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第6篇 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题_图文

第3讲 二元一次不等式(组)与简单 的线性规划问题
[最新考纲] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

2 .了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二
元一次不等式组. 3 .会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题, 并能加以解决.

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突破高频考点

培养解题能力

知识梳理 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 一般地,二元一次不等式 Ax + By +C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax + By + C = 0 某一侧的所有点组成的平面

区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax+By+C≥0所表示
的平面区域(半平面)包括边界直线. (2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax +By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点, 其坐标适合同一个不等式 Ax+By+C>0;而位于另一个半

平面内的点,其坐标适合另一个不等式Ax+By+C<0.
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(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个

不等式所表示的平面区域的公共部分.
意义 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组, 线性约束条件 是对x,y的约束条件 名称

关于x,y的解析式 关于x,y的一次解析式 满足 线性约束条件 的解(x,y) 所有 可行解 组成的集合 使目标函数达到 最大值或 最小值 的可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或 线性规划问题 最小值 _________的问题 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解
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辨 析 感 悟 1.对二元一次不等式(组)表示的平面区域的认识 (1)点(x1,y1),(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0 同侧的充要条件 是 (Ax1 + By1+ C)(Ax2 +By2 + C)>0 ,异侧的充要条件是 (Ax1 +By1+C)(Ax2+By2+C)<0. (√ )

(2) 第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy < 0 表 示. (√ )

(3)(2013· 广东卷改编)已知变量 x,y 满足约束条件 ?x-y+3≥0, ? ?-1≤x≤1, ?y≥1, ?

则其表示的平面区域的面积为 4.

(√ )

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2.对简单的线性规划问题的理解 (4) 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界 上. (√ )

(5)目标函数 z=ax+by(b≠0)中,z 的几何意义是直线 ax+by -z=0 在 y 轴上的截距. ( ×)

(6)(2013· 课标全国Ⅱ卷改编)设 x,y 满足约束条件 ?x-y+1≥0, ? ?x+y-1≥0, ?x≤3, ?

则 z=2x-3y 的最小值是-6.

(√ )

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[感悟·提升] 1 . 确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用 “ 直

线定界,特殊点定域”的方法.
2.求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直 线过可行域且在 y 轴上截距最大时, z 值最大,在 y 轴截距 最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截 距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.

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考点一

二元一次不等式(组)表示的平面区域

? ?x≥0, ?y≥0, 【例 1】 (1)直线 2x+y-10=0 与不等式组? ?x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20 示的平面区域的公共点有( ).



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A.0 个 C.2 个

B.1 个 D.无数个

?2x+y-6≤0, ? (2)(2014· 济南模拟)不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2 ? 的面积为( A.4 C.5 ). B.1 D.无穷大

表示的平面区域

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解析

(1)由不等式组画出平面区域如图(阴影部分).

4 直线 2x+y-10=0 恰过点 A(5,0), 且其斜率 k=-2<kAB=- , 3 即直线 2x+y-10=0 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0).

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?2x+y-6≤0, ? (2)不等式组 ?x+y-3≥0, ?y≤2 ?

表示的平面区域如图所示 (阴影

部分),△ABC 的面积即为所求.

求出点 A,B,C 的坐标分别为(1,2),(2,2),(3,0),则△ABC 的 1 面积为 S= ×(2-1)×2=1. 2 答案 (1)B (2)B
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规律方法

二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组

中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分,画出平面区
域的关键是把各个半平面区域确定准确,其基本方法是“直 线定界、特殊点定域”.

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? ?x-y≥0, ?2x+y≤2, 【训练 1】 若不等式组? ?y≥0, ? ?x+y≤a 三角形,则 a 的取值范围是(
?4 ? A.?3,+∞? ? ? ? 4? C.?1,3? ? ?

表示的平面区域是一个

).

B.(0,1]
?4 ? D.(0,1]∪?3,+∞? ? ?

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解析

?x-y≥0, ? 不等式组 ?2x+y≤2, ?y≥0 ?

表示的平面区域如图 ( 阴影部

分),求 A,B

? 2 2? 两点的坐标分别为?3,3?和(1,0),若原不等式组表 ? ?

示的平面区域是一个三角形,则直线 x+y=a 的 a 的取值范围 4 是 0<a≤1 或 a≥ . 3

答案 D
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考点二 线性目标函数的最值 【例 2】 (1)(2013· 天津卷)设变量 x,y 满足约束条件

?3x+y-6≥0, ? ?x-y-2≤0, ?y-3≤0, ? ( ).

则 目 标 函 数 z = y - 2x 的 最 小 值 为

A.-7 C.1

B.-4 D.2

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(2)(2013·新 课 标 全 国 Ⅰ 卷 ) 设 x , y 满 足 约 束 条 件
? ?1≤x≤3, ? ? ?-1≤x-y≤0,

则 z=2x-y 的最大值为________.

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解析

(1)由x,y满足的约束条件可画出所表示的平面区域为

如图所示的△ABC,作出直线y=2x ,经过平移得目标函数 z

= y - 2x 在点 B(5,3) 处取得最小值,即 zmin = 3 - 10 =- 7. 故选
A.

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(2)约束条件所表示的可行域为四边形ABCD(如图) ,由z=2x
-y,得y=2x-z.-z的几何意义是直线y=2x-z在y轴上的截 距,要使z最大,则-z最小,所以当直线y=2x-z过点A(3,3) 时,z最大,最大值为2×3-3=3.

答案 (1)A (2)3
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规律方法

(1)求目标函数最值的一般步骤为:一画、二移、

三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.
(2)在约束条件是线性的情况下,线性目标函数只有在可行域 的顶点或者边界上取得最值.在解答选择题或者填空题时可 以根据可行域的顶点直接进行检验.

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【训练 2】 (2013· 浙江卷)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足 ?x+y-2≥0, ? ?x-2y+4≥0, ?2x-y-4≤0. ?

若 z 的最大值为 12, 则实数 k=________.

解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC,其中点 A(4,4),B(0,2),C(2,0).目标函数 z=kx+y,化为 y=-kx+z. 1 1 当-k≤2,即 k≥-2时,目标函数 z=kx+y 在点 A(4,4)取得最 大值 12,故 4k+4=12,k=2,满足题意;

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1 1 当-k> 即 k<- 时,目标函数 z=kx+y 在点 B(0,2)取得最大值 2 2 12,故 k· 0+2=12,无解,综上可知,k=2.

答案 2

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考点三 线性规划的实际应用 【例3】 (2013·湖北卷)某旅行社租用A,B两种型号的客车

安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人
和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求 租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金 最少为( A.31 200元 ). B.36 000元

C.36 800元

D.38 400元

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审题路线

确定问题属于线性规划问题?设A,B两种型号车

辆的数量为x,y,租金为z?读题,列出线性约束条件及目标 函数?画出可行域?把目标函数变形,平移,确定最小值经 过的点?解两直线的交点?点代入目标函数可得.

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解析 设旅行社租用 A 型客车 x 辆,B 型客车 y 辆,租金为 z, ? ?x+y≤21, ?y-x≤7, 则线性约束条件为? ?36x+60y≥900, ? ?x、y∈N,

目标函数为 z=1 600x

+2 400y.画出可行域:如图中阴影部分所示,可知目标函数过 点(5,12)时,有最小值 zmin=36 800(元).

答案

C
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规律方法

含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到

制约求解目标的两个变量,用这两个变量建立可行域和目标 函数,在解题时要注意题目中的各种相互制约关系,列出全 面的制约条件和正确的目标函数.

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【训练 3】

某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过

50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产

量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价

黄瓜 韭菜

4吨 6吨

1.2万元 0.9万元

0.55万元 0.3万元

为使一年的种植总利润 ( 总利润=总销售收入-总种植成本 ) 最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( A.50,0 B.30,20 ).

C.20,30

D.0,50
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解析 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,则总利润 z= 4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此时 x,y 满足条件
? ?x+y≤50, ? ? ?1.2x+0.9y≤54,

画出可行域如图,得最优解为 A(30,20),故

选 B.

答案 B
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1.平面区域的画法:线定界、点定域(注意实虚线). 2.求最值:求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将 a z 函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y=-bx+b,通过求直 z 线的截距b的最值间接求出 z 的最值.最优解在顶点或边界取 得.

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3.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最 好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件;写 出要研究的函数,转化成线性规划问题.

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思想方法 7——利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值

?x+y-3≥0, ? 【典例】 已知实数 x,y 满足?x-y+1≥0, ?x≤2. ? y (1)若 z=x,求 z 的最大值和最小值; (2)若 z=x2+y2,求 z 的最大值和最小值.

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?x+y-3≥0 ? 解 不等式组?x-y+1≥0 ?x≤2 ?

表示的平面区域如图所示, 图中的

阴影部分即为可行域.易得 A(1,2),B(2,1), M(2,3). y y-0 (1)∵z=x= ,∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的 x-0 1 斜率,观察图形可知 zmax=kOA=2,zmin=kOB=2. 1 所以 z 的最大值为 2,最小值为2.

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(2)过原点(0,0)作直线 l 垂直于直线 x+y-3=0,垂足 N,则直 线 l 的方程为 y=x,
? ?x+y-3=0, 由? ? ?y=x,



?3 3? N?2,2?, ? ?



?3 3? N?2,2?在线段 ? ?

AB 上,也在可行域内.

观察图象可知, 可行域内点 M 到原点的距离最大, 点 N 到原点 的距离最小,又|OM|= 13,|ON|=


9 2,

9 9 2 2 2 2 ≤ x +y ≤ 13,∴ ≤x +y ≤13. 2 2

9 ∴z 的最大值为 13,最小值为2.
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[反思感悟]

(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线

性目标函数的最值的求法.
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标 函数赋于一定的几何意义. (3)本题错误率较高.出错原因是,很多学生无从入手,缺乏 数形结合的应用意识,不知道从其几何意义入手解题.

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【自主体验】 (2012· 福建卷)若函数 y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束条件 ?x+y-3≤0, ? ?x-2y-3≤0, ?x≥m, ? 1 A. 2 3 C.2

则实数 m 的最大值为(

).

B.1 D.2

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解析

在 同 一 直 角 坐 标 系 中 作 出 函 数 y = 2x 的 图 象 及 所表示的平面区域,如图阴影部分所示.

? ?x+y-3≤0, ? ? ?x-2y-3≤0

如图可知,当 m≤1 时, 函数 y=2x 的图象上存在点(x,y)满足约束条件,故 m 的最大值 为 1.

答案 B
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