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江苏省江都市大桥高中2013届高三下学期开学考试数学试题及答案

江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试
数学试题

一、填空题
1.平面上有相异 10 个点,每两点连线可确定的直线的条数是每三点为顶点所确定的三角形个数的 ? , ?
若无任意四点共线,则这 10 个点的连线中有且只有三点共线的直线的条数为__________条.
2.已知 a ? 0 ,将 a a a 化为分数指数幂的形式为_________________.
3.已知错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。______________. 4.如果 x-1+yi, 与 i-3x 是共轭复数则实数 x 与 y 分别是______.
5.已知抛物线 y 2 ? 4x, 焦点为 F , A(2,2) , P 为抛物线上的点,则 PA ? PF 的最小值为____

6.若 z ? 3 ? 4i ? 2 ,则 z 的最大值是

7. f (x) 的定义域为 R,若存在常数 M ? 0 ,使| f (x) |? M | x |对一切实数 x 均成立,则称 f (x) 为

F 函数。现给出下列函数:

① f (x) ? 2x;

② f (x) ? x2 ?1;

③ f (x) ?

2(sin x ? cos x) ;



f (x) ?

x2

x; ? x ?1

⑤ f (x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且对一切 x1, x2,均有 | f (x1) ? f (x2) |? 2 | x1 ? x2 |

其中是 F 函数的函数有

y ? 2 sin?? 2x ? ? ??

8.函数

? 3 ? 的单调递增区间为____________。

9.圆心为 C(3,-5),且与直线 x-7y + 2 = 0 相切的圆的方程为



10. log x ( 2 ?1) ? ?1,则 x=

11. cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? =

12.

F1

,

F2

分别是双曲线

x2 16

?

y2 9

? 1 的左、右焦点,P

为双曲线右支上一点,I

是 ?PF1F2 的内心,

S 且 ?IPF2 ? S?IPF1 ? ?S?IF1F2 ,则 ? = _________.
13.将二进制数 101 101(2) 化为八进制数,结果为____________.

14.命题 p : 4x ?3 ?1,命题 q : x2 ? (2a ? 1)x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ?p是?q 的必要不 充分条件,则 a ?
二、解答题
15.已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F ,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线交抛物线于 A , B 两点, 抛物线在 A 、 B 两点处的切线交于点 M .
(Ⅰ)求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)设直线 MF 交该抛物线于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.
16.将曲线 xy ? 1绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,求所得曲线的方程.

r

r

rr

m?R

a ? (mx, y ?1)

b ? (x, y ?1) a ? b

17 . 设

,在平面直角坐标系中,已知向量

,向量

,

,动点

M (x, y)
的轨迹为 E.

(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

P m?1

Q

4

(2)点 为当

时轨迹 E 上的任意一点,定点 的坐标为(3,0),

uuur uuur

N PN ? 2NQ

N

点 满足

,试求点 的轨迹方程。

18.已知不等式 mx2 ? nx ? 1 ? 0 的解为{x | x ? ? 1 或 x ? 2}

m

2

求 m, n 的值

解关于 x 的不等式: (2a ?1? x)(x ? m) ? 0 ,其中 a 是实数

? ? ? ? 19.设全集是实数集 R ,集合 A ? x 2 ? 4 x ? 64,x ? R ,集合 B ? x x2 ? a ? 0, x ? R ,
(1) 当 a ? ?4 时 ,求 A ? B ;
(2) 若(CR A) ? B ? B,求实数 a 的取值范围.
20.有一个 3×4×5 的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成 60 个 1×1×1 的小
正方体,从这些小正方体中随机地任取 1 个,设小正方体涂上颜色的面数为? . (1)求? ? 0 的概率; (2)求? 的分布列和数学期望.

1.3
7
2. a 8 3. ?22

参考答案

4.

5.3

6.7

7.①④⑤

8.

???k?

?

? 12

, k?

?

5? 12

???, k

?

z

(x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 32
9.

10. 2 ?1

11. 2

12. 4 5

13.55(8)

14.

???0,

1 2

? ??

15. 解(Ⅰ)由已知,得 F (0,1) ,显然直线 AB 的斜率存在且不为 0,

则可设直线 AB 的方程为 y ? kx ?1( k ? 0 ), A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,



? ?

x2

?

4 y,

消去

y

,得

x2

?

4kx

?4

?

0

,显然 ?

? 16k 2

?16

?

0.

? y ? kx ?1

所以 x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4 . ………………………………………………2 分

由 x2 ? 4 y ,得 y ? 1 x2 ,所以 y' ? 1 x ,

4

2

所以,直线 AM

的斜率为 kAM

?

1 2

x1 ,

所以,直线

AM

的方程为

y

?

y1

?

1 2

x1(x

?

x1) ,又

x12

?

4 y1 ,

所以,直线 AM 的方程为 x1x ? 2( y ? y1) ①.………………………………4 分 同理,直线 BM 的方程为 x2 x ? 2( y ? y2 ) ②.………………………………5 分

②-①并据

x1

?

x2

得点

M

的横坐标

x

?

x1

? 2

x2



即 A , M , B 三点的横坐标成等差数列. ……………………7 分 (Ⅱ)由①②易得 y=-1,所以点 M 的坐标为(2k,-1)( k ? 0 ).

所以 kMF

?

2 ?2k

?

?1 k



则直线 MF 的方程为 y ? ? 1 x ?1, k

…………………………………………8 分

设 C(x3,y3),D(x4,y4)



? ? ? ??

y

x2 ? 4y, ??1 x?
k

1

消去

y

,得

x2

?

4 k

x

?

4

?

0

,显然

?

?

16 k2

?16

?

0



所以

x3

?

x4

?

?

4 k



x3 x4

?

?4 .

…………………………………………9 分

又 | AB |? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (1? k 2 )(x1 ? x2 )2

? (1? k 2 )[(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ] ? 4(k 2 ?1) .…………10 分

| CD |?

(x3 ? x4 )2 ? ( y3 ? y4 )2 ?

(1

?

1 k2

)( x3

?

x4

)2

?

(1 ?

1 k2

)[( x3

?

x4 )2

?

4x3x4 ]

?

4(

1 k2

?1) .……………12



因为 kMF ? kAB ? ?1,所以 AB ? CD ,

所以,

S ACBD

?

1 2

|

AB

|?|

CD |?

1 8( k 2

?1)(k 2

?1)

?

8(k 2

?

1 k2

?

2)

?

32 ,

当且仅当 k ? ?1时,四边形 ACBD 面积的取到最小值 32 .……………………14 分

16.



:由题意,得旋转变换矩阵 M

cos 45o ?[

sin 45o

?2

?

sin

45o ]

?

? ?

2

cos 45o ? 2

?

?2

?

2?

2

? ?



2?

2 ??

?2

? 设 xy ? 1上的任意点 P?(x?, y?) 在变换矩阵 M 作用下为 P(x, y) , ?

2

?2

?? 2

?

2?

2 2

? ? ?

? ? ?

x?? y???

?

? ? ?

x? y ??



2 ??

?



?? ?

x

?

2 x? ? 2

2 y?, 2

? ??

y

?

2 x? ? 2

2 y?. 2

得 y2 ? x2 ?1. 22

将曲线 xy ? 1绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,所得曲线的方程为 y2 ? x2 ? 1. 22

17.

y ? ?1

(1) 当 m=0 时,方程表示两直线,方程为

;

m ?1



时, 方程表示的是圆

m?0 m?1





时,方程表示的是椭圆

(3x ? 6)2 ? 9 y2 ? 1

(2)

4

r rr

r

a ? b a ? (mx, y ?1) b ? (x, y ?1)

解:(1)因为

,

,

,

rr

a ? b ? mx2 ? y2 ?1 ? 0

所以

,

mx2 ? y2 ? 1



. w.w.w..c.o.m

y ? ?1

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为

;

m ?1



时, 方程表示的是圆

m?0 m?1





时,方程表示的是椭圆;

m?0



时,方程表示的是双曲线.

(2)设 N (x, y), P(x?, y? )

uuur

uuur

PN ? (x ? x?, y ? y? ), NQ ? (3 ? x, ? y)

(x ? x?, y ? y? ) ? 2(3 ? x, ? y)

x ? x? ? 6 ? 2x

y ? y? ? ?2 y,

x? ? 3x ? 6, y? ? 3y

,



m


?

1 4

时,轨迹

E



x2 4

?

y2

?1
,点

P( x? ,

y? )代入椭圆方程,得

(3x

? 4

6)2

? 9 y2

?1

N

(3x ? 6)2 ? 9 y2 ? 1

所以点 的轨迹方程为 4



18.
(1) m ? ?1, n ? 3 2
(2) (1)当 2a ?1?1即 a ?1 时,原不等式的解为 2a ?1? x ?1;

(2)当 2a ?1 ?1即 a ?1时,原不等式的解为? ;

(3)当 2a ?1 ?1即 a ?1时,原不等式的解为1? x ? 2a ?1

?

?m ? 0

解:(1)依题意

???? ?

1 2

?

2

?

?

n m

??? ?

1 2

?

2

?

?

1 m2

……3 分

得 m ? ?1, n ? 3 ……4 分 2

(2)原不等式为 (2a ?1? x)(x ?1) ? 0 即[x ? (2a ?1)](x ?1) ? 0
(1)当 2a ?1?1即 a ?1 时,原不等式的解为 2a ?1? x ?1;……6 分 (2)当 2a ?1 ?1即 a ?1时,原不等式的解为? ;……8 分
(3)当 2a ?1 ?1即 a ?1时,原不等式的解为1? x ? 2a ?1……10 分
19.(1)(-2,3) (2)

20.(1) 1 ;(2) 47 .

10

30

解 :( 1 ) 60 个 1×1×1 的 小 正 方 体 中 , 没 有 涂 上 颜 色 的 有 6

P(? ? 0) ? 6 ? 1 60 10
(2)由(1)可知

… (3 分)

P(?

?

0)

?

6 60

?

1 10



P(?

?

1)

?

11 30



P(?

?

2)

?

2 5



P(?

?

3)

?

2 15

分布列

… (7 分)

个,

?

0

1

2

3

p

1

11

2

10

30

5

… (10 分)

E ? =0× 1 +1× 11 +2× 2 +3× 2 = 47 10 30 5 15 30

2 15
…(12 分)


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