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朝阳区2009~2010学年度高三年 级第二学期统一考试(二)

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朝阳区 2009~2010 学年度高三年级第二学期统一考试(二)

数学学科测试(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分

2010.5

第 I 卷(选择题 共 40 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时,将试 题卷和答题卡一并交回。 2.每小 题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项 是符合题目要求的. (1)已知集合 A = { x ? (A) {- 4, - 2,0,1}

x- 1 2

- 2 } , B = { - 4, - 2, 0, 1 } ,则 A I B 等于
(C) {- 4} (D) ?

(B) {- 2, 0,1}

(2)已知向量 a = (1, 2) , b = (- 3, 2) ,如果 ka + b 与 a - 3b 垂直,那么实数 k 的值为 (A) ?19 (B) ?

1 3

(C)

11 9

(D) 19

(3)一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 (A) 112 (B) 80 (C) 72 开 始 3 n=1,x=a 4 4 正视图 侧视图 否 输出 x

(D) 64

n=n+1

n≤4


x=2x+1

4 俯视图 环球网校——中国职业教育领导者品牌 (第 3 题图) http://www.edu24ol.com/

结 束 缚
1

(第 4 题图)

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(4)某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 x 值为 31,则 a 等于 (A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

(5)已知平面 a , b ,直线 l ^ a ,直线 m ? b ,有下面四个命题:
① a ∥b ③

? l^ m

② ④

a ^ b ? l ∥m
l ^ m ? a ∥b
(D)②与④

l ∥m ? a ^ b
(A)①与②
2

其中正确的命题是 (B)③与④
x

(C)① 与③

(6)函数 f ( x) = ( x - 2 x)e 的图象大致是

(A) (7)已知椭圆

(B)

(C)

(D)

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , A 是椭圆长 轴的一个端点, B 是椭圆短轴的一个 a 2 b2

端点, F 为椭圆的一个焦点. 若 AB ? BF ,则该椭圆的离心率为 (A)

5 ?1 2 5 ?1 4
2 2 2

(B)

5 ?1 2 5 ?1 4

(C)

(D)

(8)已知函数 f ( x) = (1- a ) x - 2bx + b ( - 1 < b - 1 < a ). 用 card ( A) 表示集合 A 中元素的个数, 若使得 f ( x) > 0 成立的充分必要条件是 x ? A , 且c a r dA( I Z ) = 4 , 则实数 a 的取值范围是 (A) (- 1, 2) (C) (2, 3) (B) (1, 2) (D) (3, 4)

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2

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第 II 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

ì x ≥ 0, ? ? ? (9)不等式组 í x - y - 1 ≥ 0, 所表示的平面区域的面积等于 ? ? ? ? ? 3x - 2 y - 6 ≤ 0
(10)已知圆 C : ? í

.

ì ? x = 4 + cos q ( q 为参数) ,直线 l : x - 2 y + 3 = 0 , ? ? ? y = 3 + sin q
.
A C B P

则圆心 C 到直线 l 的距离为

(11)如右图,从圆 O 外一点 P 引两条直线分别交圆 O 于点 A、B ,

C、D ,且 PA = AB , PC = 5 , CD = 9 ,则 AB 的长等
于 (12)如果 ( x + .

O
D

1 n ) 展开式中,第四项与第六项的系数相等,则 x

,展开式中的常数项的值等于 . (13) 上海世博园中的世博轴是一条 1000 m 长的直线型通道, 中国馆位于世博轴的一侧 (如 下图所示). 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的 视角为 120 . 据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是
?

n =

m.

B
120?

·

A 中国馆

世博轴 C (14)已知数列 {an } 为等差数列,若 am = a , an = b ( n - m ≥1 , m, n ? N ) ,则
*

am+ n =

nb - ma . 类比等差数列 {an } 的上述结论,对于等比数列 {bn } ( bn > 0 , n- m

n ? N* ) 若 bm = c , bn = d ( n - m ≥ 2 , m, n ? N* ), 则 可 以 得 到
bm + n =
.
3

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
6

).

2? ] 时,求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 的值. 3

(16)(本小题满分 13 分) 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,今从袋子里随机取球. (Ⅰ)若有放回地取 3 次,每次取 1 个球,求取出 1 个红球 2 个黑球的概率; (Ⅱ)若无放回地取 3 次,每次取 1 个球, ①求在前 2 次都取出红球的条件下,第 3 次取出黑球的概率; ②求取出的红球数 X 的分布列和均值(即数学期望).

(17)(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,其他四个侧面都是等边三角 形, AC 与 BD 的交点为 O , E 为侧棱 SC 上一点. (Ⅰ)当 E 为侧棱 SC 的中点时,求证: SA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 SAC ; (Ⅲ)当二面角 E ? BD ? C 的大小为 45? 时, 试判断点 E 在 SC 上的位置,并说明理由. A D O B C E S

(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x 2 ?

2ax , ( a ? R, e 为自然对数的底数) . e

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的递增区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,过点 P(0, t ) (t ? R) 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线,设两切点为
4

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P 2 ( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,求证: x1 + x2 = 0 . 1 ( x1 , f ( x1 )) , P

(19)(本小题满分 13 分) 已知动点 M 到点 F (1, 0) 的距离,等于它到直线 x ? ?1 的距离. (Ⅰ) 求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ )过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1 , l2 ,分别交曲线 C 于点 A, B 和 M , N .设线 段 AB , MN 的中点分别为 P, Q ,求证:直线 PQ 恒过一个定点; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 ?FPQ 面积的最小 值.

(20)(本小题满分 14 分)

a1 ? 1 , 0 Sn ? ( 2 an1 ) (? a 2 ) 已知 ? an ? 是递增数列, 其前 n 项和为 S n , 且1 n ?
(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项 an ;

n?N . ,
*

(Ⅱ)是否存在 m, n, k ? N ,使得 2(am ? an ) ? ak 成立?若存在,写出一组符合条件
*

的 m, n, k 的值;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)设 bn ? an ?

2(n ? 3)an n?3 * , cn ? ,若对于任意的 n ? N ,不等式 2 5n ? 1

5m 1 ? ≤ 0 恒成立,求正整数 m 的最大值. 1 1 1 c ? n ? 1 n ? 1 31(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn

(考生务必将所有题目的答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

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数学学科测试答案 (理工类)
一、选择题:
题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 C 6 A 7 B

2010.5

8 B

二、填空题:
题号 9 10 11 12 13 14
n- m

答案

4

5 5

35

8

70

1000 3 3

d m c

n

三、解答题: (15)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ?

?
6

)

? sin 2 x ? (cos 2 x cos

?

? sin 2 x sin ) 6 6

?

3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? 3 sin(2 x ? ) , 6
所以 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?

?

6

).

????5 分 ????7 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 2k p -

p p p ≤ 2x ≤ 2k p + ( k 2 6 2 p p k p - ≤ x ≤ k p + ( k Z) . 6 3

Z) 得,

又因为 x ?[0,

?],
?
3 ] 和[ 5? , ? ] .????13 分 6

所以函数 f ( x) 在 [0, p ] 上的递增区间为 [0,

(16)(本小题满分 13 分) 解: (1)记“取出 1 个红球 2 个黑球”为事件 A,根据题意有

4 144 1 3 ; P( A) ? C3 ( ) ? ( )2 ? 7 7 343
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答:取出 1 个红球 2 个黑球的概率是

144 . 343

????4 分

(2)①方法一:记“在前 2 次都取出红球”为事件 B, “第 3 次取出黑球”为事件 C, 则

4 P( BC ) 35 4 3? 2 1 3? 2 ? 4 4 ? ? . P( B) ? ? , P( BC ) ? ? ,所以 P(C | B) ? 1 5 7?6 7 7 ? 6 ? 5 35 P( B) 7
方法二: P(C | B) ?

n( BC ) 3 ? 2 ? 4 4 ? ? . n( B ) 3? 2 ? 5 5
4 . ????7 分 5

答:在前 2 次都取出红球的条件下,第 3 次取出黑球的概率是 ②随机变量 X 的所有取值为 0, 1, 2, 3 .

P ( X ? 0) ?

3 3 2 1 3 C4 ? A3 C4 C3 ? A3 4 18 ? P ( X ? 1) ? ? , , 3 3 A7 35 A7 35 1 2 3 3 3 C4 C3 ? A3 C3 ? A3 12 1 ? P ( X ? 3) ? ? , . 3 3 A7 35 A7 35

P( X ? 2) ?

X
P

0
4 35

1
18 35

2
12 35

3
1 35

4 18 12 1 45 9 所以 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? . 35 35 35 35 35 7
(17)(本小题满分 14 分) 解法一: 证明: (Ⅰ)连接 OE ,由条件可得 SA ∥ OE .

源:Z+xx+k.Com]

????13 分 S

E 因为 SA ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 SA ∥平面 BDE . ????4 分 D O B C

(Ⅱ)由已知可得, SB ? SD , O 是 BD 中点, 所以 BD ^ SO , A

又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BD ^ AC . 因为 AC ? SO ? O ,所以 BD ? 面SAC . 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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又因为 BD ? 面BDE ,所以平面 BDE ? 平面 SAC . (Ⅲ)解:连接 OE ,由(Ⅱ)知 BD ? 面SAC . 而 OE ? 面SAC , 所以 BD ? OE . 又 BD ? AC . 所以 ?EOC 是二面角 E ? BD ? C 的平面角,即 ?EOC ? 45? . 设四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 2, 在 ?SAC 中, SA ? SC ? 2 , AC ? 2 2 , 所以 SO ?

????8 分

2,

1 又因为 OC ? AC ? 2 , SO ? OC , 2
所以 ?SOC 是等腰直角三角形. 由 ?EOC ? 45? 可知,点 E 是 SC 的中点. ????14 分 解法二: (Ⅰ)同解法一 ????4 分 D

z S

E

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 SO ? 面ABCD , AC ? BD . 建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 2, 则 O(0, 0, 0) , S (0, 0, x A

C O B y

2) , A

? ?

2, 0, 0 , B 0,

?

?

2, 0 , C ? 2, 0, 0 ,

?

?

?

D 0, ? 2, 0 .
所以 AC ? ?2 2, 0, 0 , BD ? 0, ? 2 2, 0 . 设 CE ? a ( 0 ? a ? 2 ) ,由已知可求得 ?ECO ? 45? . 所以 E (? 2 ?

?

?

????

?

?

??? ?

?

2 a, 0, 2

??? ? 2 2 a) , BE ? (? 2 ? a, ? 2, 2 2

2 a) . 2

设平面 BDE 法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ? y ? 0, ? ? ?n ? BD ? 0, 则 ? ??? 即? ? 2 2 a) x ? 2 y ? az ? 0. ? ?( ? 2 ? ? n ? BE ? 0 ? 2 2
令 z ? 1,得 n ? (

a , 0, 1) . 2?a
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??? ? 易知 BD ? 0, ? 2 2, 0 是平面 SAC 的法向量.

?

?

因为 n ? BD ? (

??? ?

a , 0, 1) ? (0, ? 2 2, 0) ? 0 , 2?a
????8 分

所以 n ? BD ,所以平面 BDE ? 平面 SAC . (Ⅲ)解:设 CE ? a ( 0 ? a ? 2 ) ,由(Ⅱ)可知, 平面 BDE 法向量为 n ? (

??? ?

a , 0, 1) . 2?a

因为 SO ? 底面ABCD , 所以 OS ? (0, 0,

??? ?

2) 是平面 SAC 的一个法向量.

由已知二面角 E ? BD ? C 的大小为 45? . 所以 cos?OS , n? ? cos 45? ?

??? ?

2 , 2

所以

2 ( a 2 ) ?1 ? 2 2?a

?

2 ,解得 a ? 1 . 2
????14 分

所以点 E 是 SC 的中点. (18)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域是 (??, 0) ? (0, ? ?) .

2 2a 2(e ? ax) . ? ? x e ex 2 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? ? 0 ,解得 x ? 0 ; x 2(e ? ax) e 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? ? 0 ,解得 0 ? x ? ; ex a 2(e ? ax) e 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? ? 0 ,解得 x ? 0 ,或 x ? . ex a f ?( x) ?
所以当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (0, ? ?) ;

e ); a e 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (??, ) , (0, ? ?) . a 2 2 2(e ? x) (Ⅱ)因为 f ?( x) ? ? ? , x e ex
当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的递增区间是 (0, 环球网校——中国职业教育领导者品牌

????8 分

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所以以 P 1 ( x1 , f ( x1 )) 为切点的切线的斜率为

2(e ? x1 ) ; ex1

以 P2 ( x2 , f ( x2 )) 为切点的切线的斜率为 又因为切线过点 P(0, t ) , 所以 t ? ln x12 ?

2(e ? x2 ) . ex2

2 x1 2(e ? x1 ) ? (0 ? x1 ) ; e ex1

t ? ln x2 2 ?

2 x2 2(e ? x2 ) ? (0 ? x2 ) . e ex2

解得, x12 ? et ? 2 , x2 2 ? et ? 2 . 则 x12 ? x2 2 . 由已知 x1 ? x2 所以, x1 + x2 = 0 . (19)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 由题意得, ( x ? 1) ? y ?| x ? 1| ,

???????????13 分

化简得 y ? 4 x ,
2

所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x .??4 分
2

(Ⅱ)设 A, B 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则点 P 的坐标为 ( 由题意可设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) , 由?

x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

? y 2 ? 4 x, ? y ? k ( x ? 1),
2 2

得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 .
2 2 2 2
4 2

D = (2k + 4) - 4k = 16k + 16 > 0 .
因为直线 l1 与曲线 C 于 A, B 两点, 所以 x1 ? x2 ? 2 ?

4 4 ,y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? . 2 k k

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2 2 , ). k2 k 1 2 由题知,直线 l 2 的斜率为 ? ,同理可得点 Q 的坐标为 (1 ? 2k , ?2k ) . k 2 当 k ? ?1 时,有 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 ,此时直线 PQ 的斜率 k 2 ? 2k k k . k PQ ? ? 2 2 1 ? k 2 1 ? 2 ? 1 ? 2k k k 所以,直线 PQ 的方程为 y ? 2k ? ( x ? 1 ? 2k 2 ) , 1? k 2
所以点 P 的坐标为 (1 ? 整理得 yk ? ( x ? 3)k ? y ? 0 .
2

于是,直线 PQ 恒过定点 E (3, 0) ; 当 k ? ?1 时,直线 PQ 的方程为 x ? 3 ,也过点 E (3, 0) . 综上所述,直线 PQ 恒过定点 E (3, 0) . (Ⅲ)可求的 | EF |= 2 , 所以 ?FPQ 面积 S ? ????10 分

1 2 1 | FE | ( ? 2 | k |) ? 2( ? | k |) ≥ 4 . 2 |k| |k|

当且仅当 k ? ?1 时, “ ? ”成立,所以 ?FPQ 面积的最小值为 4 .????13 分 (20)(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 10a1 ? (2a1 ? 1)(a1 ? 2) ,得 2a12 ? 5a1 ? 2 ? 0 ,解得 a1 ? 2 ,或 a1 ? 由于 a1 ? 1 ,所以 a1 ? 2 . 因为 10Sn ? (2an ? 1)(an ? 3) ,所以 10Sn ? 2an 2 ? 5an ? 2 .
2 2 故 10an ?1 ? 10Sn ?1 ? 10Sn ? 2an ?1 ? 5an ?1 ? 2 ? 2an ? 5an ? 2 , 2 2 整理,得 2(an ?1 ? an ) ? 5(an ?1 ? an ) ? 0 ,即 (an ?1 ? an )[2(an ?1 ? an ) ? 5] ? 0 .

1 . 2

因为 ? an ? 是递增数列,且 a1 ? 2 ,故 an ?1 ? an ? 0 ,因此 an ?1 ? an ? 则数列 ? an ? 是以 2 为首项,

5 . 2

5 为公差的等差数列. 2
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所以 an ? 2 ?

5 1 (n ? 1) ? (5n ? 1) .??????????????????5 分 2 2

(Ⅱ)满足条件的正整数 m, n, k 不存在,证明如下: 假设存在 m, n, k ? N ,使得 2(am ? an ) ? ak ,
*

1 (5k ? 1) . 2 3 整理,得 2m ? 2n ? k ? , ① 5
则 5m ? 1 ? 5n ? 1 ? 显然,左边为整数,所以①式不成立. 故满足条件的正整数 m, n, k 不存在. (Ⅲ) bn ? an ? ????9 分

n?3 1 n?3 ? (5n ? 1) ? ? 2n ? 1 , 2 2 2 2(n ? 3)an 2(n ? 3) 5n ? 1 cn ? ? ? ? n?3. 5n ? 1 5n ? 1 2
5m 1 ? ≤ 0 可转化为 1 1 1 c ? n ? 1 n ? 1 31(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn
(1 ? 1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn cn ?1 ? n ? 1

不等式

5m ≤ 31

?

b1 ? 1 b2 ? 1 b3 ? 1 bn ? 1 1 4 6 8 2n ? 2 1 ? ? ? ? . ? ? ? ??? ? b1 b2 b3 bn 2 n ? 1 2n ? 3 cn ?1 ? n ? 1 3 5 7

设 f ( n) ?

4 6 8 2n ? 2 1 , ? ? ??? ? 3 5 7 2n ? 1 2n ? 3

4 6 8 2n ? 2 2n ? 4 1 ? ? ??? ? f (n ? 1) 3 5 7 2 n ? 1 2 n ? 3 2n ? 5 则 ? 4 6 8 2n ? 2 1 f ( n) ? ? ??? ? 3 5 7 2 n ? 1 2n ? 3
? 2n ? 4 2n ? 3 2n ? 4 ? ? 2n ? 3 2n ? 5 (2n ? 3)(2n ? 5)

?

2n ? 4 4n 2 ? 16n ? 15

?

2n ? 4 4n 2 ? 16n ? 16

?

2n ? 4 (2n ? 4) 2

?

2n ? 4 ?1. 2n ? 4
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所以 f (n ? 1) ? f (n) ,即当 n 增大时, f (n) 也增大.

要使不等式

5m 1 * ? ≤ 0 对于任意的 n ? N 恒成立, 1 1 1 cn ?1 ? n ? 1 31(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn

只需

5m ≤ f (n) min 即可. 31

因 为 f (n) min ? f (1) ? 即m≤

4 1 4 5 5m 4 5 ? ? ,所以 , ≤ 3 5 15 31 15

4 ? 31 124 4 ? ?8 . 15 15 15
????14 分

所以,正整数 m 的最大值为 8.

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