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重庆南开中学高2014级高三4月月考数学试题(理科)


重庆南开中学高 2014 级高三 4 月月考 数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、设 i 是虚数单位,则复数 z ? A、 ?

i 2

i 的虚部是( ?1 ? i 1 1 B、 ? C、 2 2

) D、
2

i 2


2、已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x ? 0 ,则( A、命题 p ? q 是假命题 C、命题 p ? ? ?q ? 是真命题 B、命题 p ? q 是真命题 D、命题 p ? ? ?q ? 是假命题

3、 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 , 且 2a4 , a6 , 48 成等差数列, 则 ?an ? 的前 8 项和为 ( A、127 4、若 ? x ? A、180 B、255
n



C、511

D、1023 )

? ?

2 ? ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( x2 ?
B、120 C、90
?

D、45

5、已知菱形 ABCD 的边长 4, ?ABC ? 150 ,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四 个顶点的距离均大于 1 的概率为( A、 ) C、

? 4
2

B、 1 ?

?
4

? 8

D、 1 ?

?
8

6、若抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0 ? 上一点到焦点和 x 轴的距离分别为 5 和 3,则此抛物线的 方程为(
2

) B、 y 2 ?
2
2

A、 y ? 2 x C、 y ? 2 x 或 y ? 18 x
2

?

34 ? 4 x

?

D、 y ? 3 x 或 y 2 ?

?

34 ? 4 x

?

7、某程序框图如图所示,现分别输入下列四 个函数 f ? x ? ,则可以输出 f ? x ? 的是( A、 f ? x ? ? )

1 1 ? 2 ?1 2 1? x ? 2x B、 f ? x ? ? lg 1? x
x

x 1 ? x 2 ?1 2 3 D、 f ? x ? ? ?2 x ? x
C、 f ? x ? ?
x

8、已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b ? a ? c ? b ? 1 且 C ? 2 A , 则 cos C ? ( A、 )

1 2 1 C、 6

1 4 1 D、 8
B、

9、已知某几何体的三视图如图所示,过该几 何体最短两条棱的中点作平面 ? ,使得 ? 平 分该几何体的体积,则可以作此种平面 ? ( ) A、恰好 1 个 B、恰好 2 个 C、至多 3 个 D、至少 4 个 10 、 数 列

?an ? ? n ? 2

0 1n ? 4 , ?N 满 足 : ai ? a ?1 i ?? ?

?

ai2 0 ?0 1 2, 其 中

i ?1 , ? 2 , n? ,

a j ?2 , 2a j0? 1 1 ? ? ? a j ? 2013 ? 0 ,其中 j ? 1, 2,?, n ? 2013 ,则满足条件
) C、 2
2013

的数列 ?an ? 的项数 n 的最大值为( A、4025 B、4026

D、 2

2014

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答 题卡相应位置上。
2 11、随机变量 ? 服从正态分布 N 1, ? ,且 P ? 0 ? ? ? 1? ?

?

?



12、若 x ? 0, y ? 0 ,且 ln 3 ? ln 27 ? ln 3 ,
x y



3 1 ? 的最小值为 x y



13、等边 ?ABC 的边长为 2,取各边的三等分点并连线, 可以将 ?ABC 分成如图所示的 9 个全等的小正三角形, 记这 9 个小正三角形的重心分别为 G1 , G2 , G3 ,? , G9 , 则 AG1 ? BG1 ? AG2 ? BG2 ? ? ? AG9 ? BG9 ?

?

???? ? ???? ?

? ?

???? ? ???? ?

?

?

???? ? ???? ?

?



考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。

14、如图, AB 是圆 O 的直径,过 A 、 B 的两条弦 AC 和 BD 相交于点 P ,若圆 O 的半径是 2,那么 。 AC ? AP ? BD ? BP 的值等于

15、直线 l : ?

? x ? t cos ? ? x ? 2 ? 8 cos? ( t 为参数)与圆 C : ? ( ? 为参数)相交所得的 ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1 ? 8sin ?


弦长的取值范围是

16、已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? 1 ? x ? 2 ? m 。若关于 x 的不等式 f ? x ? ? 1 的解集是 R , 则 m 的取值范围是 。 三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本题满分 13 分,第(1)问 5 分,第(2)问 8 分) 为了参加首届中学生合唱比赛,学校将从 A, B, C , D 四个班级中选出 18 名学生组成合 唱团,学生来源人数如下表: 班级 人数

?

?

A班
4

B班
6

C班
3

D班
5

(1)从这 18 名学生中随机选出两名,求两人来自同一个班级的概率; (2)若要求选出两名学生作为学生领唱,设其中来自 B 班的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分 布列,及数学期望 E? 。

18、 (本题满分 13 分,第(1)问 5 分,第(2)问 8 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ?

1 2 x ? ax ? 1? a ? 0 ? 。 2

(1)求函数 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0 ? 处的切线方程; (2)当 a ? 1 时,求函数 y ? f ? x ? 的单调区间和极值。

?

?

19、 (本题满分 13 分,第(1)问 6 分,第(2)问 7 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x ? cos? x ? c ? ? 0, x ? R , c是实数常数 的图像上的一 个最高点 ?

?

?

?? ? ? 2? ? ,1? ,与该最高点最近的一个最低点是 ? , ?3 ? 。 ?6 ? ? 3 ?

(1)求函数 f ? x ? 的解析式及其单调增区间;

(2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 AB ? BC ? ? 范围是区间 M ,当 x ? M 时,试求函数 f ? x ? 的值域。

??? ? ??? ?

1 ac ,角 A 的取值 2

20、 (本题满分 12 分,第(1)问 6 分,第(2)问 6 分) 直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 , AA1 ? AB ,
?

E 为 BB1 的延长线上一点, D1E ? 面D1 AC ,设 AB ? 2 。
(1)求二面角 E ? AC ? D1 的大小; (2)在 D1 E 上是否存在一点 P ,使 A1 P // 面EAC ?若存在,求 D1 P : PE 的值;若不存在, 请说明理由。

21、 (本题满分 12 分,第(1)问 4 分,第(2)问 8 分) 如图, 焦点在 x 轴上的椭圆 T1 与焦点在 y 轴上的椭圆 T2 相切于点 M ? 0,1? , 且椭圆 T1 与

T2 的离心率均为

3 。 2

(1)求椭圆 T1 与椭圆 T2 的方程; (2)过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l 2 ,与两椭圆 T1 ,T2 分别交于点 A, C 与点 B, D (均不重合) 。若 2MA ? MC ? 3MB ? MD ,求 l1 与 l 2 的方程。

???? ???? ?

???? ???? ?

22、 (本题满分 12 分,第(1)问 4 分,第(2)问 8 分) 设集合 A ? ?a1 , a2 ,? , an ? ai ? N , i ? 1, 2,3,? , n, n ? N
*

?

*

? ,若存在非空集合 B, C ,

使得 B ? C ? ? , B ? C ? A ,且集合 B 的所有元素之和等于集合 C 的所有元素之和,则称 集合 A 为“最强集合” 。 (1)若“最强集合” A ? ?1, 2,3, 4, m? ,求 m 的所有可能值; (2)若集合 A 的所有 n ? 1 元子集都是“最强集合” ,求 n 的最小值。

审核:重庆名校资源库 编辑 01


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