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极坐标与参数方程知识点总结

第一部分:坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换 ? : ?

? x? ? ? ? x, ?? ? 0? 的作用下,点 P?x, y ? 对应到点 ? y ? ? ? ? y, ?? ? 0?

P?x?, y ?? ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图(1)所示,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一 个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角 坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐 标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终 边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ?? ,? ? 叫做点 M 的极坐标,记作 M ?? ,? ? .一般地,不作特 殊说明时,我们认为 ? ? 0,? 可取任意实数.特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为 ?0,? ??? ? R ? 。 和直角坐 标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示 .如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用 唯一的极坐标 ?? ,? ? 表示;同时,极坐标 ?? ,? ? 表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同 的长度单位,如图(2)所示: (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ? x, y ? ,极坐标是 ?? ,? ??? ? 0? ,于 是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标 ? x, y ? 极坐标 ?? ,? ?

互化公式

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?

? 2 ? x2 ? y2
tan? ? y ?x ? 0? x

在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

1

圆心在极点,半径为 r 的圆

? ? r ?0 ? ? ? 2? ?

圆心为 ?r ,0? ,半径为 r 的圆

? ? 2r ? ?

?? ? ? ?? ? ? 2? ? 2

圆心为 ? r ,

? ?? ? ,半径为 r 的圆 ? 2?

? ? 2r sin ? ?0 ? ? ? ? ?

过极点,倾斜角为 ? 的直线

(1) ? ? ? ?? ? R?或? ? ? ? ? ?? ? R? (2)

? ? ? ?? ? 0?或? ? ? ? ? ?? ? 0?

过点 ?a,0? ,与极轴垂直的直线

? cos? ? a? ?

?? ? ? ?? ? ? 2? ? 2

过点 ? a, 线

? ?

??

? , 与极轴平行的直 2?

? sin ? ? a?0 ? ? ? ? ?

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 ,即 ?? ,? ?, ?? ,2? ? ? ?, ?? ? , ? ? ? ?, ?? ? ,?? ? ? ? 都表示同一 点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少 有 一 个 能 满 足 极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程 ? ?? 点 M?

?? ? ? , ? 可以表示为 ?4 4?

?? ? ? ?? ? ? ? ? 5? ? ?? ? ? M ? , ? 2? ?或M ? , ? 2? ?或M ? ? , ? 等多种形式 , 其中 , 只有 M ? , ? 的极坐标满足方程 ?4 4 ? ?4 4 ? ? 4 4 ? ?4 4?

? ?? .
二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 ? x, y ? 都是某个变数 t 的函数 ?
2

? x ? f ?t ? ①,并且对 ? y ? g ?t ?

于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M ?x, y ? 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数 方程,联系变数 ? x, y ? 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程 叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方 程. (2)如果知道变数 ? x, y ? 中的一个与参数 t 的关系,例如 x ? f ?t ? ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数 的关系 y ? g ?t ? ,那么 ?

? x ? f ?t ? 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中 ,必须使 ? x, y ? 的取 ? y ? g ?t ?

值范围保持一致. 注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设 参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3.圆的参数 如图所示,设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位置 M 0 出发,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动,设 M ? x, y ? ,则 ?

? x ? r cos? ??为参数? 。这就是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中 ? 的几何意 ? y ? r sin ?
2 2

义是 OM 0 转过的角度。圆心为 ?a, b ? ,半径为 r 的圆的普通方程是 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 , 它的参数方程为: ? 4.椭圆的参数方程

? x ? a ? r cos? ??为参数? 。 ? y ? b ? r sin ?
2 2

x y 以 坐 标 原 点 O 为 中 心 , 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 其 参 数 方 程 为 a b

? x ? a cos? ??为参数? , 其 中 参 数 ? 称 为 离 心 角 ; 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是 ? ? y ? b sin ? ? x ? b cos? y2 x2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 其参数方程为 ? 通常规定参数 ? 的 ??为参数? 其中参数 ? 仍为离心角, 2 a b ? y ? a sin ?
范围为 ? ? ?0,2? ? 。 注:椭圆的参数方程中,参数 ? 的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角 ? 区分开 来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在 0 到 2? 的范围内) ,在其他任何一点,两个 角的数值都不相等。但当 0 ? ? ? 5.双曲线的参数方程
3

?
2

时,相应地也有 0 ? ? ?

?
2

,在其他象限内类似。

x2 y2 O x 以坐标原点 为中心,焦点在 轴上的双曲线的标准议程为 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 其参数方程为 a b

? x ? a sec? ??为参数? ,其中 ? ? ?0,2? ?且? ? ? , ? ? 3? 。 ? 2 2 ? y ? b tan? ? x ? b cot? y2 x2 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 其参数方程为 ? ??为参数? ,其 a b ? y ? a csc?
中 ? ? ?0.2? ?且? ? ? 以上参数 ? 都是双曲线上任意一点的离心角。 6.抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的参数方程为 ? 7.直线的参数方程 经过点 M 0 ?x0 , y0 ? , 倾斜角为 ? ? ? ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

?t为参数?

? ?

??

? 的直线 l 的普通方程是 y ? y0 ? tan? ?x ? x0 ? 而过 M 0 ?x0 , y0 ? , 2?

倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ?

? x ? x0 ? t cos? ?t为参数? 。 ? y ? y 0 ? t sin ?

注 : 直 线 参 数 方 程 中 参 数 的 几 何 意 义 : 过 定 点 M 0 ?x0 , y0 ? , 倾 斜 角 为 ? 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为

? ? x ? x0 ? t c o s ?t为 参 数? ,其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任一点 M ?x , y ? 为终点的有向线段 ? ? y ? y 0 ? t si n?
M 0 M 的数量,当点 M 在 M 0 上方时,t >0;当点 M 在 M 0 下方时,t <0;当点 M 与 M 0 重合时,t =0。
我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长 度与原直角坐标系中的单位长度相同。 【要点名师透析】 一、坐标系 (一)平面直角坐标系中的伸缩变换

? x / ? 3x 〖例〗在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 ? : ? / ?2 y ? y
(1)求点 A? ,?2 ? 经过 ? 变换所得的点 A? 的坐标;

?1 ?3

? ?

? (2)点 B 经过 变换得到点

1 B? ? ( ?3, ) 2 ,求点 B 的坐标;

4

(3)求直线 l : y ? 6 x 经过 ? 变换后所得到直线的 l ? 方程;

C : x2 ?
(4)求双曲线

y2 ?1 64 经过 ? 变换后所得到曲线 C ? 的焦点坐标。

(二)极坐标与直角坐标的互化

? 5? A(2, ), B (2, ) 4 4 为等边三角形 ABC 的两个顶点,求顶点 C 的极坐标 〖例 2〗在极坐标系中,如果
( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。

(三)求曲线的极坐标方程 〖例〗已知 P,Q 分别在∠AOB 的两边 OA,OB 上,∠AOB= 极坐标方程。

? ,⊿POQ 的面积为 8,求 PQ 中点 M 的 3

(四)极坐标的应用 〖例〗如图,点 A 在直线 x=4 上移动,⊿OPA 为等腰直角三角形,⊿OPA 的顶角为∠OPA(O,P,A 依 次按顺时针方向排列) ,求点 P 的轨迹方程,并判断轨迹形状。

二、参数方程 (一)把参数方程化为普通方程

〖例〗已知曲线 C :

(t 为参数) , C :

( 为参数) 。

(1)化 C ,C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

,Q 为 C 上的动点,求

中点

到直线

? x ? 3 ? 2t (t 为参数)距离的最小值。 C3 : ? ? y ? ?2 ? t
(二)椭圆参数方程的应用

在平面直角坐标系 的最大值 解答:

中,点

是椭圆

上的一个动点,求

5

(三)直线参数方程的应用

〖例〗过点 的 的值。 解析:

作倾斜角为

的直线与曲线

交于点

,求

的值及相应

(四)圆的参数方程的应用

〖例〗已知曲线 C 的参数方程是 为参数),且曲线 C 与直线 (1)求曲线 C 的普通方程; (2)求弦 AB 的垂直平分线的方程(3)求弦 AB 的长 【感悟高考真题】

=0 相交于两点 A、B

? 1.在极坐标系中,点(2, 3 )到圆 ? ? 2cos ? 的圆心的距离为( )
4?
(A)2 (B)

?2
9
(C)

1?

?2
9
(D)

3

2.在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是( )

(1, ) (A) 2

?

(1, ? ) 2 (B)

?

(C) (1, 0)

(D) (1, ? )

? x ? cos? ? y ? 1 ? sin ? , (?为参数). 在极坐标系(与直角坐标系 C 1 3.在直角坐标系 xOy 中,曲线 的参数方程为 ?
xOy 有 相 同 的 长 度 单 位 , 且 以 原 点 O 为 极 点 , 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ) 中 , 曲 线 C 2 的 方 程 为

? (cos? ? sin ? ) ? 1 ? 0, 则C1与C2 的交点个数为______
? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ? (?为参数). 4.直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 在极坐标系(与直角坐标系 xOy
取 相 同 的 长 度 单 位 , 且 以 原 点 O 为 极 点 , 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ) 中 , 曲 线 C2 的 方 程 为

? ( c o? s ?sin ? ) ? 1 ? 0, 则C1与C2 的交点个数为___
6

5.(1) (坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为 ? = 2sin ? ? 4 cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 .

6. (2011·陕西高考理科·T15C)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

? x ? 3 ? cos? ? C ? y ? 4 ? sin ?( ? 为参数) C ? ? 1 上, 设点 A, B 分别在曲线 1 : 和曲线 2 : 则 | AB | 的最小值为



7. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

? x ? 3 ? cos? ? C C y ? sin ? ( ? 为参数) 1 设点 A, B 分别在曲线 :? 和曲线 2 :? ? 1 上, 则 | AB | 的最小值为
8.(2011.天津高考理科.T11).已知抛物线 C 的参数方程为 ?



? x ? 8t 2 ? y ? 8t

( t 为参数)若斜率为 1 的直线经过抛

物线 C 的焦点,且与圆

( x - 4)

2

+ y 2 = r 2 (r > 0)

相切,则 r =________.

5 2 ? ?x ? t ? ? x ? 5 cos ? 4 (t ? R ) ? (0≤?<? ) ? ? y ? sin ? y ? t ? 9.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ? 和? ,它们

的交点坐标为

.

? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? y ? sin? 10. (2)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ? .

(I)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,点 P 的极坐标为 ? 4,

? ?

??

? ,判断点 P 与直线 l 位置关系; 2?

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

? x ? 5cos ? ? y ? 3sin ? ( ? xOy 11.选修 4-4: 坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 中, 求过椭圆 ? ? x ? 4 ? 2t ? y ? 3 ? t ( t 为参数)平行的直线的普通方程。 为参数)的右焦点,且与直线 ? ? x ? 2cos ? ? y ? 2 ? 2sin ? ( ? 12.(2011· 新课标全国高考理科· T23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
为参数)M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程

uu u v

uuuv

??
(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线

? 3 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2

7

的异于极点的交点为 B,求

AB

.

13.(2011· 新课标全国高考文科· T23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? uu u v uuuv ? ? y ? 2 ? 2sin ? ( ? 为参数)M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2 的方程

??
(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 的异于极点的交点为 B,求

? 3 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2

AB

.

14.(2011·辽宁高考理科·T23) (本小题满分 10 分) (选修 4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系

? x ? cos? , (?为参数) ? y ? sin ? , xOy 中 , 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ? , 曲 线 C2 的 参 数 方 程 为 ? x ? a cos? , (a ? b ? 0, ?为参数) ? ? y ? b sin ? , .在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ =a 与
π C1,C2 各有一个交点.当 a=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 a= 2 时,这两个交点重合.
(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值;

π π (II)设当 ? = 4 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 a=- 4 时,l 与 C1,
C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

? x ? ?1 ? t ? y ? 2 ? t (t 为参数)所表示的图形分别是(D) 15. 极坐标 p ? cos ? 和参数方程 ?
A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线 16.极坐标方程(p-1) ( ? ? ? )=(p ? 0)表示的图形是 (A)两个圆 (B)两条直线 (C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线

17.在极坐标系(ρ,θ) (0 ≤ θ<2π)中,曲线 ρ= 2sin ? 与 p cos ? ? ?1 的交点的极坐标为______. 18. 已知 P 为半圆 C: ?

? x ? cos? ? ( 为参数,0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) ,O 为坐标原点, y ? sin ? ?
的长度均为

点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。 【考点模拟演练】 一、选择题

? 。 3

8

5π? 1.已知极坐标平面内的点 P? ?2,- 3 ? , 则 P 关 于 极 点 的 对 称 点 的 极 坐 标 与 直 角 坐 标 分 别 为 ( ) π? B.? ?2,-3?,(1,- 3) 2π? C.? ?2, 3 ?,(-1, 3) 2π? D.? ?2,- 3 ?,(-1,- 3) π? A.? ?2,3?,(1, 3)

2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为(1,- 3).若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系,则点 P 的极坐标可以是( ) π? A.? ?1,-3? 4π? B.? ?2, 3 ? π? C.? ?2,-3? 4π? D.? ?2,- 3 ?

3.在直角坐标系 xOy 中,已知点 C(-3,- 3),若以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,则点 C 的极坐标 (ρ,θ)(ρ>0,-π<θ<0)可写为________. π? 4.过点? ?2,4?平行于极轴的直线的极坐标方程是( A.ρcosθ=4 B.ρsinθ=4 C.ρsinθ= 2 ) D.ρcosθ= 2 答案:C

1 ? ?x=1- t 5.曲线的参数方程是? (t 是参数,t≠0),它的普通方程是( ? ?y=1-t2 A.(x-1)2(y-1)=1 B.y= x? x -2? ?1 -x? 2 C.y= x +1 1-x2 ) D.ρ=2sinθ

)

D.y=

1 -1 ?1 -x? 2

π 6.直线 ρcosθ=2 关于直线 θ= 对称的直线方程为( 4 A.ρcosθ=-2 B.ρsinθ=2 C.ρsinθ=-2

?x=-1- 22t 7.已知直线 l 的参数方程为? 2 ?y=2+ 2 t
A.1 B.-1 C. 2 2

(t 为参数),则直线 l 的斜率为 (

)

D.-

2 2 ( )

? ?x=2cos θ 8.直线 3x-4y-9=0 与圆:? ,(θ 为参数)的位置关系是 ?y=2sin θ ?

A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但不过圆心 9.设直线过极坐标系中的点 M(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为________. π θ+ ?=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为________. 10.在极坐标系中,直线 ρsin? ? 4? 二、填空题 π? π 11.在极坐标系中,直线 θ= 截圆 ρ=2cos? ?θ-6?(ρ∈R)所得的弦长是________. 6 12.直线 2x+3y-1=0 经过变换可以化为 6x+6y-1=0,则坐标变换公式是________.

?x ? t ? y ? t ? 2(t 13. (皖南八校 2011 届高三第二次联考) 已知平面直角坐标系 xOy 内, 直线 l 的参数方程式为 ?

9

? ? ? 2 2 sin(? ? )
为参数) ,以 Ox 为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位) ,圆 C 的极坐标方程为 则直线 l 的圆 C 的位置关系是 。

4 ,

? x ? x 0 ? t cos? ? y ? y 0 ? t sin ? 14.已知曲线的参数方程为 ? ,分别以 t 和 ? 为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数

为 . 15.已知 2x2+3y2-6x=0 (x,y∈R) ,则 x2+y2 的最大值为 的轨迹方程为 三、解答题 .

.

16.从极点 O 作直线与另一直线 l∶ ? cos ? =4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 OM·OP=12,则点 P

π? 17.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C? ?3,6?,半径 r=3, (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 Q 点在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点 P 的轨迹方程.

π 18.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直 3
?x=2cos α, ? 角坐标系,曲线 C 的参数方程为? (α 为参数),求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标. ? ?y=1+cos 2α

10


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