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椭圆的简单几何性质1标准课件(示范课)(1)


复习:
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |)的 动点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

2.椭圆的标准方程是: 2 2
当焦点在X轴上时

当焦点在Y轴上时

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a 2 b 2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a

观察:椭圆
x y2 一、范围: ? 1, ? 1得: 2 2 a b -a≤x≤a, -b≤y≤b 知
2

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2

A1

b F1

a
F2

A2

o c
B1

练习 . 口答下列椭圆的范围。 1 x y ? ?1 25 16
? 5 ≤ x ≤ 5, ? 4 ≤ y ≤ 4
2 2

椭圆对称性
x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

关于y轴对称
P2(-x,y) P(x,y)

Y

O

X

关于原点对称
P3(-x,-y) P1(x,-y)

关于x轴对称

二、椭圆的对称性 2 2 x y 在 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)之中, a b
把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( Y )轴对称; 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( X )轴对称; 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关 y 于( 原点 )对称;

所以,坐标轴是 椭圆的对称轴,原点 是椭圆的对称中心。

o

x

中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

练习2.

下列方程所表示的曲线中,关于原点对称的是( D)

A. x ? 2 y
2

B. y ? 4 x ? 0
2 2

C. x ? 4 y ? 5 x
2

D. 9 x ? y ? 4
2 2

三、椭圆的顶点

令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点(

x y 在 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, a b

2

2

令 y=0,得 x=?, 说明椭圆与 x轴的交点(
*顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的顶 点。 *长轴、短轴: 线段 A1 A1A2、B1B2分别叫做椭圆的 长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半

0, ±b), ±a, 0)

y B1(0,b) o A2(a,0) x B2(0,-b)

轴长和短半轴长。

练习3
口答下列椭圆的顶点坐标及长轴和短轴长。 x y ? ?1 9 4
2 2

顶点是: 3,0)、 3,0)、 0,?2)、 0,2) (? ( ( ( 长轴长是6,短轴长是4.

练习4. 画出下列椭圆的草图
x y ? ?1 (1) 25 16
y B 2
A1
4 3 2 1
2 2

x y ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1 -2 -3 B1 -4

2

2

A2

A1

A2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1

x

B1

问题2:圆的形状都是相同的,而椭圆 却有些比较“扁”,有些比较“圆”, 用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程 度呢?

四、椭圆的离心率
离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:

叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围: 因为 a > c > 0,所以0 < e < 1

c e? a
y o

x

[2]离心率对椭圆形状的影响:
1)e 越接近 1,c 就越接近 a,请问:此时椭圆的变化情况? b就越小,此时椭圆就越扁

2)e 越接近 0,c 就越接近 0,请问:此时椭圆又是如何变化的?
b就越大,此时椭圆就越圆

即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。

练习5

下面两个椭圆中,哪个更接近于圆?

x y x ? 3y ? 9 与 ? ?1 16 12
2 2

2

2

小结一:基本元素
{1}基本量:a、b、c、e、(共四个量) {2}基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) {3}基本线:对称轴(共两条线) 请考虑:基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系(位置、数量之间 的关系) y B1(0,b)

A1

o
B2(0,-b)

A2 x

|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义 一个框,四个点,注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现 y
y M F2 x
2 2

F1
O F2

M x

图 形
F1
2 2

O

方 程 范 围 对称性 焦 点 顶 点

x y ? 2 ?1 2 a b

x y ?a ? b ? 0? 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? b a |x|? a |y|? b |x|? b |y|? a

关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(?c,0)
(?a,0)、(0,?b) (0,c)、(0,?c) (?b,0)、(0,?a)

离心率

c e? a

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 例1 率、焦点和顶点坐标。

x y ? 2 ?1 解:把已知方程化成标准方程 2 5 4 a ? 5, b ? 4, c ? 25 ? 16 ? 3
椭圆的长轴长是: 2a=10 椭圆的短轴长是: 2b=8

2

2

c 3 离心率: e ? ? ? 0.6 a 5
四个顶点坐标是:

焦点坐标是:

F (?3,0), F2 (3,0) 1

A1 (?5,0), A2 (5,0), B1 (0,?4), B2 (0,4)

巩固练习:

x2 y2 1. 若点P(x,y)在椭圆 25 ? 9 ? 1

上,则点P(x,y)横坐标x的取值范围 上的点有 (1)P(-2,4) (2)P(-4,2) (3) P(-2,-4) (4)P(2,-4)



x2 y2 2.若点P(2,4)在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上,下列是椭圆 a b

3. 中心在原点,焦点在x轴上,长轴、短轴的长分别为8和6 的椭圆方程为 ?
4.说出椭圆 和焦点坐标

4 x ? y ? 16的长轴长,短轴长,顶点
2 2

思考:
1 x2 y2 已知椭圆 ? ? 1的离心率 e ? ,求 k 的值 2 k ?8 9
解:当椭圆的焦点在
2
2

x 轴上时,
2

a ? k ? 8 ,b ? 9 ,得 c ? k ? 1.
1 由 e ? ,得:k 2
当椭圆的焦点在
2

?4
2

y 轴上时,

a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ? 1 ? k . 1 5 1? k 1 ? ,即 k ? ? . 由e? ,得 9 4 2 4 5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4
2

0 例2 椭圆的一个顶点为 A?2,? ,其长轴长是短轴长 的2倍,求椭圆的标准方程.
分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置

0 解:(1)当 A?2,? 为长轴端点时,a

? 2, b ? 1 ,

x2 y2 椭圆的标准方程为: ? ? 1; 4 1 0 (2)当 A?2,? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 , 2 2 x y ? 1; 椭圆的标准方程为: ? 4 16 2 2 2 2 x y x y ? ? 1或 ? ?1 综上所述,椭圆的标准方程是 4 1 4 16

小结:
1.知识小结: (1) 学习了椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离 心率等概念及其几何意义。 (2) 研究了椭圆的几个基本量a,b,c,e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系 2.数学思想方法:

(1)数与形的结合,用代数的方法解决几何问题。
(2)分类讨论的数学思想

练习6.已知椭圆方程为 6 x ? y ? 6 则
2 2

它的长轴长是: 短轴长是: 焦距是:

2 6

; ;

2
2 5
30 6
(0, 5)

;

离心率等于:
焦点坐标是:

;
___ (0,- 5) ;

1, 顶点坐标是:(0, 6) (0,- 6) (1, 0)(- 0); _______

外切矩形的面积等于:

4 6





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