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球的性质(第二课时) 学案 高中数学 选修4-1 苏教版

1.3.1 球的性质(第二课时) 自主整理 1.若平面 α 与球 O 相切,切点为 M,则平面 α 内经过 M 的直线都与球 O___________,平面 α 内不经过 M 的直线都与球 O_____________. 2.从球外一点可以引球的__________条切线,所有的切点组成球的一个___________. 3.球外一点向球引的切线长相等. 4.圆柱面与球相切, 切点组成球的____________, 该大圆所在平面与圆柱的轴____________. 5.圆锥面与球相切, 切点组成一个球的__________, 该小圆所在的平面与圆锥的轴_________. 高手笔记 1.如何判定直线与球的位置关系? 答:设球心 O 到直线 l 的距离为 d,球的半径为 R,则 ①若 d>R,则直线与球相离; ②若 d=R,则直线与球相切; ③若 d<R,则直线与球相交. 2.过球面上一点 M,如何作出球的切线?切线有多少条? 答:只需连结 OM(即球的半径) ,然后过 M 点作直线 l⊥OM 即可得直线 l 与球相切.这样 的切线 l 有无数条,它们的集合恰好是过 M 点球的切面. 3.球与圆柱面相切和球与圆锥面相切有什么相同点和不同点呢? 答:不同点:球与圆柱面相切,切点组成大圆, 球与圆锥面相切,切点组成小圆. 相同点:切点都组成一个圆,且该圆都与圆柱面或圆锥面的轴垂直. 名师解惑 1.过球外一点引球的切线,则切线长如何求? 剖析:设球心 O 到球外一点 P 的距离为 d,球的半径为 R,则切线长 PT= d 2 ? R 2 . 2.若球与圆柱面相切,对于圆柱面上任意一点 P,点 P 所在的母线 l′与球切于点 C′,则 PC′ 是球的一条切线,若从 P 向球任引一条切线 PT,切点为 T,则 PT 与 PC′有什么关系? 剖析:PT=PC′. 3.若球与圆锥面相切,则从圆锥面上任取一点 B,过 B 点的圆锥的母线 VB 与球切于 S,过 B 作球的切线 BT,切点为 T,则这条切线有什么性质? 剖析:这样的切线 BT 能作无数条,但 BS 是所有从 B 引出的球 O 的切线中唯一的在圆锥面 上的切线,且有 BT=BS. 讲练互动 【例 1】求证:若平面 α 与球 O 相切,切点为 M,则平面 α 内经过 M 的直线都与球 O 相切, 平面 α 内不经过 M 的直线都与球 O 相离. 图 1.3-11 分析:要证明直线与球面相切,只须证明 d=R;要证明直线与球面相离,只须证明 d>R. 证明:如图 1.3-11,因为平面 α 与球 O 相切于点 M,所以 OM⊥平面 α. 设平面 α 内的直线 a 经过 M,则 OM⊥直线 a,即 OM 是点 O 与直线 a 的距离.所以直线 a 与球相切. 而对于平面上不过 M 的直线 b,作出 O 与直线 b 的距离 ON,由于 ON>OM,故 b 与球 O 相离. 绿色通道 本题除了利用 d 与 R 的大小关系来判断直线与球的位置这个方法之外,也可以利用直 线与球面的交点的个数来判断直线与球的位置关系;具体方法如下:由于平面 α 与球 O 只 有唯一公共点 M,平面 α 内的点除 M 外都在球 O 外,故直线 a 上的点除 M 在球上外,其 余的点都在球外,即直线与球只有唯一公共点,故直线与球相切.而平面 α 内不过 M 的直线 上所有的点都在球 O 外,故直线与球 O 相离. 变试训练 1.求证:当直线 l 与球 O 相离时,经过 l 可以作一个平面与球 O 相切. 证明:过 O 作 OA⊥l, 垂足为 A, 设 l 与 O 点确定的平面为 α, 过 OA 与 α 垂直的平面设为 β, 过 A 点在 β 内作球的切线 AB,切点为 B,则 l 与 AB 确定的平面 γ 即与球相切,下面证明 这一点: 因为 l⊥AO 且 l⊥AB,故 l⊥平面 β, 又∵l γ, ∴β⊥γ,过 O 作平面 γ 的垂线,垂足一定在 β 与 γ 的交线 AB 上,由上面的作法知,垂足为 B 且 B 在球面上,故球心到平面 γ 的距离 d=OB=R. 即 d=R,故平面 γ 与球 O 相切.(如图所示) 【例 2】求证:圆柱面与球相切,切点组成球的大圆,该大圆所在的平面与圆柱的轴垂直. 分析:利用圆柱面与球的形成过程证明. 图 1.3-12 证明:如图 1.3-12,如果取一个半圆 O,并过与半圆直径 AB 垂直的半径 OC 外端作半圆的 切线 l.这时,半圆与直线 l 绕 AB 旋转就分别得一个球和一个圆柱,直线 l 不论旋转到什么 位置都与球相切,而且过切点的球半径始终与轴 AB 垂直,从而所有的切点都在过球心 O 且与轴 AB 垂直的平面上,即切点组成了球的大圆,且该大圆所在的平面与圆柱的轴垂直. 这时圆柱面与球相切. 绿色通道 本题的证明方法是利用平面内的直线与半圆相切, 然后通过旋转, 把平面内的相切推广 到空间中的相切关系. 变试训练 2.求证:圆锥面与球相切,切点组成一个球的小圆,该小圆所在平面与圆锥的轴垂直. 证明:如图所示, 如果取一个半圆 O, 并过与半圆直径不垂直的半径 OP 外端作半圆的切线 l′, 这时,半圆与直线 l′绕半圆直径所在直线 l 旋转就分别得一个球和一个圆锥面,直绕 l′不论 旋转到什么位置都与球相切,过 P 点作 l 的垂面 π′,设平面 π′与 l 的交点为 Q,则 PQ⊥l, 当点 P 绕 l 旋转时,由于 PQ 始终与 l 垂直,从而 PQ 始终在平面 π′内运动,从而切点 P 的 轨迹是平面 π′内到定点 Q 距离等于定长 PQ 的轨迹,即为一个在平面 π′内以 Q 为圆心,PQ 为半径的小圆,且该小圆与圆锥的轴 l 垂直.

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