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高中数学人教A版选修2-1同步练习:2.2.1-椭圆及其标准方程(含答案)

2.2.1 椭圆及其标准方程 一、选择题 1.设 F1,F2 为定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 C.圆 [答案] D [解析] ∵|MF1|+|MF2|=6,|F1F2|=6, ∴|MF1|+|MF2|=|F1F2|, ∴点 M 的轨迹是线段 F1F2. x2 y2 2.椭圆 + =1 的焦距是 2,则 m 的值是( m 4 A.5 C.3 或 5 [答案] C [解析] 2c=2,c=1,故有 m-4=1 或 4-m=1, ∴m=5 或 m=3,故选 C. 3.椭圆 ax2+by2+ab=0(a<b<0)的焦点坐标是( A.(± a-b,0) C.(0,± a-b) [答案] D x2 y2 [解析] ax2+by2+ab=0 可化为 + =1, -b -a ∵a<b<0,∴-a>-b>0, ∴焦点在 y 轴上,c= -a+b= b-a, ∴焦点坐标为(0,± b-a). 4.(2014· 长春市高二期末调研)中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 18,且两个焦点恰好将长轴三等 分的椭圆的方程是( x2 y2 A. + =1 81 45 x2 y2 C. + =1 81 72 [答案] C 1 [解析] 由长轴长为 18 知 a=9,∵两个焦点将长轴长三等分,∴2c= (2a)=6,∴c=3,∴b2=a2-c2 3 ) x2 y2 B. + =1 81 9 x2 y2 D. + =1 81 36 ) ) B.直线 D.线段 ) B.3 或 8 D.20 B.(± b-a,0) D.(0,± b-a) =72,故选 C. x2 y2 5.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若 P、F1、F2 是一个直角三角形 16 9 的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( 9 A. 5 9 7 C. 7 [答案] D [解析] a2=16,b2=9?c2=7?c= 7. ∵△PF1F2 为直角三角形.且 b=3> 7=c. ∴F1 或 F2 为直角三角形的直角顶点, ∴点 P 的横坐标为± 7, 7 y2 81 9 设 P(± 7,|y|),把 x=± 7代入椭圆方程,知 + =1?y2= ?|y|= . 16 9 16 4 6.(2014· 洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F( 15,0),直线 y=x 与椭圆的一个交点的 横坐标为 2,则椭圆方程为( x A. +y2=1 16 x2 y2 C. + =1 20 5 [答案] C [解析] 由椭圆过点(2,2),排除 A、B、D,选 C. 二、填空题 7.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆与 x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为 3 和 1, 则椭圆的标准方程为________. [答案] x2 y2 + =1 4 3 2 ) B.3 9 D. 4 ) y2 B.x2+ =1 16 x2 y2 D. + =1 5 20 ? ? ?a+c=3, ?a=2, [解析] 由题意可得? ∴? ?a-c=1. ? ? ?c=1. x2 y2 故 b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为 + =1. 4 3 x2 y2 8.如图所示,F1,F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 a b 是面积为 3的正三角形,则 b2=________________. [答案] 2 3 [解析] 由题意 S△POF2= 3 2 c = 3,∴c=2,∴a2=b2+4. 4 上 , △ POF2 x2 y2 ∴点 P 坐标为(1, 3),把 x=1,y= 3代入椭圆方程 2 + 2=1 中得, b +4 b 1 3 + 2=1,解得 b2=2 3. b b +4 2 三、解答题 9.已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程. x2 y2 9 0 [解析] 当焦点在 x 轴上时, 设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). 由椭圆过点 P(3,0), 知 2+ 2=1, 又 a=3b, a b a b x2 2 解得 b =1,a =9,故椭圆的方程为 +y =1. 9 2 2 y2 x2 当焦点在 y 轴上时,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 0 9 y2 x2 2 2 由椭圆过点 P(3,0),知 2+ 2=1,又 a=3b,联立解得 a =81,b =9,故椭圆的方程为 + =1. a b 81 9 y2 x2 x2 2 故椭圆的标准方程为 + =1 或 +y =1. 81 9 9 1 1 10.已知点 A(- ,0),B 是圆 F:(x- ) 2+y2=4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 2 2 P,求动点 P 的轨迹方程. [解析] 如图所示,由题意知, |PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2, ∴|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|>|AF|, ∴动点 P 的轨迹是以 A、F 为焦点的椭圆, 1 3 ∴a=1,c= ,b2= . 2 4 y2 4 ∴动点 P 的轨迹方程为 x2+ =1,即 x2+ y2=1. 3 3 4 一、选择题 x2 y2 11.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( |m|-1 2-m A.m<2 C.m<-1 或 1<m<2 B.1<m<2 3 D.m<-1 或 1<m< 2 ) [答案] D |m|-1>0, ? ? [解析] 由题意得?2-m>0, ? ?2-m>|m|-1. m>1或m<-1, ? ?m<2, 即? 3 ? ?m<2. 3 ∴1<m< 或 m<-1,故选 D. 2 [点评] 解答本题应注意,方程表示椭圆,分母应取正值,焦点在 y 轴上,含 y2 项的分母较大,二者缺 一不可. 12.若△ABC 的两个焦点坐标为 A(-4,0)、B(4,

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