朝阳区2009～2010学年度高三年 级第二学期统一考试(二)

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朝阳区 2009～2010 学年度高三年级第二学期统一考试（二）

数学学科测试（理工类）
（考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分

2010.5

第 I 卷（选择题 共 40 分）
注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试 题卷和答题卡一并交回。 2．每小 题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题的 4 个选项中，只有一项 是符合题目要求的. （1）已知集合 A = { x ? （A） {- 4, - 2,0,1}

x- 1 2

- 2 } ， B = { - 4, - 2, 0, 1 } ，则 A I B 等于
（C） {- 4} （D） ?

（B） {- 2, 0,1}

（2）已知向量 a = (1, 2) ， b = (- 3, 2) ，如果 ka + b 与 a - 3b 垂直，那么实数 k 的值为 （A） ?19 （B） ?

1 3

（C）

11 9

（D） 19

（3）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A） 112 （B） 80 （C） 72 开 始 3 n=1，x=a 4 4 正视图 侧视图 否 输出 x

（D） 64

n=n+1

n≤4
是

x=2x+1

4 俯视图 环球网校——中国职业教育领导者品牌 （第 3 题图） http://www.edu24ol.com/

结 束 缚
1

（第 4 题图）

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（4）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的 x 值为 31，则 a 等于 （A） ?1 （B） 0 （C） 1 （D） 2

（5）已知平面 a ， b ，直线 l ^ a ，直线 m ? b ，有下面四个命题：
① a ∥b ③

? l^ m

② ④

a ^ b ? l ∥m
l ^ m ? a ∥b
（D）②与④

l ∥m ? a ^ b
（A）①与②
2

其中正确的命题是 （B）③与④
x

（C）① 与③

（6）函数 f ( x) = ( x - 2 x)e 的图象大致是

（A） （7）已知椭圆

（B）

（C）

（D）

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ， A 是椭圆长 轴的一个端点， B 是椭圆短轴的一个 a 2 b2

端点， F 为椭圆的一个焦点. 若 AB ? BF ，则该椭圆的离心率为 （A）

5 ?1 2 5 ?1 4
2 2 2

（B）

5 ?1 2 5 ?1 4

（C）

（D）

（8）已知函数 f ( x) = (1- a ) x - 2bx + b （ - 1 < b - 1 < a ）. 用 card ( A) 表示集合 A 中元素的个数， 若使得 f ( x) > 0 成立的充分必要条件是 x ? A ， 且c a r dA( I Z ) = 4 ， 则实数 a 的取值范围是 （A） (- 1, 2) （C） (2, 3) （B） (1, 2) （D） (3, 4)

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2

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第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.

ì x ≥ 0, ? ? ? （9）不等式组 í x - y - 1 ≥ 0, 所表示的平面区域的面积等于 ? ? ? ? ? 3x - 2 y - 6 ≤ 0
（10）已知圆 C : ? í

.

ì ? x = 4 + cos q （ q 为参数） ，直线 l : x - 2 y + 3 = 0 ， ? ? ? y = 3 + sin q
.
A C B P

则圆心 C 到直线 l 的距离为

（11）如右图，从圆 O 外一点 P 引两条直线分别交圆 O 于点 A、B ，

C、D ，且 PA = AB ， PC = 5 , CD = 9 ，则 AB 的长等
于 （12）如果 ( x + .

O
D

1 n ) 展开式中，第四项与第六项的系数相等，则 x

，展开式中的常数项的值等于 . （13） 上海世博园中的世博轴是一条 1000 m 长的直线型通道， 中国馆位于世博轴的一侧 （如 下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的 视角为 120 . 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是
?

n =

m.

B
120?

·

A 中国馆

世博轴 C （14）已知数列 {an } 为等差数列，若 am = a ， an = b （ n - m ≥1 ， m, n ? N ） ，则
*

am+ n =

nb - ma . 类比等差数列 {an } 的上述结论，对于等比数列 {bn } （ bn > 0 ， n- m

n ? N* ） 若 bm = c ， bn = d （ n - m ≥ 2 ， m, n ? N* ）， 则 可 以 得 到
bm + n =
.
3

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分 13 分） 设函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? （Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期； （Ⅱ）当 x ? [0,

?
6

)．

2? ] 时，求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 的值. 3

(16)（本小题满分 13 分） 袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球，今从袋子里随机取球. （Ⅰ）若有放回地取 3 次，每次取 1 个球，求取出 1 个红球 2 个黑球的概率； （Ⅱ）若无放回地取 3 次，每次取 1 个球， ①求在前 2 次都取出红球的条件下，第 3 次取出黑球的概率； ②求取出的红球数 X 的分布列和均值（即数学期望）.

(17)（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 S ? ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角 形， AC 与 BD 的交点为 O ， E 为侧棱 SC 上一点. （Ⅰ）当 E 为侧棱 SC 的中点时，求证： SA ∥平面 BDE ； （Ⅱ）求证：平面 BDE ? 平面 SAC ； （Ⅲ）当二面角 E ? BD ? C 的大小为 45? 时， 试判断点 E 在 SC 上的位置，并说明理由. A D O B C E S

(18)（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? ln x 2 ?

2ax ， （ a ? R, e 为自然对数的底数） ． e

（Ⅰ）求函数 f ( x) 的递增区间； （Ⅱ）当 a ? 1 时，过点 P(0, t ) (t ? R) 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线，设两切点为
4

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P 2 ( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ，求证： x1 + x2 = 0 ． 1 ( x1 , f ( x1 )) ， P

(19)（本小题满分 13 分） 已知动点 M 到点 F (1, 0) 的距离，等于它到直线 x ? ?1 的距离． （Ⅰ） 求点 M 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ ）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1 , l2 ，分别交曲线 C 于点 A, B 和 M , N ．设线 段 AB ， MN 的中点分别为 P, Q ，求证：直线 PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求 ?FPQ 面积的最小 值．

(20)（本小题满分 14 分）

a1 ? 1 ， 0 Sn ? ( 2 an1 ) (? a 2 ) 已知 ? an ? 是递增数列， 其前 n 项和为 S n ， 且1 n ?
（Ⅰ）求数列 ? an ? 的通项 an ；

n?N ． ，
*

（Ⅱ）是否存在 m, n, k ? N ，使得 2(am ? an ) ? ak 成立？若存在，写出一组符合条件
*

的 m, n, k 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设 bn ? an ?

2(n ? 3)an n?3 * ， cn ? ，若对于任意的 n ? N ，不等式 2 5n ? 1

5m 1 ? ≤ 0 恒成立，求正整数 m 的最大值． 1 1 1 c ? n ? 1 n ? 1 31(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn

（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

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数学学科测试答案 （理工类）
一、选择题:
题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 C 6 A 7 B

2010.5

8 B

二、填空题:
题号 9 10 11 12 13 14
n- m

答案

4

5 5

35

8

70

1000 3 3

d m c

n

三、解答题: (15)（本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ?

?
6

)

? sin 2 x ? (cos 2 x cos

?

? sin 2 x sin ) 6 6

?

3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? 3 sin(2 x ? ) ， 6
所以 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?

?

6

).

????5 分 ????7 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ． （Ⅱ）由 2k p -

p p p ≤ 2x ≤ 2k p + ( k 2 6 2 p p k p - ≤ x ≤ k p + ( k Z) . 6 3

Z) 得，

又因为 x ?[0,

?]，
?
3 ] 和[ 5? , ? ] ．????13 分 6

所以函数 f ( x) 在 [0, p ] 上的递增区间为 [0,

(16)（本小题满分 13 分） 解： （1）记“取出 1 个红球 2 个黑球”为事件 A，根据题意有

4 144 1 3 ； P( A) ? C3 ( ) ? ( )2 ? 7 7 343
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6

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答：取出 1 个红球 2 个黑球的概率是

144 . 343

????4 分

（2）①方法一：记“在前 2 次都取出红球”为事件 B， “第 3 次取出黑球”为事件 C， 则

4 P( BC ) 35 4 3? 2 1 3? 2 ? 4 4 ? ? . P( B) ? ? ， P( BC ) ? ? ，所以 P(C | B) ? 1 5 7?6 7 7 ? 6 ? 5 35 P( B) 7
方法二： P(C | B) ?

n( BC ) 3 ? 2 ? 4 4 ? ? . n( B ) 3? 2 ? 5 5
4 . ????7 分 5

答：在前 2 次都取出红球的条件下，第 3 次取出黑球的概率是 ②随机变量 X 的所有取值为 0, 1, 2, 3 .

P ( X ? 0) ?

3 3 2 1 3 C4 ? A3 C4 C3 ? A3 4 18 ? P ( X ? 1) ? ? ， ， 3 3 A7 35 A7 35 1 2 3 3 3 C4 C3 ? A3 C3 ? A3 12 1 ? P ( X ? 3) ? ? ， . 3 3 A7 35 A7 35

P( X ? 2) ?

X
P

0
4 35

1
18 35

2
12 35

3
1 35

4 18 12 1 45 9 所以 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? . 35 35 35 35 35 7
(17)（本小题满分 14 分） 解法一： 证明： （Ⅰ）连接 OE ，由条件可得 SA ∥ OE .

源:Z+xx+k.Com]

????13 分 S

E 因为 SA ? 平面 BDE ， OE ? 平面 BDE ， 所以 SA ∥平面 BDE . ????4 分 D O B C

（Ⅱ）由已知可得， SB ? SD , O 是 BD 中点， 所以 BD ^ SO ， A

又因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BD ^ AC . 因为 AC ? SO ? O ，所以 BD ? 面SAC . 环球网校——中国职业教育领导者品牌
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又因为 BD ? 面BDE ，所以平面 BDE ? 平面 SAC . （Ⅲ）解：连接 OE ，由（Ⅱ）知 BD ? 面SAC . 而 OE ? 面SAC , 所以 BD ? OE . 又 BD ? AC . 所以 ?EOC 是二面角 E ? BD ? C 的平面角，即 ?EOC ? 45? . 设四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 2， 在 ?SAC 中， SA ? SC ? 2 , AC ? 2 2 , 所以 SO ?

????8 分

2,

1 又因为 OC ? AC ? 2 , SO ? OC , 2
所以 ?SOC 是等腰直角三角形. 由 ?EOC ? 45? 可知，点 E 是 SC 的中点. ????14 分 解法二： （Ⅰ）同解法一 ????4 分 D

z S

E

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 SO ? 面ABCD ， AC ? BD . 建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 2， 则 O(0, 0, 0) ， S (0, 0, x A

C O B y

2) ， A

? ?

2, 0, 0 ， B 0,

?

?

2, 0 ， C ? 2, 0, 0 ，

?

?

?

D 0, ? 2, 0 .
所以 AC ? ?2 2, 0, 0 ， BD ? 0, ? 2 2, 0 . 设 CE ? a （ 0 ? a ? 2 ） ，由已知可求得 ?ECO ? 45? . 所以 E (? 2 ?

?

?

????

?

?

??? ?

?

2 a, 0, 2

??? ? 2 2 a) ， BE ? (? 2 ? a, ? 2, 2 2

2 a) . 2

设平面 BDE 法向量为 n ? ( x, y, z ) ，

??? ? ? y ? 0, ? ? ?n ? BD ? 0, 则 ? ??? 即? ? 2 2 a) x ? 2 y ? az ? 0. ? ?( ? 2 ? ? n ? BE ? 0 ? 2 2
令 z ? 1，得 n ? (

a , 0, 1) . 2?a
8

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??? ? 易知 BD ? 0, ? 2 2, 0 是平面 SAC 的法向量.

?

?

因为 n ? BD ? (

??? ?

a , 0, 1) ? (0, ? 2 2, 0) ? 0 ， 2?a
????8 分

所以 n ? BD ，所以平面 BDE ? 平面 SAC . （Ⅲ）解：设 CE ? a （ 0 ? a ? 2 ） ，由（Ⅱ）可知， 平面 BDE 法向量为 n ? (

??? ?

a , 0, 1) . 2?a

因为 SO ? 底面ABCD ， 所以 OS ? (0, 0,

??? ?

2) 是平面 SAC 的一个法向量.

由已知二面角 E ? BD ? C 的大小为 45? . 所以 cos?OS , n? ? cos 45? ?

??? ?

2 ， 2

所以

2 ( a 2 ) ?1 ? 2 2?a

?

2 ，解得 a ? 1 . 2
????14 分

所以点 E 是 SC 的中点. (18)（本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）函数 f ( x) 的定义域是 (??, 0) ? (0, ? ?) ．

2 2a 2(e ? ax) . ? ? x e ex 2 当 a ? 0 时，由 f ?( x) ? ? 0 ，解得 x ? 0 ； x 2(e ? ax) e 当 a ? 0 时，由 f ?( x) ? ? 0 ，解得 0 ? x ? ； ex a 2(e ? ax) e 当 a ? 0 时，由 f ?( x) ? ? 0 ，解得 x ? 0 ，或 x ? ． ex a f ?( x) ?
所以当 a ? 0 时，函数 f ( x) 的递增区间是 (0, ? ?) ；

e )； a e 当 a ? 0 时，函数 f ( x) 的递增区间是 (??, ) ， (0, ? ?) ． a 2 2 2(e ? x) （Ⅱ）因为 f ?( x) ? ? ? ， x e ex
当 a ? 0 时，函数 f ( x) 的递增区间是 (0, 环球网校——中国职业教育领导者品牌

????8 分

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所以以 P 1 ( x1 , f ( x1 )) 为切点的切线的斜率为

2(e ? x1 ) ； ex1

以 P2 ( x2 , f ( x2 )) 为切点的切线的斜率为 又因为切线过点 P(0, t ) ， 所以 t ? ln x12 ?

2(e ? x2 ) ． ex2

2 x1 2(e ? x1 ) ? (0 ? x1 ) ； e ex1

t ? ln x2 2 ?

2 x2 2(e ? x2 ) ? (0 ? x2 ) . e ex2

解得， x12 ? et ? 2 ， x2 2 ? et ? 2 . 则 x12 ? x2 2 . 由已知 x1 ? x2 所以， x1 + x2 = 0 ． (19)（本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ）设动点 M 的坐标为 ( x, y ) ，
2 2 由题意得， ( x ? 1) ? y ?| x ? 1| ，

???????????13 分

化简得 y ? 4 x ，
2

所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ．??4 分
2

（Ⅱ）设 A, B 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，则点 P 的坐标为 ( 由题意可设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) ， 由?

x1 ? x2 y1 ? y2 , )． 2 2

? y 2 ? 4 x, ? y ? k ( x ? 1),
2 2

得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 .
2 2 2 2
4 2

D = (2k + 4) - 4k = 16k + 16 > 0 .
因为直线 l1 与曲线 C 于 A, B 两点， 所以 x1 ? x2 ? 2 ?

4 4 ，y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? ． 2 k k

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2 2 , ). k2 k 1 2 由题知，直线 l 2 的斜率为 ? ，同理可得点 Q 的坐标为 (1 ? 2k , ?2k ) . k 2 当 k ? ?1 时，有 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 ，此时直线 PQ 的斜率 k 2 ? 2k k k . k PQ ? ? 2 2 1 ? k 2 1 ? 2 ? 1 ? 2k k k 所以，直线 PQ 的方程为 y ? 2k ? ( x ? 1 ? 2k 2 ) ， 1? k 2
所以点 P 的坐标为 (1 ? 整理得 yk ? ( x ? 3)k ? y ? 0 .
2

于是，直线 PQ 恒过定点 E (3, 0) ； 当 k ? ?1 时，直线 PQ 的方程为 x ? 3 ，也过点 E (3, 0) ． 综上所述，直线 PQ 恒过定点 E (3, 0) ． （Ⅲ）可求的 | EF |= 2 ， 所以 ?FPQ 面积 S ? ????10 分

1 2 1 | FE | ( ? 2 | k |) ? 2( ? | k |) ≥ 4 . 2 |k| |k|

当且仅当 k ? ?1 时， “ ? ”成立，所以 ?FPQ 面积的最小值为 4 ．????13 分 (20)（本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ） 10a1 ? (2a1 ? 1)(a1 ? 2) ，得 2a12 ? 5a1 ? 2 ? 0 ，解得 a1 ? 2 ，或 a1 ? 由于 a1 ? 1 ，所以 a1 ? 2 ． 因为 10Sn ? (2an ? 1)(an ? 3) ，所以 10Sn ? 2an 2 ? 5an ? 2 .
2 2 故 10an ?1 ? 10Sn ?1 ? 10Sn ? 2an ?1 ? 5an ?1 ? 2 ? 2an ? 5an ? 2 ， 2 2 整理，得 2(an ?1 ? an ) ? 5(an ?1 ? an ) ? 0 ，即 (an ?1 ? an )[2(an ?1 ? an ) ? 5] ? 0 ．

1 ． 2

因为 ? an ? 是递增数列，且 a1 ? 2 ，故 an ?1 ? an ? 0 ，因此 an ?1 ? an ? 则数列 ? an ? 是以 2 为首项，

5 ． 2

5 为公差的等差数列. 2
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所以 an ? 2 ?

5 1 (n ? 1) ? (5n ? 1) .??????????????????5 分 2 2

（Ⅱ）满足条件的正整数 m, n, k 不存在，证明如下： 假设存在 m, n, k ? N ，使得 2(am ? an ) ? ak ，
*

1 (5k ? 1) ． 2 3 整理，得 2m ? 2n ? k ? ， ① 5
则 5m ? 1 ? 5n ? 1 ? 显然，左边为整数，所以①式不成立． 故满足条件的正整数 m, n, k 不存在． （Ⅲ） bn ? an ? ????9 分

n?3 1 n?3 ? (5n ? 1) ? ? 2n ? 1 ， 2 2 2 2(n ? 3)an 2(n ? 3) 5n ? 1 cn ? ? ? ? n?3． 5n ? 1 5n ? 1 2
5m 1 ? ≤ 0 可转化为 1 1 1 c ? n ? 1 n ? 1 31(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn
(1 ? 1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn cn ?1 ? n ? 1

不等式

5m ≤ 31

?

b1 ? 1 b2 ? 1 b3 ? 1 bn ? 1 1 4 6 8 2n ? 2 1 ? ? ? ? ． ? ? ? ??? ? b1 b2 b3 bn 2 n ? 1 2n ? 3 cn ?1 ? n ? 1 3 5 7

设 f ( n) ?

4 6 8 2n ? 2 1 ， ? ? ??? ? 3 5 7 2n ? 1 2n ? 3

4 6 8 2n ? 2 2n ? 4 1 ? ? ??? ? f (n ? 1) 3 5 7 2 n ? 1 2 n ? 3 2n ? 5 则 ? 4 6 8 2n ? 2 1 f ( n) ? ? ??? ? 3 5 7 2 n ? 1 2n ? 3
? 2n ? 4 2n ? 3 2n ? 4 ? ? 2n ? 3 2n ? 5 (2n ? 3)(2n ? 5)

?

2n ? 4 4n 2 ? 16n ? 15

?

2n ? 4 4n 2 ? 16n ? 16

?

2n ? 4 (2n ? 4) 2

?

2n ? 4 ?1. 2n ? 4
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所以 f (n ? 1) ? f (n) ，即当 n 增大时， f (n) 也增大．

要使不等式

5m 1 * ? ≤ 0 对于任意的 n ? N 恒成立， 1 1 1 cn ?1 ? n ? 1 31(1 ? )(1 ? )? (1 ? ) b1 b2 bn

只需

5m ≤ f (n) min 即可． 31

因 为 f (n) min ? f (1) ? 即m≤

4 1 4 5 5m 4 5 ? ? ，所以 ， ≤ 3 5 15 31 15

4 ? 31 124 4 ? ?8 . 15 15 15
????14 分

所以，正整数 m 的最大值为 8．

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