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高二理科数学周末练习(2017-12-16)

高二理科数学周末练习(2017-12-16)姓名
一、选择题(每题 5 分) 1、已知 i 是虚数单位,若(m+i)2=3-4i,则实数 m 的值为( A.-2 B.± 2C.± 2 D.2 )

b c ? R ,“ b2 ? 4ac ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方” 2、 已知 a、、
的( )条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 x2 3、 已知椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F, 直线 l: x=2, 点 A∈l, 线段 AF 交椭圆 C 于点 B, 2 → → → 若FA=3FB,则|AF|=(
2

)A. 2
2

B.2C. 3 D.3

4、已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的 距离为( ) A . 3 B .3

C . 3m D . 3m

5、设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D .3 6、直线 y=4x 与曲线 y=x3 围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2 B.4 2C.8 D.4 2 2 x y 7、已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交 a b 于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = ( A.1 B.
3 2



C .2

D.3

8 、设 f0(x ) ? sin x ,f1(x ) ? f0?(x ) , f 2 ( x ) ? f1? ( x ),? , f n ?1 ( x) ? f n? ( x ) , n ∈ N ,则

f2010 ( x) ? (
二、填空题(每题 5 分)



A. sin x B.- sin x

C. cos x D.- cos x

9、设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x ? 2 y =1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,
2 2

则该椭圆的方程是. 2 2 3 3 4 4 a a 10、已知 2+ =2 , 3+ =3 , 4+ =4 ,?,若 7+ =7 3 3 8 8 15 15 b b (a,b 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a,b 的值,进而可得 a+b=________. 1-x 11、已知函数 f(x)=ln(ax+1)+ ,x≥0,其中 a>0,若 f′(1)=0,则 a 的值是________. 1+x

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 12、抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 3 3
2

?ABF 为等边三角形,则 P ? _____________

三、解答题(每题 15 分,共 90 分) 13、已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 3x-y+1=0, 2 当 x= 时,f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)在区间[-3,1]上的最大值和最小值.

3 2 14、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值。

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程。

15、如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。

16、 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F。 (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C—PB—D 的大小。

P E

F

D

C

A

B

x2 y2 3 17、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为 ,点 M 在椭圆上且位 a b 3 b2 4 3 于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c,|FM|= . 4 3 (1)求直线 FM 的斜率;(2)求椭圆的方程.

18、已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆的焦 2 2 a b

点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点.(Ⅰ)求 E 的方程; 3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

高二理科数学周末练习答案(2017-12-16)
1 A 9、 2 B 3 A 10、55, 4 A 11、1, 5 D 6 C 12、6。 7 C 8 B

x2
2

?

y2
1

? 1,

13、解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b. 由曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 3,可得 f′(1)=3+2a+b=3.① 2? 2 当 x= 时,f(x)有极值,则 f′? ?3?=0,可得 4a+3b+4=0.② 3 由①②,解得 a=2,b=-4.因为切点的横坐标为 x=1,所以切点坐标为(1,4), 所以 c=5. (2)由(1)可得,f(x)=x3+2x2-4x+5,所以 f′(x)=3x2+4x-4.令 f′(x)=0, 2 解得 x=-2 或 x= . 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示: 2 3 f′(x) 0 0 + - 95 f(x) 8 13 ? ? 27 95 所以函数 f(x)在区间[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27 x -3 (-3,-2) -2 14、(I)解: f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3, 依题意, f '(1) ? f '(?1) ? 0, 即

?-2,2? 3? ?

?2,1? ?3 ?
+ ?

1

4

?3a ? 2b ? 3 ? 0 解得 a ? 1, b ? 0. ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0
? f ( x) ? x3 ? 3x, f '( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ?1)( x ?1). 令 f '( x) ? 0, 得 x ? ?1, x ? 1.
若 x ? (??, ?1) ? (1, ??), 则

f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (??, ?1) 上是增函数,

f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数。
若 x ? (?1,1), 则 所以,

f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1,1) 上是减函数。

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值。

(II)解:曲线方程为

y ? x3 ? 3x. 点 A(0,16) 不在曲线上。设切点为 M ( x0 , y0 ), 则点 M 的坐标满足

y0 ? x03 ? 3x0 ,因 f '( x0 ) ? 3( x02 ?1), 故切线的方程为 y ? y0 ? 3( x02 ?1)( x ? x0 )
注意到点

A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x03 ? 3x0 ) ? 3( x02 ?1)(0 ? x0 )

化简得 x0

3

。 。12 分 ? ?8, 解得 x0 ? ?2. 所以,切点为 M (?2, ?2), 切线方程为: 9 x ? y ? 16 ? 0 。

15、取AB中点E,连结CE,





∵AB= ∵



=

,∴ ,

是正三角形,∴ ∴AB⊥ ;

⊥AB,

∵CA=CB, ??6分

∴CE⊥AB,

=E,∴AB⊥面

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, 又∵面 ABC⊥面 ∴EA, EC,

⊥AB, =AB,∴EC⊥面 的方向为 ,∴EC⊥ 轴正方向, | , |为单位长度,

,面 ABC∩面

两两相互垂直, 以 E 为坐标原点, , ,0),C(0,0, , ),

建立如图所示空间直角坐标系 有题设知 A(1,0,0), =(-1,0, 设 = ), (0, =(0,-

),B(-1,0,0),则 ??9 分

=(1,0,

),

=

是平面

的法向量,



,即

,可取

=(

,1,-1),


z P F E

=

,∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

. 12 分

D G A x B

C y

16、如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点。设 DC ? a.

a a A(a, 0, 0), P (0, 0, a ), E (0, , ) 2 2 a a ? 底面 ABCD 是正方形,? G 是此正方形的中心,? 故点 G 的坐标为 ( , , 0) 且 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? a a PA ? (a, 0, ?a), EG ? ( , 0, ? ). ? PA ? 2EG 。这表明 PA∥EG 。 2 2 而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,? PA∥ 平面 EDB。 ???? ??? ? a a (II)证明:依题意得 B(a, a,0), PB ? (a, a, ?a) 。又 DE ? (0, , ), 故 2 2
(I)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G。连结 EG。依题意得

??? ? ???? a2 a2 PB.DE ? 0 ? ? ? 0 ,? PB ? DE ,由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E, 2 2
所以 PB

? 平面 EFD。

(III)解:设点 F 的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ), PF

??? ?

??? ? ? ? PB, 则

( x0 , y0 , z0 ? a) ? ?(a, a, ?a) 从而 x0 ? ?a, y0 ? ?a, z0 ? (1 ? ? )a. 所以
??? ? a a 1 1 FE ? (? x0 , ? y0 , ? z0 ) ? (?? a, ( ? ? ) a, (? ? ) a). 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 2 1 2 2 由条件 EF ? PB 知, FE.PB ? 0, 即 ?? a ? ( ? ? ) a ? (? ? ) a ? 0, 解得 ? ? 。 2 2 3 ??? ? ? a a 2a a a a ??? a a 2a ? 点 F 的坐标为 ( , , ), 且 FE ? (? , , ? ), FD ? (? , ? , ? ). 3 3 3 3 6 6 3 3 3

??? ? ??? ? a 2 a 2 2a 2 ? PB.FD ? ? ? ? ? 0. 即 PB ? FD ,故 ?EFD 是二面角 C ? PB ? D 的平面角。 3 3 3

??? ? a2 a2 a2 6 | FE | ? ? ? ? a, 2 2 2 2 ??? ? ??? ? a a a a 9 36 36 6 ? FE.FD ? ? ? ? ,且 9 18 9 6 ??? ? a 2 a 2 4a 2 6 | FD |? ? ? ? a, 9 9 9 3
??? ? ??? ? FE.FD ? ??? ? ? ? cos EFD ? ??? | FE || FD | a2 6 6 6 a. a 6 3 1 ? ? ? .??EFD ? ,? 二面角 C ? PB ? D 为 . 3 3 2

17、

c2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1)由已知,有 2= ,又由 a =b +c ,可得 a =3c ,b =2c .(1 分) a 3

设直线 FM 的斜率为 k(k>0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c).由已知,有 ? |kc| ?2+?c?2=?b?2,?(4 分)解得 k= 3.(6 分) ? k2+1? ?2? ?2? 3 ? ? x2 y2 3 (2)由(1)得椭圆方程为 2+ 2=1,直线 FM 的方程为 y= (x+c), 3c 2c 3
2 2 以上两个方程联立,消去 y,整理得3x +2cx-5c =0?,(8 分)

5 解得 x=- c 或 x=c. 3 2 3 ? 因为点 M 在第一象限,所以点 M 的坐标为?c, c .(10 分) 3 ? ? 由|FM|= (c+c)2+?
2 2 3 ? 4 3 c-0 = 3 ,(11 分)解得 c=1, ? 3 ?

x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1.(12 分) 3 2

18、(Ⅰ) 设 F ? c,0? ? ? ,由条件知

c 3 2 2 3 ? ,得 c ? 3 ? 又 ? , a 2 c 3
x2 ? y2 ? 1. 4
……….6 分

所以 a=2?, b ? a ? c ? 1 ,故 E 的方程
2 2 2

(Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 将 y ? kx ? 2 代入

x2 2 2 ? y 2 ? 1 ,得 ?1 ? 4k ? x ? 16kx ? 12 ? 0 , 4
3 8k ? 2 4k 2 ? 3 时, x1,2 ? 4 1 ? 4k 2

2 当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k ?

2

从而 PQ ?

k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1? 4k 2 ? 3 ? ? 1 ? 4k 2
2 k 2 ?1
,所以 ? OPQ 的面积

又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?

S?OPQ

1 4 4k 2 ? 3 , ? d PQ ? 2 1 ? 4k 2

设 4k 2 ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S?OPQ ?

4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

当且仅当 t ? 2 , k ? ?

7 等号成立,且满足 ? ? 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的方 2
…………………………12 分

程为: y ?

7 7 x ? 2. x?2 或 y ? ? 2 2


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