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高中数学苏教版选修1-2学业分层测评:第三章 数系的扩充与复数3.3含解析


学业分层测评(十二) 第 3 章 3.3 复数的几何意义 (建议用时:45 分钟) 学业达标] 一、填空题 1.在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是________. 【解析】 ∵复数 6+5i,-2+3i 对应点分别为 A,B, ∴点 A(6,5),B(-2,3). ∴中点 C(2,4),其对应复数 2+4i. 【答案】 2+4i 2.(2016· 启东月考)若复数 z=a2-1+(a+1)i.(a∈R)是纯虚数,则|z|= ________. 【解析】 【答案】 2 ?a -1=0, 由题意得? ?a+1≠0, 解得 a=1,则 z=2i,故|z|=2. 2 3.复数 z=i· (1+i)(i 为虚数单位)位于第________象限. 【解析】 ∵z=i· (1+i)=-1+i,∴复数 z 对应复平面上的点是(-1,1), 该点位于第二象限. 【答案】 二 4.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是 A,B, → → → C,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则 x+y 的值是________. 【解析】 由复数的几何意义,知 3-2i=x(-1+2i)+y(1-i), ∴3-2i=y-x+(2x-y)i. 根据复数相等的定义,得 ?3=y-x, ? ?-2=2x-y. 【答案】 5 ?x=1, 解得? ?y=4. ∴x+y=5. 1 3 5.已知 i 为虚数单位,复数 z=- + i 的共轭复数为 z ,则 z +|z|= 2 2 ________. 【解析】 【答案】 1 3 1 3 z =- - i,|z|=1,∴ z +|z|= - i. 2 2 2 2 1 3 - i 2 2 6.已知|z-3|=1,则|z-i|的最大值为________. 【97220036】 【解析】 由|z-3|=1 知 z 表示以(3,0)为圆心,1 为半径的圆,|z-i|表示 点(0,1)到圆上的距离,则|z-i|的最大值为 10+1. 【答案】 10+1 7.(2016· 江西师大附中三模)设复数 z=-1-i(i 是虚数单位),z 的共轭复数 为 z ,则|(1-z)·z |=________. 【解析】 【答案】 z =-1+i, 则|(1-z)·z |=|(2+i)· (-1+i)|=|-3+i|= 10. 10 8.复数 z=x+1+(y-2)i(x,y∈R),且|z|=3,则点 Z(x,y)的轨迹是 ________. 【解析】 ∵|z|=3, ∴ ?x+1?2+?y-2?2=3,即(x+1)2+(y-2)2=32.故点 Z(x,y)的轨迹是以 (-1,2)为圆心,以 3 为半径的圆. 【答案】 二、解答题 9.已知复数 z=1+ai(a∈R),ω=cos α+isin α,α∈(0,2π),若 z= z + 2i,且|z-w|= 5,求角 α 的值. 【解】 由题意知 1+ai=1+(2-a)i, 以(-1,2)为圆心,以 3 为半径的圆 则 a=2-a,即 a=1,∴z=1+i. 由|z-w|= 5得(1-cos α)2+(1-sin α)2=5, 整理得 sin α+cos α=-1, π? 2 ? ∴sin?α+4?=- , 2 ? ? π π 9 ∵0<α<2π,∴ <α+ < π, 4 4 4 π 5π π 7π ∴α+ = 或 α+ = , 4 4 4 4 ∴α=π 或 α

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