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世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业(四十) 7.3


圆学子梦想 铸金字品牌

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课时提升作业(四十)
空间点、直线、平面之间的位置关系 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.给出下列说法: ①梯形的四个顶点共面 ;②三条平行直线共面 ;③有三个公共 点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定 3 个平面.其中正确的序号是 ( A.① B.①④ C.②③ D.③④ )

【解析】选 A.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的; 三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱 ,所以②不正确 ;有三个 公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交 ,三个公共点都在交线上 ,所以 ③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是 1 或 3,所以④不正确. 2.(2015· 合肥模拟)已知空间中有三条线段 AB,BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直 线 AB 与 CD 的位置关系是( A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 【解题提示】分三条线段共面和不共面两种情况讨论.
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)

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【解析】选 D.若三条线段共面,如果 AB,BC,CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD 相交,否则直线 AB 与 CD 平行;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线. 3.如图,α ∩β =l,A,B∈α ,C∈β ,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的平面记作γ ,则γ 与β 的交线必通过( A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 【解析】选 D.因为 AB?α,M∈AB,所以 M∈γ. 又α∩β=l,M∈l,所以 M∈β, 由公理 3 知,M 在γ与β的交线上. 同理可知,点 C 也在γ与β的交线上. 4.(2015·广州模拟)已知 A,B 是两个不同的点,m,n 是两条不重合的直线,α ,β 是两个不重合的平面,则①m? α ,A∈m? A∈α ;②m∩n=A,A∈α ,B∈m? B∈α ; ③m? α ,n? β ,m∥n? α ∥β ;④m? α ,m⊥β ? α ⊥β .其中真命题为( A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ ) )

【解析】选 C.根据平面的性质,可知①正确,②中不能确定 B∈α,③中α与β可 能平行,也可能相交,④中根据面面垂直判定定理可知正确,故①④为真命题,故 选 C. 5.如图是一正方体的表面展开图,MN 和 PB 是两条面对角线,则在正方体中,直线 MN 与直线 PB 的位置关系为( )

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A.相交

B.平行

C.异面

D.重合

【解析】选 C.将表面展开图折起还原为正方体,如图,故 MN 与 PB 异面.

【误区警示】本题由展开图还原为几何体时易出错,原因是空间想象能力不强, 可固定其中一个面,翻折其他面得到. 【加固训练】将正方体纸盒展开如图所示,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系 是( )

A.平行

B.垂直
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C.相交成 60°角

D.异面且成 60°角

【解析】选 D.折起后如图,

显然 AB 与 CD 异面,因为 AM∥CD,△AMB 为正三角形,所以∠MAB=60°. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·天津模拟)设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题: ①设 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线; ③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交; ④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面. 其中真命题的个数是 .

【解析】因为 a⊥b,b⊥c,所以 a 与 c 可能相交,平行,异面,故①错;因为 a,b 异 面,b,c 异面,则 a,c 可能异面,相交,平行,故②错;由 a,b 相交,b,c 相交,则 a,c 可以异面,相交,平行,故③错;同理④错,故真命题的个数为 0. 答案:0 7.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点,那么异面直线 AC1 与 BC 所 成角的正切值为 .

【解题提示】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD,则可得直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角,利用圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,可
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得 C1D=

AD,从而可得结论.

【解析】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD, 则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点, 所以 AD∥BC, 所以直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角, 因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点, 所以 C1D⊥圆柱下底面,所以 C1D⊥AD, 因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形, 所以 C1D= AD, , .

所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为

所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 答案:

8.(2015·昆明模拟)若两条异面直线所成的角为 60°,则称这对异面直线为“黄 金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有 对. 【解析】正方体如图,若要出现所成角为 60°的异面直线, 则直线需为面对角线,以 AC 为例,与之构成黄金异面直线对 的直线有 4 条,分别是 A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面对 角线有 12 条,所以所求的黄金异面直线对共有 一对被计算两次,所以记好要除以 2). 答案:24 =24 对(每

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三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.如图所示,在四面体 ABCD 中,E,G 分别为 BC,AB 的中点,F 在 CD 上,H 在 AD 上, 且有 DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:EF,GH,BD 交于一点.

【证明】连接 GE,FH. 因为 E,G 分别为 BC,AB 的中点, 所以 GE∥AC,且 GE= AC. 又因为 DF∶FC=DH∶HA=2∶3, 所以 FH∥AC,且 FH= AC. 所以 FH∥GE,且 GE≠FH. 所以 E,F,H,G 四点共面. 且四边形 EFHG 是一个梯形. 设 GH 和 EF 交于一点 O. 因为 O 在平面 ABD 内,又在平面 BCD 内, 所以 O 在这两个平面的交线上. 因为这两个平面的交线是 BD,且交线只有这一条, 所以点 O 在直线 BD 上. 这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上,
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所以 EF,GH,BD 交于一点. 【加固训练】 如图,空间四边形 ABCD 中,E,F,G 分别在 AB,BC,CD 上,且满足 AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过 E,F,G 的平面 交 AD 于点 H. (1)求 AH∶HD. (2)求证:EH,FG,BD 三线共点. 【解析】(1)因为 = =2,所以 EF∥AC,

所以 EF∥平面 ACD,而 EF? 平面 EFGH, 平面 EFGH∩平面 ACD=GH, 所以 EF∥GH,所以 AC∥GH, 所以 = =3,

所以 AH∶HD=3∶1. (2)因为 EF∥GH,且 = , = ,

所以 EF≠GH,所以四边形 EFGH 为梯形. 令 EH∩FG=P,则 P∈EH, 而 EH? 平面 ABD, 又 P∈FG,FG? 平面 BCD, 平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 P∈BD, 所以 EH,FG,BD 三线共点. 10.已知在空间四边形 ABCD 中,AB=CD=3,E,F 分别为 BC,AD 上的点,并且 BE∶ EC=AF∶FD=1∶2,EF= ,求 AB 与 CD 所成的角的大小.
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【解析】取 BD 上一点 H,使得 BH∶HD=1∶2.连接 FH,EH,由题意知 FH∥AB,EH∥ CD,则∠EHF 为异面直线 AB 与 CD 所成的角(或其补角). 又 AF∶FD=BH∶HD=BE∶EC=1∶2, 所以 FH= AB=2,HE= CD=1. 在△EFH 中,由余弦定理知: cos∠EHF= = =- ,

即异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60°. 【误区警示】本题易忽视异面直线所成角的取值范围(0, ].在解答过程中易误 认为∠EHF 即为异面直线 AB 与 CD 所成的角.实际上,当∠EHF 为锐角或直角时, 为两条异面直线 AB 与 CD 所成的角;而当∠EHF 为钝角时,它为异面直线 AB 与 CD 所成角的补角. (20 分钟 40 分) 1.(5 分)(2015·天津模拟)如图所示,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PA⊥平面 ABCD,PA=AB,则 PB 与 AC 所 成角是( A.90° ) B.45° C.60° D.30°

【解析】选 C.过点 B 作 BE CA,连接 AE,PE,由已知△PAB 及△BAE 和△PAE 均为全等的等腰直角三角形,因此△PBE 为等边三角形,所以 PB 与 AC 所成的角为 60°. 【加固训练】(2014·太原模拟)对于直线 m,n 和平面α ,下列命题中的真命题 是( )
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A.如果 m? α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m? α ,n?α ,m,n 是异面直线,那么 n 与α 相交 C.如果 m? α ,n∥α ,m,n 共面,那么 m∥n D.如果 m? α ,n∥α ,m,n 共面,那么 m 与 n 相交 【解析】 选 C.对于选项 A,n 可以与平面α相交,对于选项 B,n 可以与平面α平行, 故选项 A、B 均错;由于 m?α,n∥α,则 m,n 无公共点.又 m,n 共面,所以 m∥n, 选项 C 正确,选项 D 错. 2.(5 分)(2015·温州模拟)如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在 棱的中点,这四个点不共面的是( )

【解析】选 D.A 中 PS∥QR,故共面;B 中 PS 与 QR 相交,故共面;C 中四边形 PQRS 是平行四边形,故共面. 3.(5 分)(2015·开封模拟)已知点 E,F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,AA1 的中点,点 M,N 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则满足与平面 ABCD 平行的直线 MN 有( A.0 条 ) B.1 条 C.2 条 D.无数条

【解析】 选 D.与平面 ABCD 平行,而且与线段 D1E,C1F 分别相交于 M,N 的平面有无 数多,所以直线 MN 有无数条.

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4.(12 分)如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, ∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点. (1)求证 AE 与 PB 是异面直线. (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值. (3)求三棱锥 A-EBC 的体积. 【解析】(1)假设 AE 与 PB 共面,设平面为α. 因为 A∈α,B∈α,E∈α, 所以平面α即为平面 ABE,所以 P∈平面 ABE, 这与 P? 平面 ABE 矛盾,所以 AE 与 PB 是异面直线. (2)取 BC 的中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥PB, 所以∠AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成的角. 因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, 所以 AF= cos∠AEF= ,AE= ,EF= = , ,

所以异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为 . (3)因为 E 是 PC 的中点, 所以点 E 到平面 ABC 的距离为 PA=1, VA-EBC=VE-ABC= × ×1= .

【加固训练】在四棱锥 P -ABCD 中,底面是边长为 2 的 菱形,∠DAB=60°,对角线 AC 与 BD 交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60°. (1)求四棱锥的体积.
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(2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值. 【解析】(1)在四棱锥 P -ABCD 中, 因为 PO⊥平面 ABCD, 所以∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,即∠PBO=60°. 在 Rt△POB 中,因为 BO=AB〃sin30°=1, 又 PO⊥OB,所以 PO=BO〃tan60°= 因为底面菱形的面积 S 菱形 ABCD=2 所以四棱锥 P -ABCD 的体积 VP -ABCD= ×2 × =2. . ,

(2)取 AB 的中点 F,连接 EF,DF, 因为 E 为 PB 中点, 所以 EF∥PA. 所以∠DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或补角). 在 Rt△AOB 中, AO=AB〃cos30°= =OP, ,

所以在 Rt△POA 中,PA= 所以 EF= .

因为四边形 ABCD 为菱形,且∠DAB=60°, 所以△ABD 为正三角形. 又因为∠PBO=60°,BO=1, 所以 PB=2,所以 PB=PD=BD,即△PBD 为正三角形, 所以 DF=DE= ,
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所以 cos∠DEF= = = = .

即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 . 5.(13 分)(2014·湖南高考)如图所示,已知二面角α -MN-β 的大小为 60°,菱形 ABCD 在平面β 内,A,B 两点在棱 MN 上,∠BAD=60°,E 是 AB 的中点,DO⊥平面α , 垂足为 O.

(1)证明:AB⊥平面 ODE. (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值. 【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明. (2)根据二面角的平面角的定义及线线角的定义求解. 【解析】(1)如图,因为 DO⊥平面α,AB?平面α,所以 DO⊥AB,

连接 BD,由题设知,△ABD 是正三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE⊥AB, 又 DO∩DE=D,故 AB⊥平面 ODE. (2)因为 BC∥AD,所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角, 即∠ADO 是 BC 与 OD 所成的角(或其补角).
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由(1)知,AB⊥平面 ODE,所以 AB⊥OE,又 DE⊥AB,于是∠DEO 是二面角α-MN-β的 平面角,从而∠DEO=60°, 不妨设 AB=2,则 AD=2,易知 DE= ,

在 Rt△DOE 中,DO=DE〃sin60°= , 连接 AO,在 Rt△AOD 中,cos∠ADO= = = ,

故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 . 【方法技巧】求异面直线所成角的三步骤 (1)作:通过作平行线得到相交直线. (2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)算:通过解三角形求出角.

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