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高三数学培优试题综合(2)


高三数学培优试题——综合(2)
1.已知两圆都与坐标轴相切,且都经过点 P (4,1) ,则两圆的圆心距为 .

2. 如图, 椭圆的中心在坐标原点 O , 顶点分别是 A1 , A2 , B1 , B2 , 焦点为 F1 , F2 , 延长 B1F2 与 A2 B2 交于 P 点,若 ?B1PA2 为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为 ( )
A1
F1
B2
y P O

5+1 5 ?1 A. (0, ) B. ( ,1) 4 4

5 ?1 C. ( ,1) 2

5 ?1 D. (0, ) 2

F2

A2 x

B1

3 .函数 f ( x ) 定义域为 D ,若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数②存在 [a, b] ? D 使 f ( x ) 在

a b [a, b] 上的值域为 [ , ] ,那么就称 y ? f ( x ) 为“成功函数”,若函数 f ( x) ? loga (a x ? t ) 2 2
(a ? 0, a ? 1) 是“成功函数”,则 t 的取值范围为(

) D. (0, 1 ]
4

A. (0, ??)

B. ( ??, 1 )
4

C. (0, 1 )
4

4.已知集合 M = {1, 2,3,?, n}(n ? N*) ,若集合 A = {a1 , a2 ,?, am} 臀M (m 意的 b ? M , 存在 ai , a j 危A(1

N*) ,且对任

i #j

使得 b = ?1ai + ?2a j(其中 ?1 , ?2 ? { 1,0,1} ) , m) ,

则称集合 A 为集合 M 的一个 m 元基底.给出下列命题: ①若集合 A = {1,5} , M = {1, 2,3, 4,5} ,则 A 是 M 的一个二元基底; ②若集合 A = {2,3} , M = {1, 2,3, 4,5,6} ,则 A 是 M 的一个二元基底; ③若集合 A 是集合 M 的一个 m 元基底,则 m(m + 1) ? n ; ④若集合 A 为集合 M = {1, 2,3,?,19} 的一个 m 元基底,则 m 的最小可能值为 5 . 其中是真命题的为( A. ①③ ) B. ②④ C. ①③④ D. ②③④

x2 y 2 5. 设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 C2 :x2 ? 4 3 y 的焦点重合,F1 , F2 分 a b
别是椭圆的左右焦点,离心率 e ? (1)求椭圆 C1 的方程;

1 ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C1 交于 M , N 两点. 2

???? ? ???? (2)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?2 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说 明理由; | AB |2 (3)若 AB 是椭圆 C1 经过原点 O 的弦,且 MN // AB ,求证: 为定值. | MN |

6 . 已 知 函 数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d , 设 曲 线 y ? f ( x) 在 与 x 轴 交 点 处 的 切 线 为 3 ? y ? 4 x ? 12 , f ( x ) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .

(1)求 f ( x ) ; (2)设 g ( x) ? x f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实 数 t 的取值范围.

1.8

答案: 2.C 3.C 4.D

5.解:(1)椭圆的顶点为 (0, 3) ,即 b ? 3 , e ?

c b2 1 ? 1 ? 2 ? ,解得 a ? 2 , a a 2

x2 y2 ? ?1 4 3 (2)由题可知,直线 l 与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.

?椭圆的标准方程为

②设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 8k 2 4k 2 ? 12 ?1 ? ? 2 2 2 2 x ? x ? x ? x ? 由? 4 得 , , , (3 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 k ? 12 ? 0 3 1 2 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? y ? k ( x ? 1) ? ???? ? ???? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? k 2 [ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 8k 2 ?5k 2 ? 12 ? k2( ? ? 1) ? ? ?2 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 所以 k ? ? 2 ,故直线 l 的方程为 y ? 2( x ? 1) 或 y ? ? 2( x ? 1) (3)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , A( x3 , y3 ), B( x4 , y4 )
=

由(2)可得: |MN|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2) 2 ? 4 x1x2] = (1 ? k 2 )[(

8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) . ) ? 4( )] ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 由? 4 消去 y,并整理得: x2 ? , 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ? 48(1 ? k 2 ) 2 2 | AB | 3(1 ? k ) 4k 2 ? 4 为定值 ,∴ ? 3?2 | AB |? 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4 2 | MN | 12(k ? 1) 3 ? 4k 3 ? 4k 2
6.解: (1) f ?( x) ? x2 ? 2bx ? c , ? f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,

? 函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b ? ?1 .……2 分 ? 直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) ,? f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4 ,
即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 ,解得 c ? 1 , d ? ?3 . 则 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? x ? 3 .……5 分 3
2

(2) f ?( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? ( x ?1)2 , g ( x) ? x ( x ? 1) ? x x ? 1 ? ?

? x 2 ? x, x ? 1, ? ……7 分 2 x ? x , x ? 1. ? ?
y

1 1? 2 其图像如图所示.当 x ? x ? 时, x ? ,根据图像得: 4 2
2

2 1
?1

(ⅰ)当 0 ? m ?

1 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m ; 2

(ⅱ)当

1 1 1? 2 时, g ( x) 最大值为 ; ?m? 4 2 2

O

1

1? 2 2

2 x

(ⅲ)当 m ?

1? 2 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m . 2
2

(3) 方法一:h( x) ? ln( x ?1) ? 2ln x ?1 ,h( x ?1 ? t ) ? 2ln x ? t ,h(2x ? 2) ? 2ln 2x ?1 ,

? 当 x ? [0, 1] 时, 2x ?1 ? 2x ?1 , ? 不等式 2ln x ? t ? 2ln 2x ?1 恒成立等价于 x ? t ? 2x ? 1 且 x ? t 恒成立,
由 x ? t ? 2x ? 1 恒成立,得 ? x ? 1 ? t ? 3x ? 1 恒成立,

y

4B 3 2 ? 当 x ? [0, 1] 时, 3x ? 1? [1, 4] , ? x ? 1? [?2, ?1] ,? ?1 ? t ? 1, A 1 1 t?0. 又? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,因此,实数 t 的取值范围是 ? 2? ? 1? O 1 2 3 4 x
方法二: (数形结合法)作出函数 y ? 2 x ? 1, x ? [0, 1] 的图像,其图像为线段 AB (如图) ,

? y ? x ? t 的图像过点 A 时, t ? ?1 或 t ? 1 , ? 要使不等式 x ? t ? 2x ? 1 对 x ? [0, 1] 恒成立,
必须 ?1 ? t ? 1, 又? 当函数 h( x ? 1 ? t ) 有意义时, x ? t ,

? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,
因此,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . 方法三:? h( x) ? ln( x ? 1)2 , h( x) 的定义域是 {x x ? 1} ,

? 要使 h( x ? 1 ? t ) 恒有意义,必须 t ? x 恒成立, ? x ? [0, 1] ,?t ?[0,1] ,即 t ? 0 或 t ? 1 . ………………①
由 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 得 ( x ? t )2 ? (2 x ? 1)2 , 即 3x2 ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t 2 ? 0 对 x ? [0, 1] 恒成立, 令 ? ( x) ? 3x ? (4 ? 2t ) x ? 1 ? t , ? ( x) 的对称轴为 x ? ?
2 2

2?t , 3

2?t ? ? 2?t ? 2?t ? 1, ? 0, ?0 ? ? ? 1, ?? ?? 则有 ? 或? 或? 3 3 3 ?? ? (4 ? 2t )2 ? 4 ? 3 ? (1 ? t 2 ) ? 0 ? ? ?? (1) ? 0 ?? (0) ? 0 ?
解得 ?1 ? t ? 1. ………………② 综合①、②,实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 .



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