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高中数学公式大全修改版


高中数学常用公式及常用结论
一.函数
1.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 2.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称 3. 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对 称轴 是函数 x ?

x?

a?b 对称. 2

a?b ; 两个函 数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关 于直线 2

4.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f 5.分数指数幂
m

a?b 对称. 2m

?1

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

(1) a n ? (2) a
? m n

n

a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).
1
m n

?

=

1
n

a

a

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?

6.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, an ? a ;当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n
n n

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

7.有理指数幂的运算性质

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . r s rs (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q) . r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 8.指数式与对数式的互化式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
9.对数的换底公式
1

log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

10.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) . 二.数列
(2) log a 1.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
2.等差数列的通项公式 其前 n 项和公式为

? an ).

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a an ? a1q n ?1 ? 1 ? q n (n ? N * ) ; 3.等比数列的通项公式 q sn ?
其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 三.三角函数
1.同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? . cos ?

2.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? sin ? , 2 2 sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2 sin(? ? ? ) ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? , sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? sin(?? ) ? ? sin ? ,cos(?? ) ? cos ?

?

?

?

?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;
2

3.和角与差角公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ?
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b ) 的象限决 b 定, tan ? ? ). a
4.二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
5.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) 的周期 T ? 6.正弦定理

2?

?



a b c ? ? ? 2 R .(R 为外接圆半径) sin A sin B sin C
7.余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
8.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S ? 9.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2 四.向量

1. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ = x1 x2 ? y1 y2 . 2.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) .

3

(4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 3.两向量的夹角公式

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

4.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
5.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则

x1 y1 ? x2 y2 a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 五.不等式
a//b(b ? 0) ? 1.基本不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

(2) a, b ? R ? ?

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

2.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 3.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

1 2 s . 4

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
六.直线与圆
1.斜率公式

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

2.直线的五种方程 k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1

4

x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(4)截距式 3.两条直线的平行和垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . 4.点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

5. 圆的方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ? 6.点与圆的位置关系

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

7.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0
8.两圆位置关系的判定方法

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2

设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;
0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
六.圆锥曲线 ? x ? a cos? x2 y 2 1.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . a b ? y ? b sin ?
2.椭圆的的内外部
5

x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a b 2 x y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
3.双曲线的内外部

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a b x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
4.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点 a b a b 在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
5.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? (弦端
点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由 方 程 ?

? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 七.排列与组合
1.组合恒等式
0 1 2 r n (1) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n .

?y ? kx ? b 2 消 去 y 得 到 ax ? bx ? c ? 0 , ?F( x, y) ? 0

(2) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2
1 3 5 0 2 4

n?1

.

2.二项式定理
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

二项展开式的通项公式

r n ?r r 1, 2?,n) . Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

3.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ) ;(2) P i ? 0(i ? 1, 2, 1?P 2 ? 4.数学期望

E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ?

? 1. ? xn Pn ?

5.数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b .

6

(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . 6.方差 D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ?
2 2

? ? xn ? E? ? ? pn ?
2

7.标准差

?? = D? .

8.方差的性质

(1) D ? a? ? b? ? a2 D? ;(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) . 9.正态分布密度函数

f ? x? ?

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ ,? ( ? >0)是参数,分
x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6
2

别表示个体的平均数与标准差. 10.标准正态分布密度函数

八.统计
1.回归直线方程
n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ?b ? ? n 2 y ? a ? bx ,其中 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

2.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi 2 ? nx 2 )(? yi 2 ? ny 2 )
i ?1 i ?1

n

n

.

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

九.导数 1. f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? y? x ? x0 ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x
2.瞬时速度

? ? s?(t ) ? lim
3.瞬时加速度

?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t

a ? v?(t ) ? lim

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ? t ? 0 ?t ?t 4. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义
?t ? 0

7

函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜 率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 5.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n )' ? nxn?1 (n ? Q) (3) (sin x)? ? cos x .(4) (cosx)? ? ? sin x . (5) (ln x )? ?

1 1 e x ; (log a )? ? log a .(6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . x x

6.导数的运算法则
' ' ' ' ' ' (1) (u ? v) ? u ? v .(2) (uv) ? u v ? uv .(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

7.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) , 函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U
' ' ' 处有导数 yu ' ? f ' (u) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 yx ,或 ? yu ? ux

写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) .

十一.复数
1.复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 2.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 3.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2
交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 .

4.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有

结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) .

十二.实系数一元二次方程的解 2 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两
①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?
2

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 个共轭复数根 x ? (b ? 4ac ? 0) . 2a
8


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