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2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标17定积分与微积分基本定理理

2018 年高考数学一轮复习 第二章 函数、 导数及其应用 课时达标 17 定积分与微积分基本定理 理
[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、 曲边梯形的 面积,常与导数、概率相结合命题,通常以选择题的形式呈现,题目难度中等. 一、选择题 1.?1e dx 的值等于(
x

?0

C ) B.1-e 1 D. (e-1) 2

A.e C.e-1
x x
1 1 0

解析:?1e dx=e |0 =e -e =e-1,故选 C.

?0

1? ? 2.?e?2x+ ?dx=(

?1?
2 2

x?

C ) B.e-1 D.e+1

A.e -2 C.e

1? e ? 2 2 解析:?e?2x+ ?dx=(x +ln x)|1 =e .故选 C.

?1?

x?
2

3.求曲线 y=x 与直线 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是( A ) A.S=?1(x-x )dx
2

?0 ?0

B.S=?1(x -x)dx

2

?0 ?0

C.S=?1(y -y)dy 解析:由图象可得 S=?1(x-x )dx.
2

2

D.S=?1(y- y)dy

?0

第 3 题图

第 4 题图 D )

2 4.曲线 y= 与直线 y=x-1 及直线 x=4 所围成的封闭图形的面积为(

x

A.2ln 2 C.4-ln 2

B.2-ln 2 D.4-2ln 2

2 解析:由曲线 y= 与直线 y=x-1 及 x=4 所围成的封闭图形,如图中阴影部分所示,

x

1

故所求图形的面积为

S=?4?x-1- ?dx=( x2-x-2ln x)|2 =4-2ln 2. x? 2 ??
4 2

?

2?

1

x ,x∈[0,1], ? ? 5.设 f(x)=?1 ,x∈?1,e] ? ?x
( A ) 4 A. 3 1 C. 2

2

(其中 e 为自然对数的底数),则?ef(x)dx 的值为

?0

1 B. π π -2 D. π
2

解析: 根据定积分的运算法则, 可知?ef(x)dx 可以分为两段, 即?ef(x)dx=?1x dx+?e

?0

?0

?0

?1

1

1 3 1 e dx= x |0 +ln x|1 x 3 1 4 = +1= ,故选 A. 3 3 6.如图,设 D 是图中所示的矩形区域,E 是 D 内函数 y=cos x 图象上方的点构成的区 域(阴影部分),向 D 中随机投一点,则该点落入 E 中的概率为( D )

2 A. π 1 C. 2

1 B. π π -2 D. π

解析:因为

?2 cos x dx=sin x? ? ?0

π

=1,

π -1×2 π -2 故所求概率为 = . π π 二、填空题 7. (cos x-sin x)dx=0.

解析:

?2 (cos x-sin x)dx=sin x+cos x? ? ?0

π

=0.

2

1 e +1 8.若函数 f(x)=x+ ,则?ef(x)dx= . x 2 ?
1 2 ? 1? ?x ? e e +1. 解析:?e?x+ ?dx=? +ln x?|1 = 2 ?2 ? ? ? x? 1 2

2

π 9.由曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面图形(图中的阴影部 2 分)的面积是 2 2-2.

解析:由图可得阴影部分面积 S=2

?4 (cos x-sin x)dx=2(sin x+cos x)? ? ?0

π



2( 2-1). 三、解答题 10.求下列定积分. 1? 2 ? x (1)?2?x-x + ?dx;(2)?0 (cos x+e )dx.

?1?

x?

?-π

1? 1 x2 2 x3 2 3 7 2 2 ? 2 解析:(1)?2?x-x + ?dx=?2x dx-?2x dx+?2 dx= |1 - |1 +ln x|1 = - + x? 2 3 2 3 ?? ? ? ?x
1 1 1 1

5 ln 2=ln 2- . 6 (2)?0 (cos x+e )dx=?0 cos xdx+?0 e dx
x x

?-π

?-π

? -π

1 0 x 0 =sin x|-π +e |-π =1- π . e 11.已知函数 f(x)=x -x +x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x)=x 围成的图 形的面积. 解析:∵(1,2)为曲线 f(x)=x -x +x+1 上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为 k, 则
3 2 3 2 2

k=f′(1)=(3x2-2x+1)|x=1=2,
∴在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x,y=2x 与函数 g(x)=x 围成的 图形如图.
2

3

?y=x , ? 由? ?y=2x ?

2

可得交点 A(2,4).
2

∴y=2x 与函数 g(x)=x 围成的图形的面积

S=?2(2x-x2)dx

?0

8 4 ? 2 1 3? 2 =?x - x ?|0 =4- = . 3 ? 3 3 ? 12. 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c, 直线 l1: x=2, 直线 l2: y=-t +8t(其中 0≤t≤2,
2 2

t 为常数),若直线 l1,l2 与函数 f(x)的图象以及 l2,y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封闭
图形(阴影部分)如图所示. (1)求 a,b,c 的值; (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式.

解析:(1)由图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且 f(x)的最大值为 16,则

c=0, ? ?a·8 +b·8+c=0, ?4ac-b ? ? 4a =16,
2 2

a=-1, ? ? 解得?b=8, ? ?c=0,

(2)由(1)知,函数 f(x)的解析式为

f(x)=-x2+8x.
? ?y=-t +8t, 由? 2 ?y=-x +8x, ?
2

得 x -8x-t(t-8)=0,

2

∴x1=t,x2=8-t. ∵0≤t≤2,∴直线 l2 与 f(x)的图象位于 l1 左侧的交点坐标为(t,-t +8t),由定积 分的几何意义知:
2

S(t) = ?t [( - t2 + 8t) - ( - x2 + 8x)]dx + ?2 [( - x2 + 8x) - ( - t2 + 8t)]dx =

?0

?t

4

4 3 2? ??-t2+8t?x-?-x +4x2?? |t ?? x ? 2 2 2 ? ? 3 ?? 0 + ??- 3 +4x ?-?-t +8t?x? |t =- 3 t + 10t - 16t ? ? ?? ?? ? ? 40 + . 3

3

3

5


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