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高中数学第二章变化率与导数22导数的概念及其几何意义导数的概念教案北师大版选修2 2(数学教案)


§2 导数的概念及其几何意义 导数的概念 一、教学目标:1、知识与技能:通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化 率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法:①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体 会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感、态度与价值观:通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念不再困难, 从而激发学生学习数学的兴趣. 二、教学重点:了解导数的概念及求导数的方法。 教学难点:理解导数概念的本质内涵 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:设函数 y ? f ( x) ,当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f ( x0 ) 变到 f ( x1 ) , 函数值 y 关于 x 的平均变化率为 ?y f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ? ?x x1 ? x0 ?x 当 x1 趋于 x0,即Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值(这个值称为:当 x1 趋于 x0 时,平均变化率的极限) ,那么这个值就是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率。 (二) 、探究新课 在数学上,称瞬时变化率为函数 y ? f ( x) 在点 x0 的导数,通常用符号 f ?( x0 ) 表示,记作 f ?( x0 ) ? lim x1 ? x0 f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 。 ? lim x1 ? x0 ?x ?x ?0 3 例 1、一条水管中流过的水量 y(单位: m )是时间 x(单位:s)的函数 y ? f ( x) ? 3x 。 求函数 y ? f ( x) 在 x=2 处的导数 f ?(2) ,并解释它的实际意义。 解:当 x 从 2 变到 2+Δ x 时,函数值从 3×2 变到 3(2+Δ x) ,函数值 y 关于 x 的平均变化 率为 f (2 ? ?x) ? f (2) 3(2 ? ?x) ? 3 ? 2 3?x ? ? ? 3 ( m 3 /s). ?x ?x ?x -1- 当 x 趋于 2,即Δ x 趋于 0 时, ,平均变化率趋于 3,所以 f ?(2) ? 3 ( m 3 /s). 导数 f ?(2) 表示当 x=2s 时水流的瞬时变化率,即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中 的水以 x=2s 时的瞬时速度流动的话,每经过 1s,水管中流过的水量为 3 m 。 例 2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生产的食品量 y(单位:kg)是其工作时 间x (单位: h) 的函数 y ? f ( x) 。 假设函数 y ? f ( x) 在 x=1 和 x=3 处的导数分别为 f ?(1) ? 4 和 f ?(3) ? 3.5 ,试解释它们的实际意义。 解: f ?(1) ? 4 表示该工人工作 1h 的时候,其生产速度(即工作效率)为 4kg/h,也就是说, 如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产 4kg 的食品。 3 f ?(3) ? 3.5 表示该工人上班后工作 3h 的时候, ,其生产速度为 3.5kg/h,也就是说,如 果保持这一生产速度,那么他每时可以生产出 3.5kg/h 的食品。 例 3、服药后,人体血液中药物的质量浓度 y(单位:μ g/mL)是时间 t(单位:min)的函数 y ? f (t ) , 假 设

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