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【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)第3章单元检测试题 Word版含解析

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第三章检测试题
时间:90 分钟 分值:120 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知直线 l 的方程为 y=-x+1,则直线 l 的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.135° )

解析:由题意可知,直线 l 的斜率为-1,故由 tan135° =-1,可 知直线 l 的倾斜角为 135° . 答案:D 2.已知点 A(0,4),B(4,0)在直线 l 上,则 l 的方程为( A.x+y-4=0 C.x+y+4=0 B.x-y-4=0 D.x-y+4=0 )

x y 解析:由截距式方程可得 l 的方程为4+4=1,即 x+y-4=0. 答案:A 3.已知直线 l 与过点 M(- 3, 2),N( 2,- 3)的直线垂直, 则直线 l 的倾斜角是( )

π π 2π 3π A.3 B.4 C. 3 D. 4 - 3- 2 解析:因为 kMN= =-1,所以 kl=1,由此可得,直线 2+ 3

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π l 的倾斜角为4. 答案:B 4.若直线 mx+ny+3=0 在 y 轴上的截距为-3,且它的倾斜角 是直线 3x-y=3 3的倾斜角的 2 倍,则( A.m=- 3,n=1 C.m= 3,n=-3 )

B.m=- 3,n=-3 D.m= 3,n=1

3 m 解析:依题意得-n=-3,- n =tan120° =- 3,得 m= 3,n =1.故选 D. 答案:D 5. 两条直线 l1: 2x+y+c=0, l2: x-2y+1=0 的位置关系是( A.平行 C.重合 B.垂直 D.不能确定 )

1 解析:l1 的斜率 k1=-2,l2 的斜率 k2=2,因 k1k2=-1,所以两 直线垂直.故选 B. 答案:B 6. 已知 A(2,4)与 B(3,3)关于直线 l 对称, 则直线 l 的方程为( A.x+y=0 C.x+y-6=0 B.x-y=0 D.x-y+1=0 )

解析:由已知得直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,所以直线 l 的
?5 7? 7 5 斜率为 1,且过线段中点?2,2?,由点斜式得方程为 y-2=x-2,整 ? ?

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理得 x-y+1=0.故选 D. 答案:D 7.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0,且在 y 1 轴上的截距为3,则 m,n 的值分别为( )

A.4 和 3 B.-4 和 3 C.-4 和-3 D.4 和-3 m 4 1 1 解析:由题意知:- n =-3,即 3m=4n,且有-n=3,∴n= -3,m=-4. 答案:C 8.和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 )

解析:设所求直线上的任一点为(x,y),则此点关于 x 轴对称的 点的坐标为(x,-y),因为点(x,-y)在直线 3x-4y+5=0 上,所以 3x+4y+5=0. 答案:A

9.如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点, 则光线所经过的路程是( )

A.2 10 B.6 C.3 3 D.2 5
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解析:由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2),关于 y 轴 的对称点为 C(-2, 0), 则光线所经过的路程 PMN 的长为|CD|=2 10. 答案:A 10.点 P(7,-4)关于直线 l:6x-5y-1=0 的对称点 Q 的坐标 是( ) A.(5,6) C.(-5,6) B.(2,3) D.(-2,3)

n+4 6 × =-1, ?m -7 5 解析:设 Q(m,n),则? m+7 n-4 6 × - 5 × ? 2 2 -1=0, 解得 m=-5,n=6,所以点 P(7,-4)关于直线 l:6x-5y-1 =0 的对称点 Q 的坐标是(-5,6),故选 C. 答案:C 11.已知点 M(1,0)和 N(-1,0),直线 2x+y=b 与线段 MN 相交, 则 b 的取值范围为( )
? ?

? 1 1? A.[-2,2] B.[-1,1] C.?-2,2? D.[0,2]

解析:直线可化为 y=-2x+b,当直线过点 M 时,可得 b=2; 当直线过点 N 时,可得 b=-2.所以要使直线与线段 MN 相交,b 的
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取值范围为[-2,2]. 答案:A 12.函数 y= x2+1+ x2-4x+8的最小值是( A.0 C.13 解析:y= x2+1+ x2-4x+8 = ?x-0?2+?0-1?2+ ?x-2?2+?0-2?2. B. 13 D.不存在 )

令 A(0,1), B(2,2), P(x,0), 则原问题转化为在 x 轴上求一点 P(x,0), 使它到 A,B 两点的距离之和最小.如图所示,取点 A 关于 x 轴的对 称点 A′,连接 A′B,交 x 轴于点 P,则|AP| +|PB|=|A′P|+|PB|≥|A′B|. ∵A(0,1),∴A′(0,-1). ∴|A′B|= ?2-0?2+?2+1?2= 13, 即函数 y= x2+1+ x2-4x+8的最小值是 13. 答案:B 第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
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13.过点(1,3)且在 x 轴的截距为 2 的直线方程是__________. x y 解析:由题意设所求直线的方程为2+b=1, 1 3 又点(1,3)满足该方程,故2+b=1,∴b=6. x y 即所求直线的方程为2+6=1, 化为一般式得 3x+y-6=0. 答案:3x+y-6=0 1 14.已知直线 l 的斜率为6,且和坐标轴围成面积为 3 的三角形, 则直线 l 的方程为________. 1 解析:设直线方程为 y=6x+b,与坐标轴截距分别为-6b,b, 1 所以2|-6b|· |b|=3,解得 b=± 1, 所以直线方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 答案:x-6y+6=0 或 x-6y-6=0 15. 已知直线 l 与直线 y=1, x-y-7=0 分别相交于 P、 Q 两点, 线段 PQ 的中点坐标为(1,-1),那么直线 l 的斜率为________. 解析:设 P(x,1),则 Q(2-x,-3),将 Q 坐标代入 x-y-7=0 2 得,2-x+3-7=0.∴x=-2,∴P(-2,1),∴kl=-3. 2 答案:-3 16.已知 a,b,c 为某一直角三角形的三边长,c 为斜边,若点
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(m,n)在直线 ax+by+2c=0 上,则 m2+n2 的最小值为________. 解析:点(m,n)在直线 ax+by+2c=0 上,且 m2+n2 为直线上的 点到原点的距离的平方.当两直线垂直时,距离最小. 故 d= |a· 0+b· 0+2c| 2c 2c = 2 2 2 2= c =2. a +b a +b

所以 m2+n2≥4. 答案:4 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 40 分) 3 17.(10 分)(1)已知直线 y= 3 x-1 的倾斜角为 α,另一直线 l 的 倾斜角 β=2α,且过点 M(2,-1),求 l 的方程; (2)已知直线 l 过点 P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为 4,求直线 l 的方程. 3 3 解:(1)∵已知直线的斜率为 3 ,即 tanα= 3 , ∴α=30° .∴直线 l 的斜率 k=tan2α=tan60° = 3. 又 l 过点(2,-1),∴l 的方程为 y-(-1)= 3(x-2),即 3x-y -2 3-1=0. (2)显然,直线 l 与两坐标轴不垂直,否则不构成三角形,设 l 的 斜率为 k,则 k≠0,则 l 的方程为 y-3=k(x+2). 令 x=0,得 y=2k+3; 3 令 y=0,得 x=-k-2.
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于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为 1 3 3 1 |(2k + 3)( - - 2)| = 4 ,即 (2k + 3)( + 2) = ± 8 ,解得 k =- 2 k k 2或 k 9 =-2. 1 9 ∴l 的方程为 y-3=-2(x+2),或 y-3=-2(x+2).即 x+2y -4=0 或 9x+2y+12=0. 18.(10 分)已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0, (1)若 l1 与 l2 交于点 P(m,-1),求 m,n 的值; (2)若 l1∥l2,试确定 m,n 需要满足的条件; (3)若 l1⊥l2,试确定 m,n 需要满足的条件. 解:(1)将点 P(m,-1)代入两直线方程得:m2-8+n=0 和 2m -m-1=0,解得 m=1,n=7. (2)由 l1∥l2 得:m2-8×2=0?m=± 4, 又两直线不能重合,所以有 8×(-1)-nm≠0,对应得 n≠± 2, 所以当 m=4,n≠-2 或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. n 1 (3)当 m=0 时,直线 l1:y=-8和 l2:x=2, 此时 l1⊥l2, 1 当 m≠0 时,此时两直线的斜率之积等于4, 显然 l1 与 l2 不垂直, 所以当 m=0,n∈R 时直线 l1 和 l2 垂直. 19.(10 分)在△ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为 x-2y
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+1=0, ∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0.若点 B 的坐标为(1,2), 求点 A 和点 C 的坐标.
? ?x-2y+1=0, 解:由方程组? ?y=0, ?

解得点 A 的坐标为(-1,0). 又直线 AB 的斜率 kAB=1, x 轴是∠A 的平分线, 所以 kAC=-1, 则 AC 边所在的直线方程为 y=-(x+1).① 又已知 BC 边上的高所在直线的方程为 x-2y+1=0, 故直线 BC 的斜率 kBC=-2, 所以 BC 边所在的直线方程为 y-2=-2(x-1).②
?x=5, ? 解①②组成的方程组得? ? ?y=-6.

即顶点 C 的坐标为(5,-6). 20.(10 分)如图所示,已知 A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点 M(-4,2)且平行于 AB 的直线 l 将△ABC 分成两部分,求此两部分面 积的比.

1 解:由已知可得 kAB=-2, 过点 M(-4,2)且平行于 AB 的直线 l 的方程为 x+2y=0.直线 AC 的方程为 5x-2y+10=0,
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? ?x+2y=0, 由方程组? ? ?5x-2y+10=0,

5 5 得直线 l 与 AC 的交点坐标为 P(-3,6). |CP| |xP| 5 所以|CA|=|x |=6. A 52 25 所以两部分的面积之比为 2 2=11. 6 -5

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