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第一学期期末考试高一数学(必修2)试卷

高一数学( 高一数学(必修 2)试卷 数学 参考公式: 参考公式:
S球面 = 4πR 2 ( R 表示球半径)
4 V球 = πR 3 ( R 表示球半径) 3

1 V锥体 = Sh ( S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高) 3 1 V台体 = ( S1 + S 2 + S1 ? S 2 )h ( S1 、 S2 表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高) 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题恰有一项是符合题目要求的.) 选择题( 小题, 每小题恰有一项是符合题目要求的. .... 1. 下列命题为真命题的是( )

A. 平行于同一平面的两条直线平行; B.与某一平面成等角的两条直线平行; C 垂直于同一平面的两条直线平行; D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2.若直线 a 不平行于平面 a ,则下列结论成立的是( ) A. a 内的所有直线都与直线 a 异面 B. a 内不存在与 a 平行的直线 C. a 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 a 有公共点 3.垂直于同一条直线的两条直线一定 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能

4.若 A(?2, 3), B(3, ?2), C ( , m) 三点共线,m则 m 的值为( A. 2 C. ?2 D.
1 2

1 2 1 B. ? 2

).

5.直线 2 x + 3 y ? 7 = 0 与直线 5 x ? y ? 9 = 0 的交点坐标是( A. (1,) 2 B. (2, 1) C. (3, 1) D. (1,) 3

).

6.已知直线 l1 : ax + 3 y + 1 = 0 和 l 2 : x + (a ? 2) y + a = 0 ,若 l1 ⊥ l 2 ,则 a 的值为( A.
3 2

).

B. 3

C.

4 3

D. 4 ).

7.直线 kx ? y + 1 ? 3k = 0 ,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A. (1,) 0 B. (0, 1) C. (3, 1) D. (1,) 3 ) D. y = ? x + 1

8.直线 y = 3x + 1 关于 y 轴对称的直线方程为( A. y = ?3 x ? 1 B. y = 3x ? 1 C. y = ?3x + 1

9.一个正方体的各个顶点均在同一个球的球面上,若正方体的边长为 2, 则该球的体积为( A. 4π B. 2π C. 4 3π D.4

).

10.设 m , n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题:

①若 m⊥α , n / /α ,则 m⊥n ; ③若 m / /α , n / /α ,则 m / / n ; 其中正确命题的序号是 ( A.①和④ B.①和② ).

②若 α / / β , β / /γ , m⊥α ,则 m⊥γ ; ④若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α // β .

C.③和④

D.②和③

11.不论 m 为何值,直线(m-1) x +(2m-1) y =m-5 恒过定点 ( ) A.(1,- )
1 2

B.(-2,0)

C.(2,3)

D.(9,-4)

12.直线 x ? 2 y + 1 = 0关于x = 1对称的直线方程是 ( ) A. x ? 2 y + 1 = 0 C. 2 x + y ? 3 = 0 B. 2 x + y ? 1 = 0 D. x + 2 y ? 3 = 0

小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 填空题( 13.已知 a,b 是两条异面直线,c // a,那么 c 与 b 的位置关系是 14..两条平行直线 3x + 4 y = 10 与 6 x + 8 y ? 15 = 0 的距离是 15.直线- x + 3 y ? 6 = 0的倾斜角是 , . 在 y 轴上的截距是 .

16.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中: ① BM 与 DE 平行;② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60° 角;④ DM 与 BN 垂直. 其中,正确命题的序号是______________________.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.) 解答题(本大题共6 70分 解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 分别求满足下列条件的直线方程: (1)过点 (0,?1) ,且平行于 l1 : 4 x + 2 y ? 1 = 0 的直线; (2)与 l 2 : x + y + 1 = 0 垂直,且与点 P(?1,0) 距离为 2 的直线.

18.(本小题满分 12 分) 右图是一个几何体的三视图(单位: cm ). (1)计算这个几何体的体积; (2)计算这个几何体的表面积.

5

15 10 正视图

8 侧视图

俯视图

19、(14 分)已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3),M 是 BC 边上的中点。 (1)求 AM 所在的直线方程;(2)求中线 AM 的长

20. 20.(本小题满分 16 分) 如图,已知矩形 ABCD 中, AB = 10 , BC = 6 ,将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且
A1O ⊥ 平面BCD .
A1

(1)求证: BC ⊥ A1 D ;
D

O C

(2)求证: 平面A1 BC ⊥ 平面A1 BD ; (3)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.
A B

21. 21.(本小题满分 16 分) 已知长方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 的高为 2 ,两个底面均为边长为1 的正方形.
A1

(1)求证: BD // 平面A1 B1C1 D1 ; (2)求异面直线 A1C 与 AD 所成角的大小;
B1 C1

D1

(3)求二面角 A1 ? BD ? A 的平面角的正弦值.
A D

B

C

2009~2010 学年度高一数学 高一数学第一学期 2009 2010 学年度高一数学第一学期 期末考试参考答案 小题, 每小题恰有一项是符合题目要求的. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题恰有一项是符合题目要求的.) 选择题( .... 1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.C 10.D

小题, 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 填空题( 11.
19

12.

1 2

13. ( x + 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 4

14. ③④

小题, 解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.) 解答题( 15.解 15.解:(1)Q 平行于 l1 ,
∴ 斜率为 ? 2 ,

又过点为 (0,?1) , ∴ 由点斜式可得直线方程为 y + 1 = ?2( x ? 0) , 即 2 x + y + 1 = 0 . ………………………………………………………………………6 分 (2)Q 直线与 l 2 垂直,可设直线方程为 x ? y + m = 0 , 点 P(?1,0) 到直线距离 d =
= 2, 解得 m = 3或m = ?1 , 2 所以所求直线方程为 x ? y + 3 = 0 或 x ? y ? 1 = 0 . …………………………………12 分 ?1+ m

16.解 ( , 16.解:(1)因为 V长方体 = 10 × 8 × 15 = 1200 cm 3) 又 V半球
1 4 1 4 125 ?5? = × πR 3 = × π × ? ? = π cm 3 , 2 3 2 3 12 ?2?
125 ? π ? cm 3 . …………………6 分 12 ?
3

(

)

所以所求的几何体体积 V = V长方体 + V半球 = ?1200 + ?
?

(

)

( , (2)因为 S 长方体 = 2 × (10 × 8 + 8 × 15 + 10 × 15) = 700 cm 2)
S 半球 1 1 25 25 ?5? ?5? = × 4πR 2 = × 4π × ? ? = π(cm 2) S 半球底 = πR 2 = π ? ? = π(cm 2) , , 2 2 2 4 ?2? ?2? 25 25 25 π ? π = 700 + π)(cm 2) ( . 2 4 4
2 2

所以 S = S 长方体 + S 半球 ? S 半球底 = 700 +

……12 分
A1

17.证明: 17.证明:(1)Q A1O ⊥ 平面BCD,BC ? 平面BCD ,∴ A 1O ⊥ BC , 证明
又 Q CD ⊥ BC,A 1O I CD = O , ∴ BC ⊥ 平面A 1OD , ∴ BC ⊥ A 1 D . Q A 1 D ? 平面A1OD ,
B D O C

A …………………………………………5 分

(2)由(1)知: BC ⊥ A 1 D ,
∴ A1 D ⊥ 平面A1 BC , ∴ 平面A1 DB ⊥ 平面A 1 BC .

又Q A1 B ⊥ A1 D,A 1B I BC = B ,
Q A 1 D ? 平面A1 DB ,

…………………………………………………………………10 分
Q A1C ? 平面A 1 BC ,

(3)由(2)知: A 1 D ⊥ 平面A 1 BC ,
∴ A 1 D ⊥ A 1C ,

∴ A1C = 10 2 - 6 2 = 8 ,

1 1 ∴ VA1 -BCD = VD ? A1BC = × × 6 × 8 × 6 = 48 . 3 2

………………………………………………14 分

18.证明: 18.证明:(1)连结 B1 D1 , 证明

Q A1 B1C1 D1 ? ABCD 是长方体,

∴ B1 B//D1 D且B1 B = D1D ,∴四边形B1 BDD1为平行四边形 , ∴ BD//B1D1 ,Q B1D1 ? 平面A 1 B1C1D1 , BD ? 平面A 1B1C1D1 , ∴ BD//平面A1 B1C1 D1 .

……………………………………………………………………4 分

(2)由长方体的性质得: AD//A1 D1 , ∴ ∠CA 1 D1 或其补角是异面直线 A1C 与 AD 所成角.
A1

连结 D1C ,Q A 1D1 ⊥ 平面D1 DCC1 ,

∴ A 1 D1 ⊥ D1 C ,
B1 C1

D1

A O B C

D

在 Rt?A1 D1C 中, A 1 D1 = 1 , CD1 = CD 2 + D1 D 2 = 3 ,
∴ tan ∠CA 1 D1 = CD1 = 3, A 1 D1
∴ ∠CA1 D1 = 60 0 ,

即异面直线 A1C 与 AD 所成角为 60 0 .

……………………………………………………9 分
∴ AC ⊥ BD ,连结 A 1O ,

(3)连结 AC ,设 AC 与 BD 交于 O , Q四边形ABCD为正方形 ,

Q A 1 A ⊥ 平面ABCD ,则 BD ⊥ A 1O , ∴ ∠A1OA 是二面角 A1 ? BD ? A 所成角的平面角,
? 2? 2 在 Rt?A1 AO 中,Q A1A = 1, AO = ,∴ A1O = AO 2 + AA12 = ? ? + ? 2 ? 2 ? ?
∴ sin ∠A1OA =
2

( 2)

2

=

10 , 2

AA1 2 5 2 5 = ,所以二面角 A1 ? BD ? A 所成角的平面角的正弦值为 . A1O 5 5

…………………………………………………………………………………………………14 分 19.解 19.解:(1)方法一:以 EF 所在的直线为 x 轴,以 MN 所在的直线为 y 轴,以 1 m 为单位长度建立直角坐标 系,则有 E (?3 3 ,0) , F (3 3,0) , M (0,3) ,
y M

由于所求圆的圆心在 y 轴上,所以设圆的方程为 x 2 + ( y ? b) 2 = r 2 , ∵ F (3 3,0) , M (0,3) 都在圆上,
?(3 3 ) 2 + b 2 = r 2 ? ∴? ?0 2 + (3 ? b )2 = r 2 ?
x E O F

解得 b = -3 , r 2 = 36 ,

A

B

N

C

D

所以圆的方程是 x 2 + ( y + 3)2 = 36 .

……………………………………………………7 分

方法二:以 EF 所在的直线为 x 轴,以 MN 所在的直线为 y 轴,以 1m 为单位长度建立直角坐标系. 设所求圆的圆心为 G,半径为 r,则点 G 在 y 轴上, 在 Rt △ GOE 中, OE = 3 3 , GE = r , OG = r - 3 , 则由勾股定理得: r 2 = (3 3 ) + (r ? 3)2
2

解得: r = 6 ,

则圆心 G 的坐标为 (0, 3) ,所以圆的方程是 x 2 + ( y + 3)2 = 36 . ? (2)设限高为 h ,作 CP ⊥ AD 交圆弧于点 P ,则 CP = h + 0.5 , 将点 P 的横坐标 x = 11 代入圆的方程,得 ( 11) 2 + ( y + 3)2 = 36 , 得 y = 2或y = ?8(舍) , 所以 h = CP - 0.5 = (y + DF ) - 0.5 = 3.5(m) . 答:车辆的限制高度为 3.5m. ……………………………………………………………………14 分

20.解 20.解:(1)由判别式 D 2 + E 2 ? 4 F > 0 ,得 D 2 + E 2 ? 4 F = 4 + 16 ? 4m > 0 , ∴ m < 5 ,圆心坐标为 (1,2) ,半径长 r = 5 ? m . (2)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,由 OM ⊥ ON , ………………………………………5 分

y1 y2 ? = ?1 ,即 x1 x2 + y1 y2 = 0 . x1 x2

将直线方程 x + 2 y ? 4 = 0 与曲线 C : x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + m = 0 联立并消去 y , 得 5 x 2 ? 8 x + 4m ? 16 = 0 ,
1 2

由韦达定理,得 x1 + x 2 = ①,

8 5

x1 x2 =

4m ? 16 ②, 5

又由 x + 2 y ? 4 = 0 得 y = ( 4 ? x ) ,

∴ x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + 1 ( 4 ? x1 ) ? 1 ( 4 ? x2 ) =
2 2

5 x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 4 = 0 , 4

将①、②代入得 ?

5 4m ? 16 8 ? +4 = 0, 4 5 5

解得 m = .

8 5

……………………14 分


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