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3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算_图文

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算

课标要求
1.经历向量及其运算由平面到空间 推广的过程,了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加法、减法和数 乘运算. 3.理解空间共线向量和共面向量定 理及推论.

素养达成
通过空间向量及其运算的学习,使 学生体会数学概念的形成过程,培 养学生的空间观念和系统学习概念 的意识.

新知探求 素养养成
知识点一 空间向量的有关概念 梳理 (1)空间向量的定义 与平面向量一样,在空间,我们把具有 大小 和方向的量叫做空间向量,向 量的大小叫做向量的长度或模. (2)空间向量的表示方法
空间向量与平面向量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表 示向量的模,用有向线段的方向表示向量的方向.若向量a对应的有向线段 的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作 AB ,其模记为 |a| 或| AB |.

(3)特殊向量

①零向量:规定 长度为0 的向量叫做零向量,记为0.

②单位向量: 模为1 的向量称为单位向量.

③相反向量:与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量,称为a的相反向量,

记为 -a

.

④相等向量:方向 相同 且模 相等 的向量称为相等向量.在空间,

同向且等长

的有向线段表示同一向量或相等向量.

知识点二 空间向量的加法、减法 问题1:平面向量的加法、减法的法则是什么? 答案:三角形法则、平行四边形法则.
梳理 类似于平面向量,定义空间向量的加、减法运算(如图):
OB = OA + AB = OA + OC =a+b;
CA = CB - AB = OA - OC =a-b.

知识点三 空间向量的数乘运算
问题2:实数λ 和向量a可以加减吗? 答案:不可以. 梳理 (1)实数λ 与空间向量a的乘积λ a仍然是一个 向量 ,称为向量的 数乘运算.当λ >0时,λ a与向量a方向 相同 ,当λ <0时,λ a与向量a方向
相反 ,当λ =0时,λ a=0. (2)运算律: ①分配律:λ (a+b)=λ a+λ b; ②结合律:λ (μ a)=(λ μ )a.

知识点四 共线向量

梳理 (1)共线向量的定义 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 ,则这些向量叫做共线向
量或平行向量,记作a∥b.
(2)共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ ,使 a=λ b . (3)共线向量定理的推论

如图,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间任意一点 O,点 P

在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,使 OP = OA +ta①,其中向量 a 叫做直线 l

的 方向向量

.

在 l 上取 AB =a,则①式可化为 OP = OA +t AB =t OB +(1-t) OA .

知识点五 共面向量
梳理 (1)共面向量的概念 平行于 同一个平面 的向量,叫做共面向量. (2)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的 有序实数对(x,y),使 p=xa+yb . (3)共面向量定理的推论
如图,空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 AP = x AB +y AC ;或对空间任意一点 O,有 OP = OA +x AB +y AC .

课堂探究
题型一 空间向量的有关概念
【例 1】 给出下列命题: ①零向量的方向是任意的;

素养提升

②在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AC = A1C1 ;

③若向量 a 与向量 b 的模相等,则 a,b 的方向相同或相反;

④在四边形 ABCD 中,必有 AB + AD = AC .

其中正确命题的序号是

.

解析:①正确;②正确,因为 AC 与 A1C1 的大小和方向均相同;③|a|=|b|,不能确
定其方向,所以 a 与 b 的方向不能确定;④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时, 才有 AB + AD = AC . 综上可知,正确命题为①②.
答案:①②

易错警示 (1)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素,即 大小和方向,两者缺一不可. (2)要注意零向量的特殊性.对于零向量,应明确: ①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的; ②零向量与任何向量都共线. (3)对于共线向量应明确: ①当a与b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线, 也可能是平行直线; ②共线(平行)向量不具有传递性,如a∥b,b∥c,那么a∥c就不一定成立, 因为b=0时,虽然有a∥b,b∥c,但a不一定与c共线,若a,b,c都不是零向量, 则具有传递性.

即时训练1-1:关于空间向量的命题:

①方向不同的两个向量不可能是共线向量;

②长度相等、方向相同的向量是相等向量;

③平行且模相等的两个向量是相等向量;

④若a≠b,则|a|≠|b|.

其中所有真命题的序号有

.

解析:同一条直线上方向相反的两个单位向量是共线向量,因此①不正确; 长度相等、方向相同的向量是相等向量,②正确; 平行且模相等的两个向量是相等向量或相反向量,③不正确; 若a≠b,则|a|≠|b|,不正确,例如a=-b,而|a|=|-b|,④不正确. 故真命题的序号为 ②. 答案:②

【备用例1】 (1)给出下列命题: ①零向量没有确定的方向; ②空间向量是不能平行移动的; ③有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大; ④如果两个向量不相同,那么它们的长度也不相等. 其中正确的是( ) (A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①③④
解析:(1)①正确,零向量的方向是任意的. ②错误,空间向量可以平行移动. ③正确,向量的模可以比较大小,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大. ④错误,如果两个向量不相同,它们的长度可以相等.故选C. 答案:(1)C

(2)如图,在以长、宽、高分别为AB=4,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1

中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,单位向量共有

个,

模为5 的所有向量为

.

解析:(2)由于长方体的高为 1,所以长方体的 4 条高所对应的向量 AA1 , A1A , BB1 , B1B , CC1 , C1C , DD1 , D1D 共 8 个单位向量,而其余向量模均不为 1,故单位向量共 8 个. 长方体的左、右两侧面的对角线长均为 5 ,故模为 5 的向量有 AD1 , D1A , A1D , DA1 , C1B , BC1 , B1C , CB1 . 答案:(2)8 AD1 , D1A , A1D , DA1 , C1B , BC1 , B1C , CB1

题型二 空间向量的加减和数乘运算

【例 2】 已知空间四边形 OABC,其对角线 OB,AC,M,N 分别是边 OA,CB 的中点,点

G 在线段 MN 上,且使 MG=2GN,用向量 OA , OB , OC 表示向量 OG 是( )

(A) OG = OA + 2 OB + 2 OC

3

3

(B) OG = 1 OA + 2 OB + 2 OC 23 3

(C) OG = 1 OA + 1 OB + 1 OC 633

(D) OG = 1 OA + 1 OB + 2 OC 633

解析: OG = OM + MG = OM + 2 MN 3

= OM + 2 ( MO + OC + CN ) 3

= 1 OM + 2 OC + 1 ( OB - OC )

3

3

3

= 1 OA + 1 OB + 1 OC .故选 C. 633

方法技巧 (1)利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法,一般 地,可以找到的封闭图形不是惟一的,但无论哪一种途径,结果应是惟一的. (2)应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前 提,一定要熟练掌握.

即时训练 2-1:(2018·广东潮州期末)如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为

A1C1,B1D1 的交点.若 AB =a, AD =b, AA1 =c,则向量 BM 等于( )

(A)- 1 a+ 1 b+c 22
(C)- 1 a- 1 b+c 22

(B) 1 a+ 1 b+c 22
(D) 1 a- 1 b+c 22

解析:由题

BM

=

BB1

+

1 2

B1D1

=

BB1

+

1 2

(

BA +

AD

)=-

1 2

a+

1 2

b+c.故选

A.

题型三 空间向量共线问题
【例 3】如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 C1D1,AB 的中点,E 在 AA1 上且 AE=2EA1,F 在 CC1 上且 CF= 1 FC1,判断 ME 与 NF 是否共线.
2

解:由已知可得,

ME

=

MD1

+

D1 A1

+

A1E

=

1 2

BA + CB + 1 3

A1 A

=

BN

+

CB

+

1 3

C1C =

CN + FC = FN =- NF , 故 ME 与 NF 共线.

一题多变:如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,若 M,N 分别为 AD1,BD 的中点,证明 MN 与 D1C 共线.

证明:连接 AC,则 N∈AC 且 N 为 AC 的中点,所以 AN = 1 AC , 2

由已知得 AM = 1 2

AD1

,所以

MN

=

AN

-

AM

=

1 2

AC - 1 2

AD1

=

1 2

D1C .

所以 MN 与 D1C 共线.

方法技巧 (1)判断向量共线的策略 ①熟记共线向量充要条件:a∥b,b≠0,则存在惟一实数λ使a=λb;若存在 惟一实数λ,使a=λb,则a∥b. ②判断向量共线的关键:找到实数λ. (2)三点共线与直线平行的判断 ①线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a,b平行,还要证 明一直线上有一点不在另一条直线上.
②三点共线:证明三点 A,B,C 共线,只需证明存在实数λ,使 AB =λ BC 或 AB =λ AC 即可.

题型四 空间向量共面问题
【例 4】 已知 A,B,C 三点不共线,另外一点 M 满足 OM = 1 OA + 1 OB + 1 OC . 333
(1)判断 MA , MB , MC 三个向量是否共面; (2)判断 M 是否在平面 ABC 内.
解:(1)因为 OA + OB + OC =3 OM , 所以 OA - OM =( OM - OB )+( OM - OC )= BM + CM . 所以 MA = BM + CM =- MB - MC . 所以向量 MA , MB , MC 共面.
(2)由(1)知向量 MA , MB , MC 共面,而它们有共同的起点 M,且 A,B,C 三点不共线, 所以 M,A,B,C 共面,即 M 在平面 ABC 内.

方法技巧 (1)证明空间三个向量共面,常用如下方法: ①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若 a=xb+yc,则向量a,b,c共面; ②寻找平面α,证明这些向量与平面α平行. (2)对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面:
① MP =x MA +y MB ; ②对空间任一点 O, OP = OM +x MA +y MB ; ③对空间任一点 O, OP =x OA +y OB +z OC (x+y+z=1); ④ PM ∥ AB (或 PA ∥ MB ,或 PB ∥ AM ).

即时训练 4-1:如图所示,已知平行四边形 ABCD,过平面 AC 外一点 O 作射线 OA, OB,OC,OD,在四条射线上分别取点 E,F,G,H,并且使 OE = OF = OG = OH =k,求
OA OB OC OD 证:E,F,G,H 四点共面.

证明:因为 OE = OF = OG = OH =k, OA OB OC OD
所以 OE =k OA , OF =k OB , OG =k OC , OH =k OD . 由于四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AC = AB + AD . 所以 EG = OG - OE =k OC -k OA =k AC =k( AB + AD )=k( OB - OA + OD - OA ) = OF - OE + OH - OE = EF + EH . 由向量共面的充要条件知 E,F,G,H 四点共面.


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