当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省长阳一中2015-2016学年度高二数学上学期期末考试试题 理

2015-2016 学年上学期高二期末数学(理)试题
时间:120 分钟 一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 某单位有老人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的,需从他们中间抽取一个容量为 36 样本,则年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是 ( A.6,12,18 2.直线 A. B.7,11,19 ) D. C.6,13,17 ) D.7,12,17
? y ≤ x ? 1? ? y ≤ ? | x | ?1? ? ? 10.已知平面区域 ? ? {( x , y ) ? y ≥ 0 ? , M ? {( x , y) ? ? ,向区域 ? 内随机投一点 P ,点 P 落在区域 M ?y≥0 ? ? x ≤1 ? ? ?

总分:150 分

x+3y+1=0 的倾斜角是( B.

? 6

? 3
B. 11

C.

2? 3

5? 6
) D. 123 ( )

3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( A. 3 C. 38

内的概率为( A.
1 4

) B.
1 3

C.

4.设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列说法正确的是 A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l∥β B.若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β )

1 2

D.

2 3

11.在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 AB= A.60° B.90° C.75°

,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为( D.105°

)

5.以两点 A(?3, ?1) 和 B(5,5) 为直径端点的圆的方程是( A. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 100

12.双曲线的中心在坐标原点 O,A、C 分别为双曲线虚轴的上、下顶点,B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点, 直线 AB 与 FC 相交于 D,若双曲线离心率为 2,则 ? BDF 的余弦值为( A. 个四棱锥的侧面积 二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) )

B. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 100

7 7

B.

2 7 7

C.

7 14

D.

5 7 14

6.如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这 为 ( A.2 ) B.6 C. 2( 2 ? 3) ) D. 2( 2 ? 3)+2

13.右表是某单位 1-4 月份水量(单位:百吨)的一组数据:由散点图可知, 用水

7. 下列命题中是错误命题的个数有( ①对立事件一定是互斥事件;

? ? ?0.7 x ? a , 量 y 与月份 x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是 y
由此可预测该单位第 5 个月的用 水量是 百吨.

②A、B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件 A、B、C 两两互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件 A、B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件. 8.下列说法正确的是(
2

14.已知 O(0,0,0),A(﹣2,2,﹣2),B(1,4,﹣6),C(x,﹣8,8),若 OC⊥AB,则 x=__________;若 O、A、B、C 四点共面,则 x=__________. 15.已知抛物线 y ? ?4x 的焦点 F 和点 A(3, ?3) ,P 为抛物线上一点,则 PA ? PF 的最小值等于_____________.
2


2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” B.若命题 p : ?x ? R, x ? 2 x ?1 ? 0 ,则命题 ?p : ?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0
2 2

16.如右图,设 A、B、C、D 是半径为 1 的球面上的四个不同点,且满足 AB ? AC ? 0 ,

??? ? ??? ?

C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 D.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件
2

??? ? ???? ???? ??? ? AC ? AD ? 0 , AD ? AB ? 0 ,用 S1、S2、S3 分别表示△ ABC 、△ ACD 、△ ABD 的面积,则
S1 ? S2 ? S3 的最大值是
) .

9.方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是(
2

2

2

三、解答题(本题共 6 道小题,第 1 题 10 分,第 2 题 12 分,第 3 题 12 分,第 4 题 12 分,第 5 题 12 分,第 6 题 12 分,共 70 分)

1

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q :双曲线 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) , 2m m ? 1 5 m 若 p, q 只有一个为真,求实数 m 的取值范围.
17.已知命题 p :方程 18.已知直线 l1:3x+4y﹣2=0 和 l2:2x﹣5y+14=0 的相交于点 P.求: (1)过点 P 且平行于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程; (2)过点 P 且垂直于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程.

22.在直角坐标系 xoy 上取两个定点 A1(﹣2,0),A2(2,0),再取两个动点 N1(0,m),N2(0,n),且 mn=3. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 A(1,t)(t>0)是轨迹 M 上的定点,E,F 是轨迹 M 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率 kAE 与直线 AF 的斜率 kAF 满足 kAE+kAF=0,试探究直线 EF 的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.

19.某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50, 60),第二组[60,70),?,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 60 且小于 80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数; (2)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m、n,求事件 “|m﹣n|>10”概率.

2015-2016 学年上学期高二期末数学(理)试题试卷答案 1.A 13.1.75 2.D 3.B 4.B 14.16; 8 5.A 6.C 15.5 7.D 8.C 16.2 9.A 10.C 11.B 12.C

17.若 P 真,则 1 ? m ? 2m ? 0 ,解得 0 ? m ? 若 q 真,则 1 ?

5? m ? 4 ,解得 0 ? m ? 15 ????4 分 5 1 ? ?0 ? m ? 若 p 真 q 假,则 ? ,解集为空集;????7 分 3 ? ?m ? 0或m ? 15
20.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x ?

1 ????2 分 3

y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上.

y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值.

1 ? 1 ?m ? 0或m ? p 假 q 真,则 ? 3 ,解得 ? m ? 15 ????9 分 3 ? ?0 ? m ? 15 1 故 ? m ? 15 ????10 分 3
18.解:由 解得 ,即点 P 坐标为 P(﹣2,2),直线 2x﹣y+7=0 的斜率为 2?4 分

21. 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为蓌形,PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60°,E 是 BC 的中点,F 是 PC 上的一点. (1)若 PB∥平面 AEF,试确定 F 点位置;

(1)过点 P 且平行于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程为 y﹣2=2(x+2)即 2x﹣y+6=0;??8 分 (2)过点 P 且垂直于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程为 即 x+2y﹣2=0.??12 分

6 (2)在(1)的条件下,若直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为 ,求二面角 E-AF-C 的余弦值. 4

19.解:(1)由直方图知,成绩在[60,80)内的人数为:50×10×(0.018+0.040)=29.所以该班在这次数学测试 中成绩合格的有 29 人.??????????6 分 (2)由直方图知,成绩在[50,60)内的人数为:50×10×0.004=2,设成绩为 x、y 成绩在[90,100]的人数为 50×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c, 若 m,n∈[50,60)时,只有 xy 一种情况, 若 m,n∈[90,100]时,有 ab,bc,ac 三种情况, 若 m,n 分别在[50,60)和[90,100]内时,有

x y

a xa ya

b xb yb

c xc yc

共有 6 种情况,所以基本事件总数为 10 种, 事件“|m﹣n|>10”所包含的基本事件个数有 6 种

2


2

.????????????12 分

设 Q(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 交点,①×②得 由 mn=3 整理得 ??????????????5 分

20.解(1)曲线 y ? x ? 6x ? 1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为( 3 ? 2 2,0), (3 ? 2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32 ? (t ? 1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 , 解得 t=1.
2 2 2 2 则圆 C 的半径为 3 ? (t ? 1) ? 3. 所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9. ??6 分

∵N1,N2 不与原点重合∴点 A1(﹣2,0),A2(2,0)不在轨迹 M 上, ∴轨迹 M 的方程为 (x≠±2)??????????6 分 解得 ,代入 ,即点 A 的坐标为 并整理得 ??7 分

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),其坐标满足方程组:

? ? x ? y ? a ? 0, 2 2 ,消去 y,得到方程 2x ? (2a ? 8) x ? a ? 2a ? 1 ? 0. ? 2 2 ? ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9. 2 由已知可得,判别式 ? ? 56 ? 16a ? 4a ? 0.

(2)∵点 A(1,t)(t>0)在轨迹 M 上∴ 设 kAE=k,则直线 AE 方程为:

a 2 ? 2a ? 1 ① 2 2 由于 OA⊥OB,可得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, 又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a, 所以 2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a ? 0. ② 由①,②得 a ? ?1 ,满足 ? ? 0, 故 a ? ?1. ????????????12 分
因此 x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 x2 ? 21. 解:(1)连结 AF,EF,由 PB∥平面 AEF,PB ? 平面 PBC,平面 PBC∩平面 AEF=EF,所以 PB∥EF.又在△PBC 中, E 是 BC 的中点,所以 F 为 PC 的中点. ???4 分 (2)由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC.又 BC∥AD,因此 AE⊥AD.因为 PA⊥平面 ABCD, AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE.所以 AE,AD,AP 两两垂直.??6 分 以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, 设 AB=2,AP=a,则 A(0,0,0),B( 3 ,-1,0),C( 3 ,1,0), 2,0),P(0,0,a),E( 3 ,0,0),F(

设 E(xE,yE),F(xF,yF),∵点

在轨迹 M 上,



????③,

④????????9 分

又 kAE+kAF=0 得 kAF=﹣k,将③、④式中的 k 代换成﹣k, 可得 ∴直线 EF 的斜率 , ??????????10 分 ∵

D(0,
( 3,

3 1 a , , ),所以 PB = 2 2 2

-1,-a),且 AE =( 3 ,0,0)为平面 PAD 的法向量,设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为θ ,由 sinθ =|cos< PB ,



AE >|=

| PB? AE | | PB | ? | AE |

=

3 4 ? a2 3

=

6 4

????8 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为 ??????????12 分

3 1 , ,1) 2 2 ?? ??? ? ? 3x1 ? 0, ?? ? m ? AE ? 0 ? ? 设平面 AEF 的一法向量为 m =(x1,y1,z1),则 ? ?? ??? ,因此 ? 3 , ? 1 x ? y ? z ? 0 m ? AF ? 0 ? ? ? 1 1 1 ? 2 2 ?? 取 z1=-1,则 m =(0,2,-1), ????10 分 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面 AFC,故 BD 为平面 AFC 的一法向量.又 BD =(- 3 ,3,0),所以 ?? ??? ? ?? m ? BD 2?3 15 cos< m , BD >= ?? ??? . ?? ? 5 | m | ?BD 5 ? 12
解得 a=2 所以? AE =( 3 ,0,0),? AF =( 因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

????12 分

22.解:(1)依题意知直线 A1 N1 的方程为: 直线 A2N2 的方程为:

①??????1 分

②????????????2 分

3


更多相关标签: