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2014年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学理科(B)(有答案)_图文

2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数学理科(B)

1

2

3

4

2014 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试(数学理科答案) 一、选择题: A 卷答案:1---5CAACC B 卷答案:1---5DAADD
3

6---10CABDB 6---10DABCB

11-12DB 11-12CB

11.提示:曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 关于(0,1)中心对称. 12.提示:函数图象不随 p, q 的变化而变化. 二、填空题: 13.

? ?1 4

14. 50?

15.

5 6
2

16. 8

16.提示:可转化为 y ? 3 ln x ? x 上的动点与直线 y ? x ? 2 上动点的问题. 三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生除标准答案的其他解法,参照标准酌 情设定,且只给整数分) (Ⅰ)设等比数列 {an }的公比为 q ,由已知得 ? í 17.解: 又∵ a1 > 0 , q > 0 ,解得 ? í

ì ? a12 q = 2, ……………2 分 2 5 ? a q = 32 , ? 1 ?

ì , ? a1 = 1 ? ? ? q = 2,

………………3 分

∴ an = 2n- 1 ;…………………5 分 (Ⅱ)由题意可得

bn b1 b2 b3 + + +L + = 2n - 1 , 1 3 5 2n - 1

2 n ?1 ? 1 ?
两式相减得

bn ? 2n ?1 , 2n ? 1

( n ? 2)

bn = 2n- 1 , 2n - 1

∴ bn ? (2n ? 1)2 n ?1 , ( n ? 2 )……………………7 分 当 n = 1 时, b1 = 1 ,符合上式, ∴ bn = (2n - 1) 2 设 Tn = 1 + 3?2
1 n- 1

, ( n ? N* )…………………………8 分

5 ?22

L + (2n - 1) 2n- 1 , L + (2n - 3)?2n- 1

2Tn =

1?2

3?22

5 ?23

(2n - 1) 2n ,………………10 分
- (2n - 3)?2 n 3,

两式相减得

- Tn = 1 + 2 (2 + 22 + L + 2n- 1 )- (2n - 1)?2 n
n

∴ Tn = (2n - 3) 2 + 3 .…………………12 分(整理结果正确即可,不拘泥于形式) 18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B , AB ? AC ? A1B ? 2 .
5

(Ⅰ)证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; (Ⅱ)若点 P 为 B1C1 的中点,求出二面角 P ? AB ? A1 的余弦值. 证明: (Ⅰ)由题意得: A1B ? 面 ABC , ∴ A1B ? AC , 又 AB ? AC , AB ? A1B ? B ∴ AC ? 面 AB1B , ∵ AC ? 面 A1 AC , ∴平面 A1 AC ? 平面 AB1B ; ------3 分 ------5 分 ------2 分

(Ⅱ)解法 1:以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), B1 (0, 4, 2) C1 (2,2,2)

3 2? . 因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P ?1,,

??? ? ??? ? AB ? (0, 2, 0), AP ? (1,3, 2) 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ), ??? ? ? ? AB ? n1 ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 则 ? ??? 得? ? 2y ? 0 ? AP ? n ? 0, ? ? 1 令 z ? 1,则 n1 ? (? 2 , 0 , 1 ) ,
而平面 ABA1 的法向量 n2 ? (1, 0, 0), 则 cos n1 , n2 ?

------6 分

z
C1 B1 A1

------8 分 ------9 分 ------11 分
x
C A B

n1 ? n2 2 2 5 ?? ?? n1 | n2 | 5 5
2 5 . 5

y

由图可知二面角 P ? AB ? A1 为锐角, 故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 ------12 分

解法 2: 过 P 做 PP1//A1B1 交 A1C1 的中点于 P1,由 (Ⅰ) 可知 P1A1 ? 平面A1 AB , 连 接 ------8 分 在 P1B, 则 ?P 的 平 面 角 , 1 BA1 为 二 面 角 P ? AB ? A 1

Rt?P1 BA1





P1 A1 ? 1, A1 B ? 2, P1 B ? 5



cos ?P1 BA1 ?

A1 B 2 2 5 ? ? , P1 B 5 5
5

故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 2 5

------12 分

19.解: (Ⅰ)由题意得 2 ?

t t 1 ? (1 ? ) ? ,解得 t ? 1 .……………3 分 2 2 2

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3

1 t t (2 ? t ) 2 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ; 2 2 2 8
6

P(? ? 1) ?

1 t t 1 t t 4 ? t2 ; ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 2 2 2 2 2 2 8

1 t t 1 t t 4t ? t 2 ; P(? ? 2) ? 2 ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 8 1 t t t2 P(? ? 3) ? ? ? ? . 2 2 2 8
故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

(2 ? t ) 2 8

4 ? t2 8

4t ? t 2 8

t2 8

……………………7 分

? E? ? t ?
由 题 意

1 .…………………8 分 2
得 :

P(? ?

t ?1 2 ? P) ? ? (? 1 ? ) 2



?t 2 ? 4t ? 2 P(? 0 ? 2) ? P(? ? 0) ? ?0 4



P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

2t ? t 2 ? 0 ,又因为 0 ? t ? 2 4

所以解得 t 的取值范围是 1 ? t ? 2 .…………………11 分

3 5 ? ? E? ? 2 2 .…………………12 分
20.解: (Ⅰ)依题意 e ?

y
M

P

c 3 ? a 2


A

N B

x2 y2 过焦点F与长轴垂直的直线x=c与椭圆 2 ? 2 ? 1 a b
联立解答弦长为

x

2b 2 =1,……………2 分 a x2 ? y2 ? 1 4 .………………4 分

所以椭圆的方程

(Ⅱ)设P(1,t)

k PA ?

t ?0 t t 直线 l PA : y ? ( x ? 2) ? 1? 2 3 , 3 ,联立得:

7

t ? y ? ( x ? 2), ? ? 3 ? 2 ? x ? y 2 ? 1. ? ?4

即 4t ? 9 x ? 16t x ? 16t ? 36 ? 0 ,
2 2 2 2

?

?

16t 2 ? 36 18 ? 8t 2 , 可知 ?2 xM ? 所以 x ? M 4t 2 ? 9 4t 2 ? 9
? 18 ? 8t 2 x ? , ? ? M 4t 2 ? 9 则? ……………………6 分 ? y ? 12t . M ? 4t 2 ? 9 ? ? 8t 2 ? 2 x ? , ? ? N 4t 2 ? 1 同理得到 ? ? y ? 4t . N ? 4t 2 ? 1 ………………8 分 ?
由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴, 不妨设这个定点为Q 又



?m,0? ,………………10-分
4t 4t 2 ? 1 ? 2 8t ? 2 ?m 4t 2 ? 1

k MQ

12t 2 9 ? 4t ? 2 18 ? 8t ?m 4t 2 ? 9



k NQ



kMQ ? k NQ



?8m ? 32 ? t 2 ? 6m ? 24 ? 0

m ? 4 .……………12 分



21.解:(Ⅰ) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? 1? ln( x ? 1) ? x ,

F ' ( x) ? ln( x ? 1) ,
x ? (?1,0) F ' ( x) ? 0, F ( x) 为减函数;

x ? (0, ??), F ' ( x) ? 0, F ( x) 为增函数,
所以 F ( x) 只有一个极小值点 x ? 0 ,极小值为 0.……………………4 分 (Ⅱ) 设 G ( x) ? ln( x ? 1) ? f ( x2 ) ? ln( x ? 1) ? ? ?? x2 ? 2 ? ln( x2 ? 1) ? ax2 ? x2 ? ?
2

依题意即求

G ( x) 在 (?1, x2 ) 上存在零点时 a 的取值范围.

又当 x ? ?1时, G( x) ? ?? ,且 G ( x) 在定义域内单调递增,

8

所以只需要 G( x2 ) ? 0 在 ? 0, ?? ? 即 即

上恒成立. 上恒成立.

2 ln( x2 ? 1) ? ? ?? x2 ? 2 ? ln( x2 ? 1) ? ax2 ? x2 ? ? ? 0 ,在 ? 0, ?? ?

? x2 ? 1? ln( x2 ? 1) ? ax22 ? x2 ? 0 ,在 ? 0, ?? ? 上恒成立.…………7 分

10 若 a ? 0 ,显然不成立,因为由第一问知 F ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x 在 (0,??) 为增函数,
故 F ( x) ? F (0) ? 0

20 ? x ? 1 ? 0 ,即 ln( x ? 1) ?

ax 2 ? x ? 0 在 ? 0, ?? ? 恒成立, x ?1

不妨设 h( x) ? ln( x ? 1) ?

ax 2 ? x , x ? ? 0, ?? ? x ?1

h ' ( x) ?

x(?ax ? 1 ? 2a) , x ? (0,??) , ( x ? 1) 2 x(?ax ? 1 ? 2a) 1 ? 2a ,…………………9 分 ? 0, x1 ? 0, x 2 ? 2 a ( x ? 1)

h ' ( x) ?

1 ? 2a ? 0 ,若 x ? 0 , h' ( x) ? 0 ,所以 h( x) 为增函数, h( x) ? h(0) ? 0 (不合题意), a 1 1 ? 2a 若 0 ? a ? ,若 x ? (0, ) , h' ( x) ? 0 , h( x) 为增函数, h( x) ? h(0) ? 0 (不合题意), 2 a 1 ' 若 a ? ,若 x ? (0, ??) , h ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, h( x) ? h(0) ? 0 (符合题意), 2
若 a ? 0 ,则 x 2 ? 综上所述,若 x ? 0 时, h( x) ? 0 f ( x) ? 0 恒成立, 则a ?

1 .……………………………12 分 2

22.解:(Ⅰ)连接 AB,在 EA 的延长线上取点 F,如图①所示. ∵AE 是⊙O1 的切线,切点为 A, ∴∠FAC=∠ABC,.……………1 分 ∵∠FAC=∠DAE, ∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC 是⊙O2 内接四边形 ABED 的外角, ∴∠ABC=∠ADE,……………2 分 ∴∠DAE=∠ADE.………………3 分 ∴EA=ED,∵ EA ? EB ? EC ,∴ ED
2

2

? EB ? EC .………………5 分

(Ⅱ)当点 D 与点 A 重合时,直线 CA 与⊙O2 只有一个公共点, 所以直线 CA 与⊙O2 相切.……………6 分
9

如图②所示,由弦切角定理知:

?PAC ? ?ABC ?MAE ? ?ABE 又?PAC ? ?MAE 1 因?ABC ? ?ABE ? ? 180 ? 2
∴AC 与 AE 分别为⊙O1 和⊙O2 的直径.…………8 分 ∴由切割线定理知:EA2=BE· CE,而 CB=2,BE=6,CE=8 ∴EA =6×8=48,AE= 4 3 .故⊙O2 的直径为 4 3 .………………10 分 23.解: (Ⅰ)? ? ? cos? ,
2

M P O1 C B
图(2)

A O2 E

? 2 ? ? cos ? …………………2 分
x2 ? y2 ? x 1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
2

.…………………4 分

(Ⅱ)设 P( 2 cos? , 2 sin ? ), C 2 ( ,0)

1 2

1? ? PC2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 2? ? ? 4 cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ?
…………………6 分

2

?

2 sin ?

?

2

1 ? 2sin 2 ? 4 9 4

1 ? cos ? ? , , PC2 2
PQ min ?

min

?

7 ,…………………8 分 2

7 ?1 .……………………10 分 2

24.解:(Ⅰ)当 a=1 时,

f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 ? x

当x ? 2时 ,解得 x ? 3 ;
当 1 ? x ? 2 时,解得 x ? 1 ,?无解

当x ? 1时 ,解得 x ? 1;……………………………3 分
10

综上可得到解集 {x x (Ⅱ)依题意, 则

? 1或x ? 3}

.……………………5 分

对?x ? R, 都有f ( x) ? 3 ,
,……………8 分

f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a ? ?ax ? 2? ? ?ax ? a ? ? a ? 2 ? 3

a ? 2 ? 3或a ? 2 ? ?3
, ? a ? 5或a ? ?1 (舍) 所以 a ? 5. …………………10 分

11


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