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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:专题整合1(集合与常用逻辑用语)_图文

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第一章
集合与常用逻辑用语

第一章

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1

知 识 网 络

2

题 型 归 类

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知识网络

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题型归类

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对集合的理解以及集合思想的应用
集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,主要 考查对集合基本概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合

语言和集合思想在函数与方程、不等式中的运用.通过复习,
考生应树立运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语 言、集合思想的理解与应用. 已知集合A= {t|t使x2+2tx -4t-3≥0},集合 B={t|t 使x2+2tx-2t=0},其中x,t均为实数. (1)求A∩B; (2)设m为实数,g(m)=m2-3,求M={m|g(m)∈A∩B}.
第一章 集合与常用逻辑用语

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[思路分析]

解答本题首先要弄懂集合概念,以便准确把

握题意,集合A其实就是“求使不等式x2+2tx-4t-3≥0恒成立 的t的取值范围”,集合B就是“求使方程x2+2tx-2t=0有实根

的t的取值范围”.至于集合M,则应先把问题转化为求函数定
义域问题来解决.

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[规范解答] (1)要使x2+2tx-4t-3≥0恒成立, 则只要使Δ1=(2t)2-4(-4t-3)≤0,

解得-3≤t≤-1,故集合A={t|-3≤t≤-1}.
要使方程x2+2tx-2t=0有解, 则只要使Δ2=(2t)2-4·(-2t)≥0,

解得t≥0或t≤-2,故集合B={t|t≥0或t≤-2}.
所以A∩B={t|-3≤t≤-2}. (2)设g(m)=u,则问题(2)可转化为: 已知函数u=g(m)的值域(u∈[-3,-2]),求其定义域. 令-3≤m2-3≤-2,可解得-1≤m≤1,

所以M={m|-1≤m≤1}.
第一章 集合与常用逻辑用语

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数形结合思想在集合问题中的应用 在解决一些集合问题时,求数集常用的方法为数轴法,取 交、并集,如果是点集,常常通过画出函数的图像,观察图像

的交点以及位置关系来解决问题.Venn图法在解决有限集之间
的关系时也会经常用到.

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向 50 名学生调查对 A 、 B 两事件的态度,有如下结 果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的 比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学

生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人,问:对A、B
都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? [思路分析] 解答本题的关键是考生能由题目中的条件画

出Venn图,形象地表示出各数量关系间的联系.

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[ 规范解答]

3 赞成 A 的人数为 50×5=30,赞成 B 的 人 数

为 30+3=33,如图,

记 50 名 学 生 组 成 的 集 合 为

U,赞成事件 A 的学生全体为

集合 A,赞成事件 B 的学生全体为集合 B.
第一章 集合与常用逻辑用语

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设 对 事 件 成 的 学 生 人 数 为 成B而 不 赞 成

A、B 都 赞 成 的 学 生 人 数 为 x 赞 成 A而 不 赞 成 3+1, A的 人 数 为 3 3 -x.

x, 则 对 A、B 都 不 赞 B的 人 数 为 3 0 -x, 赞

依 题 意 3 ( 0 -x)+3 ( 3

?x ? -x)+x+?3+1?=5 0 ? ?

, 解 得 x=2 1 . 8 人.

所 以 对 A、B 都 赞 成 的 同 学 有

2 1 人 , 都 不 赞 成 的 有

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充要条件的理解与判定方法 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要 用来区分命题的条件p和结论q之间的关系,力求通过不同的知

识点来剖析充分必要条件的意义,让考生能准确判定给定的两
个命题的逻辑关系.

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设命题 p : (4x - 3)2≤1 ;命题 q : x2 - (2a + 1)x + a(a + 1)≤0 ,若非 p 是非 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范 围. [ 思路分析 ] (1) 用集合的观点考查问题,先写出非 p 和非

q,然后,由非q?非p,但非p? 非q来求a的取值范围;(2)将非
p 是非 q 的必要不充分条件转化为 p 是 q 的充分不必要条件再求 解.

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[规 范 解 答

]

设 A={x4 (| x-3 ) 2≤1},

B={x|x2-(2a+1 ) x+a(a+1 ) ≤0 }, 易 知
? 1 ? A=?x|2≤x≤1?,B={x|a≤x≤a+1 } ? ?



由 非 p是 非 q的 必 要 不 充 分 条 件 , 从 而 要 条 件 , 即 1 ? ?a≤ , A B,∴? 2 ? . ?a+1≥1 a的 取 值 范 围 是

p是q的 充 分 不 必

1 解 得 0≤a≤2.
? 1? ?0, ?. 2? ?

故 所 求 实 数

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[方法总结]

在涉及求参数的取值范围又与充分、必要条

件有关的问题,常常借助集合的观点来考虑.若涉及参数问题 解决起来较为困难时,注意运用等价转化,转化后就比较好理

解了.

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逻辑用语在描述数学问题中的应用 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和 研究问题不可缺少的工具,是为了培养学生的推理技能,发展 学生的思维能力而设置的.关于逻辑用语的知识较为抽象,在 高考命题中较少单独考查这一方面知识,更多会作为一种描述

数学问题的语言出现.所以,结合实际问题对逻辑用语进行理
解是掌握这方面知识的关键.

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命题 p :方程 x2 + mx + 1 = 0 有两个不等的正实数
根,命题q:方程4x2+ 4(m+2)x+1 =0 无实数根.若“ p或 q” 为真命题,求m的取值范围.
[ 规范解答] “p 或 q”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为 真命题,或 p 和 q 都是真命题. ?Δ=m2-4>0 ? (1)当 p 为真命题时,则?x1+x2=-m>0 ?x x =1>0 ? 1 2

,得 m<-2;

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(2)当q为真命题时,则Δ=16(m+2)2-16<0, 得-3<m<-1; 综上,m的取值范围是m<-1.

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利用集合关系,借助于数轴、Venn图求参数的值 或参数的范围 1.集合关系转化 A∩B=B?B?A;A∪B=B?A?B.

2.借助数轴、Venn图解集合问题使解答直观、简捷.
3 .含参数的集合问题,常需分类讨论,或进行等价转 化.

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由集合 A = {x|1<ax<2} , B = {x| - 1<x<1} ,求满足
A?B的实数a的范围.
[ 规范解答] ∵B={x|-1<x<1}.

(1)当 a=0 时,A=?,∴满足 A?B. (2)当 a>0
? 1 2? 时,A=?x|a<x<a?, ? ?

?1 ?a≥-1 ∵A?B,由图知∴? ?2≤1 ?a

,∴a≥2.

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3 ( ) 当 a<0 时 ,

? 2 1? A=?x|a<x<a?. ? ?

∵A?B, 由 图 知

?2 ?a≥-1 ∴? ?1≤1 ?a

,∴a≤-2 .

综 上 可 知 :

a=0 或 a≥2 或 a≤-2 .
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等价转化思想在解题中的应用 一个命题的原命题与其逆否命题同真假;当一个命题的真 假不易判断时,可以通过判断它的逆否命题的真假,从而得知

原命题的真假.

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已知p:x+y≠3,q:x≠1或y≠2,则p是q的(
A.充分而不必要条件 C.充要条件 [思路分析] B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

当条件用否定形式表达时,最好运用原命题

和其逆否命题的同真同假性来求解,即p?q与非q?非p同真同

假,q?p与非p?非q,同真同假.
[规范解答] 因为非p:x+y=3,非q:x=1且y=2,则非 q?非p为真,非p?非q为假,所以p?q为真,q?p为假.所以p 是q的充分而不必要条件. [答案] A
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反证法 反证法是间接证明的一种基本方法,其基本内涵为:由证 明p?q转向证明非q?r???t,t与假设矛盾,或与某个真命题 矛盾,从而判定非q为假,推出q为真的推证方法. 反证法主要适用于结论本身是否定形式或含有“至多”、

“至少”等词语的命题的证明.

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求证:一元二次方程至多有两个不同的根.
[ 规范解答] 假设一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)至少

有三个不同的根,不妨设这三个根为 x1,x2,x3. ?ax2 1+bx1+c=0 ? 2 ∴?ax2+bx2+c=0 ?ax2+bx +c=0 ? 3 3 ① ② ③

2 ①-②得 a(x2 - x 1 2)+b(x1-x2)=0.

由 x1≠x2 知 a(x1+x2)+b=0



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同理②-③整理得,a(x2+x3)+b=0
④-⑤得a(x1-x3)=0.



∵a≠0,∴x1-x3=0,即x1=x3,这与x1≠x3矛盾. 这一矛盾说明假设不成立,∴原命题成立. 即一元二次方程至多两个不同的根.

[方法总结]

用反证法证题,必须遵循三步:否定结论→

推出矛盾→肯定结论.在否定结论时易出现错误,特别当命题 中含有“或”“且”“至少几个”“至多几个 ”等词语时,一 定考虑清楚后再去做题.

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