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04函数及其表示方法,函数的定义域


04
【考点要求】

函数及其表示、函数的定义域
考试大纲要求

内容 函数概念 函数定义域 【知识梳理】 1. 函数的基本概念

A

B
★ ★

C

⑴函数的定义 设 A,B 是两个非空的______,如果按照某种对应法则 f,使对于集合 A 中的每一个元素 x,在集合 B 中都有________的元素 y 和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函 数,记作______________. ⑵函数的定义域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的________. ⑶函数定义域的求法: ①y?

f ( x) ,则 g ( x)
0



②y?

2n

f ( x) (n ? N * ) 则



③ y ? [ f ( x)] ,则

; ④ y ? log f ( x ) g ( x) ,则



⑷函数的三要素:________、________和____________. ⑸相等函数:如果两个函数的________和____________完全一致,则这两个函数相等,这 是判断两函数相等的依据. 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有:________、________、________. 3.映射的概念 设 A、B 是两个非空集合,如果按某一种对应法则 f,对于 A 中的每一个元素,在 B 中都 有________确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的________. 4.函数与映射的关系 由映射的定义可以看出,映射是________概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构 成函数的两个集合 A,B 必须是非空数集. 【基础训练】 1.已知函数 f ( x) ? ax ? b ,且 f (?1) ? ?4 , f (2) ? 5, 则f (0) ? _________ .

2.设 f : x ?x 是集合 A 到 B (不含 2)的映射,如果 A ? ?1, 2? ,则 A ? B ? ________ .
2

3.函数 y ?

4 ? x 2 的定义域是____________.

4.函数 y ? log 2 x ?1 (3x ? 2) 的定义域是____________. 5.函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 3 ? log 2 ( x ? 2) 的定义域是____________.

6.已知 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 1 ,则 f ( x) 的解析式为 ____________. 【典型例题】 【例 1】设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 ,函数 g ( x) ? 3x ? 5 ,求 f ( g ( x)) , g ( f ( x)) .

2 ?x +bx+c(x≤0) ? 【例 2】设函数 f(x)=? ,若 f(-2)=f(0),f(-1)=-3, ?2 (x>0) ?

求关于 x 的方程 f(x)=x 的解.

【例 3】如图,在直角三角形 ABC 中,∠B=30° ,AC=a,设有动点 P、Q 同时从 A 点出发, 沿三角形周界运动,若点 P 沿 A→B→C 方向运动,点 Q 沿 A→C→B 方向运动,到相遇为 止.已知点 Q 运动的速度为点 P 运动速度的 3 倍,设 AP=x,AP,AQ 与 PQ 所围成的图形 的面积为 y. ⑴求 P、Q 相遇时 x 的值; ⑵试求以 x 为自变量的函数 y 的解析式.

【随堂练习】 m 1.已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则 的值为____________. M 2. 定义在区间(-1,1)上函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 则 f(x)解析式为____________. 3.函数 y= 2x-x2的定义域是____________.
? ?a(a<b), ?1 ? 4.对 a,b∈R,记 min{a,b}=? 函数 f(x)=min?2x,-|x-1|+2? (x∈R)的最大 ? ? ?b(a≥b), ?

值为____________. 【课后检测】 1.设函数 f1(x)=x 2 ,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则 f3 ? f 2 ( f1(2 007))? =____________. 2.函数 f(x)= 3.若 f(x) = ? 4.已知 f(
1

| x ? 2 | ?1 的定义域为____________. log 2 ( x ? 1)
( x ? 6) ( x ? 6)

? f ( x ? 3) ?log2 x

,则 f(?1)的值为____________.

1? x 1? x2 ,则 f(x)的解析式为____________. )? 1? x 1? x2

5.函数 f(x) =

3x 2 1? x

+ lg (3x+1)的定义域是____________. .
1 3

6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy (x,y∈R),f(1) = 2,则 f(?3) =

7.已知函数 ? (x) = f(x) + g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 的反比例函数,且 ? ( )=16,

? (1) = 8,则 ? (x) =____________.

?x2+bx+c, x≤0, ? 8.设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的 ?2, x>0. ?

个数为____________.
? ?x-1,x>0, 9.已知 f(x)=x2-1,g(x)=? ?2-x,x<0, ?

⑴求 f[g(2)]和 g[f(2)]的值; ⑵求 f[g(x)]和 g[f(x)]的表达式.

10.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费 150 元,未 租出的车每辆每月需要维护费 50 元.? ⑴当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车?? ⑵)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少??


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