当前位置:首页 >> >>

人教版高中数学竞赛讲座:抽屉原则

竞赛讲座 10 --抽屉原则 大家知道,两个抽屉要放置三只苹果,那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里, 更一般地说,只要被放置的苹果数比抽屉数目大,就一定会有两只或更多只的苹果 放进同一个抽屉,可不要小看这一简单事实,它包含着一个重要而又十分基本的原 则——抽屉原则. 1. 抽屉原则有几种最常见的形式 原则 1 如果把 n+k(k≥1)个物体放进 n 只抽屉里,则至少有一只抽屉要放进两个或 更多个物体: 原则本身十分浅显,为了加深对它的认识,我们还是运用反证法给予证明;如果每 个抽屉至多只能放进一个物体, 那么物体的总数至多是 n, 而不是题设的 n+k(k≥1), 这不可能. 原则虽简单.巧妙地运用原则却可十分便利地解决一些看上去相当复杂、 甚至感到无 从下手的总是,比如说,我们可以断言在我国至少有两个人出生的时间相差不超过 4 秒钟,这是个惊人的结论,该是经过很多人的艰苦劳动,统计所得的吧!不,只 须我们稍动手算一下: 不妨假设人的寿命不超过 4 万天(约 110 岁,超过这个年龄数的人为数甚少),则 10 亿人口安排在 8 亿 6 千 4 百万个“抽屉”里,根据原则 1,即知结论成立. 下面我们再举一个例子: 例1 幼儿园买来了不少白兔、 熊猫、 长颈鹿塑料玩具, 每个小朋友任意选择两件, 那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道 理. 解 从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种: (兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊猫),(熊猫、长颈鹿), (长颈鹿、长颈鹿) 把每种搭配方式看作一个抽屉,把 7 个小朋友看作物体,那么根据原则 1,至少有 两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式, 选的玩具相同. 原则 2 如果把 mn+k(k≥1)个物体放进 n 个抽屉, 则至少有 一个抽屉至多放进 m+1 个物体.证明同原则相仿.若每个抽 屉至多放进 m 个物体,那么 n 个抽屉至多放进 mn 个物体, 与题设不符,故不可能. 原则 1 可看作原则 2 的物例(m=1) 例 2 正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有 三个面颜色相同. 证明把两种颜色当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么 6=2×2+2,根据原 则二,至少有三个面涂上相同的颜色. 例 3 把 1 到 10 的自然数摆成一个圆圈,证明一定存在在个相邻的数,它们的和数 大于 17. 证明 如图 12-1,设 a1,a2,a3,?,a9,a10 分别代表不超过 10 的十个自然数,它 们围成一个圈,三个相邻的数的组成是(a1,a2,a3),(a2,a3,a4),(a3,a4, a5),?,(a9,a10,a1),(a10,a1,a2)共十组.现把它们看作十个抽屉,每个抽屉 的物体数是 a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,?a9+a10+a1,a10+a1+a2,由于 (a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+?+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2) =3(a1+a2+?+a9+a10) =3×(1+2+?+9+10) 根据原则 2,至少有一个括号内的三数和不少于 17,即至少有三个相邻的数的和不小 于 17. 原则 1、原则 2 可归结到期更一般形式: 原则 3 把 m1+m2+?+mn+k(k≥1)个物体放入 n 个抽屉里,那么或在第一个抽屉里至少 放入 m1+1 个物体,或在第二个抽屉里至少放入 m2+1 个物体,??,或在第 n 个抽屉 里至少放入 mn+1 个物体. 证明假定第一个抽屉放入物体的数不超过 m1 个,第二个抽屉放入物体的数不超过 m2 个,??,第 n 个抽屉放入物体的个数不超过 mn,那么放入所有抽屉的物体总数不 超过 m1+m2+?+mn 个,与题设矛盾. 例 4 有红袜 2 双,白袜 3 双,黑袜 4 双,黄袜 5 双,蓝袜 6 双(每双袜子包装在一 起)若取出 9 双,证明其中必有黑袜或黄袜 2 双. 证明 除可能取出红袜、白袜 3 双外.还至少从其它三种颜色的袜子里取出 4 双,根 据原理 3,必在黑袜或黄袜、蓝袜里取 2 双. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题,不错,这正是 抽屉原则的主要作用.需要说明的是, 运用抽屉原则只是肯定了“存在”、 “总有”、 “至少有”,却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少. 2. 制造抽屉是运用原则的一大关键 首先要指出的是,对于同一问题,常可依据情况,从不同角度设计抽屉,从而导致 不同的制造抽屉的方式. 例 5 在边长为 1 的正方形内,任意给定 13 个点,试证:其中必有 4 个点,以此 4 点为顶点的四边开面积不超过 (假定四点在一直线上构成面积为零的四边形). 证明如图 12-2 把正方形分成四个相同的小正方形. 因 13=3×4+1,根据原则 2,总有 4 点落在同一个小正方形内(或边界上),以此 4 点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积, 也就不超过整个正方形面积的 . 事实上,由于解决问题的核心在于将正方形分割成四个面积相等的部分,所以还可 以把正方形按图 12-3(此处无图)所示的形式分割. 合理地制造抽屉必须建立在充分考虑问题自身特点的基础上. 例 6 在一条笔直的马路旁种树,从起点起,每隔一米种一棵树,如果把三块“爱护 树木”的小牌分别挂在三棵树上,那么不管怎样挂,至少有两棵挂牌的树之间的距 离是偶数(以米为单位),这是为什么? 解如图 12-4(设挂牌的三棵树依次为 A、B、C.AB=a,BC=b,若 a、b 中有一为偶数, 命题得证.否则 a、b 均为奇数,则 AC=a+b 为偶数,命题得证. 下面我们换一个角度考虑:给每棵树上编上号, 于是两棵树之间的距离就是号码差, 由于树的号码只能为奇数和偶数两类,那么挂牌的三棵树号码至少有两个同为奇数 或偶数,它们的

更多相关标签: