sin x,(2) y ? sin x ,(3) y ? sin x

(4y ) ?? si xn

(5) y ? sin( x ?

?
3

)

1

例 2 求使下列函数取得取大值和最小值的 x 的取值范围,并说出最大值和最小值是什么?(函数值域)
(1) y ? sin 2 x ( 2y ) ?? si xn ? 2
(3y ) ?? si xn ?

?

2

? 1

2 ( 4y ) ? ? s2 in x?

sx in ?

1

练习: 1 函数 y ? A. R

1 的定义域是 sin x
B. ?x | x ? R, x ? 0? C. ?x | x ? R, x ? k? , k ? Z ? D. ?? 1,0? ? ?0,1?

2 函数 y ? 1 ? sin x 的最小值是 A. ? 1 3 函数 y ? B.0 C. ? 2 D. 1

7 ? sin x ? sin 2 x 的值域是 4

4 y ? sin x ? sin x ? 1, x ? ?
2

? ? 3? ? , ?3 4 ? ?

5 偶函数 f(x)在 ? 0,

? ? ?? 上的解析式为 y=sin2x,且 x ? ? 是 f(x)的图象的一条对称轴,则 f(x)的最小正周期、最小值 ? 4 ? 2?

分别是___________

例3

求下列函数的单调增区间及周期
2

(1) y ? 1 ? sin x

x ) ? s i n (x?R) ( 2y ) ? sin x 2 (3y 2

(4)(补充) y ? sin x

例4

设 2sin x ? 4 ? m, x ? R ,求 m 的取值范围

练习 1 如果直线 y ? m 与函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?有且只有一个交点,则 m ? 如果直线 y ? m 与函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ? 有且只有两个交点,则 m ? ;

2 (补充)已知函数 f ( x) ? ? sin 2 x ? sin x ? a (1)当 f ( x) ? 0 有实数解时,求 a 的取值范围 (2)若 x ? R, 有 1 ? f ( x) ?

17 ,求 a 的取值范围 4

1.3.2 正弦型函数: y ? A sin ?? x ? ? ?

3

π 例 1 (海淀区 2015 届高三上学期期中)要得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( ) 3 ? ? ? ? (A)向左平移 个单位 (B)向左平移 个单位 (C)向右平移 个单位 (D)向右平移 个单位 3 6 3 6

?? ? 例 2 函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换可以得到函数 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象?用五点法做出函数图像 3? ?
解决此类问题的两种方法:(1)先平移(向左平移

? 单位)后动周期 3

(2)先动周期后平移(向左平移

? 单位) 6

练习 1.将函数 y ? sin(2 x ?

?
5

) 上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的

2 倍,得到函数的解析式是___________ 3

2.将函数 y=sinx 图象沿 x 轴向右平移 1 个单位,再将图像上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得到函数 的解析式是_______

3(2013 届门头沟区一模文)为得到函数 y

π 个单位 3 π C.向右平移 个单位 3
A.向左平移 4 函数 y ? sin(2 x ?

π ? sin (π-2 x) 的图象,可以将函数 y ? sin (2 x ? ) 的图象 3 π B.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6





?

) 的图象经过怎样的变换可以得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 5 3

?

5 要得到函数 y=sin2x 的图像,可由函数 y ? cos(2 x ?

?
3

) 的图象经过怎样变换得到?

6 用五点法做函数 y ? 1 ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象时,应取的五个关键点是

4

例 3 (朝阳区 2015 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象为 C ,下面结论中正确的是
A.函数 f ( x) 的最小正周期是 ?? C.图象 C 可由函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D.函数 f ( x) 在区间 (?

? 3

? B.图象 C 关于点 ( ,0) 对称 6 ? 个单位得到 3

? ? , ) 上是增函数 ?? 2

练习
1 . (2013 丰台二模数学文科)下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

?
12

对称的是





x ? A. y ? sin( ? ) 2 3

x ? B. y ? sin( ? ) 2 3

? C. y ? sin(2 x ? ) 3

D. y ? sin(2 x ?

?
3

)

2 . (2013 朝阳二模文科)函数

A. x ? 0

? f ( x) ? sin( x ? ) ( x ? R )的图象的一条对称轴方程是 4 π π π B. x ? ? C. x ? D. x ? 4 4 2





3.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ??
B.关于直线 x ?



0 ? 对称 A.关于点 ? ,

?? ??

? ?

? ?? ? 0 ? 对称 对称 C.关于点 ? , ? ?? ?

D.关于直线 x ?

? 对称 ?

4. (2013 届北京东城区一模数学文科) 函数

? 5? f ( x) ? sin( x ? ) 的图象为 C ,有如下结论:①图象 C 关于直线 x ? 对 3 6 4? ? 5? , 0) 对称;③函数 f ( x) 在区间 [ , ] 内是增函数,其中正确的结论序号是____.(写 称;②图象 C 关于点 ( 3 3 6
出所有正确结论的序号)

提高
1 (12 课标文) 已知 ? ? 0,0 ? ? ? ? , 直线 x ? 则? =

?
4

和x ?

5? 是函数 f ?x ? ? sin??x ? ? ? 图像的两条相邻的对称轴, 4
)

( A

5

π A. 4

π B. 3

π C. 2

3π D. 4

2 已知 f ( x) ? sin? ? x ? __________.

? ?

?? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? 0) , f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值,无最大值,则 ? = ?( 3? ?6 3? ? 6? ? 3?

例 4 已知函数 y ? Asin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? ? ) 的一段图象如图所示,求函数的解析式

y ? 2sin(2 x ? ? )
将??

? ? ? , 2 ? 代入上述 ? 8 ?
? ? ? 2 k? ?

2

?

?
4

?
2

?

?
8
-2

3? 8

3? ? ? y ? 2sin ? 2 x ? ? 4 ? ?

练习
1 (2012 年昌平二模文 5) 已知函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示, 则 ? ?( )
y
2
5π 12
O

A. ?

π 4

B.

? 6

? C. 3

5? D. 12

π 6

x

2 ( 2014

昌 平 高 一 期 末 考 试 ) 如 图 是 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? ) , x ? R 的 部 分 图 象 , 则 函 数 f ( x) 的 最 小 正 周 期 为
_____________; 函数 f ( x) 的解析式为____________________.
6

y 3

O

π 6 - 3

5π 6

x

(第 2 题图)

(第 3 题图)

3.(2012 年西城二模 文 16)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? 3 cos(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,其中 ? ? 0 , (Ⅰ)求 ? 与 ? 的值; ? ? (? , ) . (Ⅱ)若 f ( ) ?

π π 2 2

?

4

2 sin ? ? sin 2? 4 5 ,求 的值. 2 sin ? ? sin 2? 5

4(2012 年东城二模文 15)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0, ?

π π ? ? ? )的部分 2 2

图象如图所示. (Ⅰ) 求 A ,? ,? 的值;(Ⅱ) 已知在函数 f ( x) 图象上的三点 M , N , P 的横坐标分别为 ?1, 1, 3 , 求 sin ?MNP 的值.

y 1 ?2 ?1 0 ?1 1 2
3

4

5

6 x

? 例 5 (东城区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 部分图象如 2
图所示. (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及解析式;

7

(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 大值和最小值.

? ? 个单位长度得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 [0, ] 上的最 6 2
y
1

?? 3

o
?1

?? 12

x

练习 1 已知函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ?, x ? ?0, ? ,当 x ? 4? ? 4?

时,函数有最小值 y ?

2 函数 y ? sin x, x ? ?? A. ?? 1,1?

? ? 2? ? 的值域是 , ? 6 3 ? ?
? 1 ? ,1 ? 2 ? ?
C. ? ?

B. ? ?

? 1 3? , ? 2 2 ? ?

D. ? ,

?1

?2

3? ? 2 ?

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 ( A ) 3 (12 山东文)函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

A. 2 ? 3

B.0

C.-1

D. ?1 ? 3

4 设函 数 f ( x ) ? 2 sin( ( ) A、4

?
2

x?

?
5

) , 若 对任 意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成 立, 则 | x1 ? x2 | 的 最 小值 为

B、2

C、1

D、

1 2

真题链接
1(2014 昌平高一期末) (19) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

).

8

(I)

请你用“五点法”画出函数 f ( x) 在长度为一个周期的闭区间上的图象; (II) 的值. 若 x ?[

?
2

, ? ] 时,求函数 f ( x) 的最值以及取得最值时的 x

y 2



-

π 2

O

π 2

π

3π 2

2π x

-2

2(2014 高一海淀期末考试)16. (本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) . 3
(Ⅰ)请用“五点法”画出函数 f ( x ) 在长度为一个周期的闭区间上的简图(在所给的表格 中填上所需的数值,再画图) ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

? (Ⅲ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2

y
1

O

1

x
9

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
y ? cos x

y ? tan x

R 偶函数 在 ?2k? ? ? ,2k? ? 增 在 ?2k? ,2k? ? ? ? 减

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?
奇函数

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 增 2 2? ?

2?
x ? 2k? ? ? 时, y min ? ?1 x ? 2k? 时,

?


ymax ? 1
对称轴:无;

对称轴: x ? k? ; 对称中心: ? k? ?

? ?

?

? ,0 ? 2 ?

对称中心: ? k ?

? ?

?

? ,0 ? 2 ?

例1

求适合不等式 2 cos x ? 1 ? 0 的 x 的集合

练习
10

1 如果 cos x ? A. m ? 4 2 函数 y ?

m?4 4 m

有意义,则 m 的取值范围是( C. m ? 4

)

B. m ? 4

D. m ? 4

2 ? cos x 的值域是 2 ? cos x

? x 例 2 已知函数 f ( x) ? 2 cos( ? )
3 2
(1)求 f (x)的单调递增区间 (2)若 x ? ? ?? , ? ? ,求 f (x) 的最大值和最小值.

练习 1 函数 y ? 2 cos(

x ? ? ) 的单调增区间是________________________; 2 3

2 在下列各区间上,函数 y ? cos 2 x 单调递减的区间是 A. ? ?

? ? ?? , ? 4 4? ?

B. ?

? ? 3? ? , ?4 4 ? ?

C. ?0,

? ?? ? 2? ?

D. ?

?? ? ,? ?2 ? ?

3 已知 0 ? x ? 2π ,当 x 属于区间 _____

时,角 x 的正弦函数、余弦函数都是减函数;

当 x 属于区间______________时, 角 x 的正弦函数是减函数,角 x 的余弦函数是增函数

4(提高题)构造一个周期为π ,值域为[

1 3 ? , ] ,在[0, ]上是减函数的偶函数 f(x)= 2 2 2



例 3 (1) 求函数 y ? 1 ? tan x 的定义域

(2)函数 y ? tan? 2 x ?

? ?

??

? 的周期是 4?
11

A. ? (3)函数 y ? tan?

B.

C.

? 2

D.

? 4

?x ?? ? ? 的单调区间是 ?2 3?

练习 1 函数 y=3tan(

1 ? x ? )的定义域是 2 4

,值域是



2 函数 y=3tan(2 x +

? )的对称中心的坐标是 3

3 函数 y ? tan? 2 x ? 的纵坐标是

? ?

??

? 的图象被平行直线 4?

隔开,图象与 x 轴交点的横坐标是 ,定义域是 ,值域是

,与 y 轴交点 ,它的奇偶性是

,函数的周期是

4

1 ? (1) y ? tan( x ? ) ; 2 6

(2) y ? tan(

?
4

? 2 x) .

1.3.3 已知三角函数值求角 例1 已知 sin ? ?
3 ,根据所给范围求 ? , 2

(1) ? 为锐角; (2) ? 为某三角形的内角;(3) ? 为第二象限的角;(4) ? ? R。

12

练习
1、若 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? A.30
0

1 ,则 ? ? ( 2
0 0


0

B.30 或 150

0

0

C. 60

D. 60 或 120

2、在[- ? , ? ]上,适合 cos x ? (A) ?

3 的角 x 是 2
5? ? 2? 和 (D) 6 3 3

?
6

(B) ?

?
3

(C)

?
6



3、在[- ? , ? ]上,适合 tan x ? (A)

3 的角 x 是
(C) ?

?
6

和?

5? 6

(B) ?

2? ? 和 3 3

?
3



2? 3

(D) ?

?
6



5? 6

2 4、若 0 ? x ? 2? ,则满足 5 sin x ? 4 ? 0 的 x 有(

) D.4 个

A.1 个

B.2 个

C.3 个

5 函数 y=sin(3x- A. ?

? 12

? )的一个零点是( ) 4 7? 7? B. ? C. 12 12

D.

11? 12

13



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