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3.1.1空间向量及其加减运算_图文

3.1空间向量及其运算

问题 1: C
向上
B
正北
O 正东 A

如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=

问题 2:

F2 F3

已知F1=10N, F2=15N,F3=15N
这三个力两两之间
的夹角都为90度, 它们的合力的大小
为多少N?
F1

这需要进一步来认识空间中的向量

一、复习回顾:平面向量

1、定义: 既有大小又有方向的量。

几何表示法: 用有向线段表示

字母表示法:

用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。

a

AB B

A

相等向量:长度相等且方向相同的向量

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则

b a?b
a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律:a ? b ? b ? a
加法结合律:(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律: ?(a ? b) ? ?a ? ?b

4.推广:
(1)首尾相接的若干向量之和, 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量; A1A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ??? An?1An ? A1An
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为: 零向量 A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ??? An A1 ? 0

二、空间向量的有关概念
1.空间向量:在空间中,具有大小和方向的量.
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
2.向量 a 的大小叫做.向量的长度或模,记为 a

3.可用一条有向线段 AB 来表示向量,

向量 AB 的模又记为 AB .

B 终点

c a

起点 A

b

4.零向量:
规定:长度为0的向量叫做零向量,记作: 0
当有向线段的起点A与终点B重合时,AB ? 0
5.单位向量: 模为1的向量称为单位向量
6.相反向量:与向量 a 长度相等而方向相反的 向量,称为 a 的相反向量。
记作: ? a
7.相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量
因此,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等向量。 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一 平面内的两个向量。

三、空间向量加减与数乘运算

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零

空间向量
具有大小和方向的量

加法交换律 a ? b ? b ? a
运 算 加法结合律 律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
数乘分配律
k(a ? b) ? ka+kb

1.空间向量的加减法

b

O

a 2.空间向量的数乘
k a (k>0)

C

a+b

B

A
OB ? OA ? AB
CA ? OA ? OC

三、空间向量加减与数乘运算

平面向量

概念 定义 表示法 相等向量

加法 减法

加法:三角形法则或 平行四边形法则

数乘 减法:三角形法则

运算 数乘:ka,k为正数,负数,零

空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零

运 加法交换律 a ? b ? b ? a 算 加法结合律 律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
数乘分配律
k(a ? b) ? ka+kb

加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律
(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律
?(a ? b) ? ?a+?b

4.推广:
(1)首尾相接的若干向量之和, 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量; A1A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ??? An?1An ? A1An
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为: 零向量 A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ??? An A1 ? 0

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)

用 AB、AD、AA1 表示 A1C DB1 BD1

D1 A1

C1 B1

D A

C B

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)

(1) AB ? BC

D1

C1

(2) AB ? AD ? AA1

(3)

1 3

(AB

?

AD

?

AA1 )

A1 G

B1 M

(4) AB

?

AD

?

1 2

CC1

D

C

A

B

起点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个

向量为棱的平行六面体的以公共起点为起点的对

角线所示向量

F2
F3 F1

F1=10N F2=15N F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1D1 ? C1C ? xAC

D1

A1
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

D

C1 B1
C

A

B

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1D1 ? C1C ? xAC

解(1) AB1 ? A1D1 ? C1C

D1

? AB1 ? B1C1 ? C1C A1

C1 B1

? AC ? x ? 1.

D A

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1

C B

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(2) 2AD1 ? BD1 ? xAC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? xAC1

(2) 2AD1 ? BD1 ? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
? x ? 1.

D1 A1
D

C1 B1
C

A

B

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(3) AC ? AB1 ? AD1 ? xAC1
(3) AC ? AB1 ? AD1
? (AD? AB) ? (AA1 ? AB) ? (AA1 ? AD)
D1
? 2(AD? AB ? AA1)
A1
? 2AC1
?x ? 2. D

C1 B1
C

A

B

练习1

在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD

边的中点,化简

A

(1) AB ? 1 (BC ? BD)

2

(2) AG ? 1 ( AB ? AC)

D

2

B

M

G C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简

A

(1) AB ? 1 (BC ? BD) 2

(2) AG ? 1 ( AB ? AC) 2
D (1)原式=AB ? BM ? MG ? AG

B

M

(2)原式

G =AB ? BM ? MG ? 1 ( AB ? AC)

2

C

=BM ? MG ? 1 ( AB ? AC)

2

=BM ? MG ? MB ? MG

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.

A E

D (1)AC ' ? x(AB ? BC ? CC ' )

B

C

(2)AE ? AA ' ? xAB ? yAD

A B

D C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.

A E

D (1)AC ' ? x(AB ? BC ? CC ' )

B

C

(2)AE ? AA ' ? xAB ? yAD

A B

D C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.

A B

E C

D (2)AE ? AA ' ? x AB ? y AD (3)AF ? AD? x AB ? yAA'

F

A B

D C


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