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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.3 二项式定理课件 理 北师大版_图文

11.3

二项式定理

-2-

1.二项式定理

二项式定理 二项展开式 的通项公式 二项式系数

0 1 r (a+b)n=n + n ? 1 + ? + n ? + n n ? + n b (n∈N+) n-r r Tr+1=C a b

,它表示第 r+1 项

0 1 二项展开式中各项的系数C , C ,…,C

-3-

2.二项式系数的性质
性质 对称性 性质描述 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
m 即n = n n -m n+1 2 n-1 2

二项式 增减性 系数C 最大值

当k < 当k >

(n∈N+)时,是递增的 (n∈N+)时,是递减的
n 2
n -1 2 +1 2

当 n 为偶数时,中间的一项n 取得最大值
当 n 为奇数时,中间的两项Cn 和C 取得最大值

0 2 n 3.各二项式系数和:C + C1 + C +…+C =2 0 2 4 3 5 n-1 C + C + C +…=C1 . + C + C +…=2

,

-4-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
n-r r (1)C a b 是(a+b)n 的展开式中的第 r 项. ( × )

(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项. ( × ) (3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数与a,b无关.( √ ) (4)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128. (× ) (5)(a+b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同. ( × )

-5-

1 2 3 4 5

2.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15, 则n=( ) A.7 B.6 C.5 D.4

关闭

n-r (x+1)n 的展开式通项为 Tr+1=C x . 令 n-r=2,即 r=n-2. 2 则 x2 的系数为C = C =15, B 解得 n=6,故选 B. -2
关闭

解析

答案

-6-

1 2 3 4 5

3.(2015湖北,理3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式 系数相等,则奇数项的二项式系数和为 ( ) A.212 B.211 C.210 D.29

关闭

3 7 由条件知C = C , ∴n=10. ∴(1+x)10 中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 10- 1 D 2 =29.\

关闭

解析

答案

-7-

1 2 3 4 5

4.(2015广东,理9)在( √ -1)4的展开式中,x的系数为

.

关闭

该二项展开式的通项为 Tr+1=C4 (√)4-r(-1) r,当 x 的指数为 1 时 ,4-r=2, 解得 r=2. 2 关闭 故 T3=C4 (√)2(-1)2=6x,即 x 的系数为 6.

6

解析

答案

-8-

1 2 3 4 5

5.(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是

.

关闭

k t 4 ∵(1+x)8 的通项为C x ,(1 +y ) 的通项为 C 8 4y , k t 2 2 ∴(1+x)8(1+y)4 的通项为C 8 C4 x y ,令 k=2,t=2,得 x y 的系数为

2 2 C8 C4 =168.

关闭

168

解析

答案

-9-

1 2 3 4 5

自测点评 n-k k 1.二项式定理中,通项公式 +1 = C a b 是展开式的第k+1项, 不是第k项. 2.(1)二项式系数与展开式项的系数是两个不同的概念,在 n-k k Tk+ 1=C a b 中, C 是该项的二项式系数,该项的系数还与a,b有关. (2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关.当n为偶数 时,中间一项的二项式系数最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系 数相等,且同时取得最大值.

-10考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(

考点1通项公式及其应用(多维探究) 类型一 已知二项式求其特定项(或系数) 6 2 例1(1)(2015山东潍坊联考)在 √的二项展开式中常数项是 ) A.-120 B.-60 C.120 D.60

关闭

二项展开式的通项公式为
3 2

Tr+1=C6 (√)6-r·

-

2

=

C6 (-2)r 3-2 ,令
关闭

3

2 3- r=0,得 r=2,所以常数项为C6 (-2)2=60.

D

解析

答案

-11考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填 写答案) 思考:如何求二项展开式的项或特定项的系数?若已知特定项的 系数如何求二项式中的参数?

关闭

10-r r 3 7 3 3 3 设展开式的通项为 Tr+1=C10 x a ,令 r=3,得 T4=C10 x a ,即C10 a =15, 1 得 a= . 2
1 2
关闭

解析

答案

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型二 已知三项式求其特定项(或系数) 例2(1)(2015课标全国Ⅰ,理10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数 为( ) A.10 B.20 C.30 D.60

关闭

由于 (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为 2 2 2 Tr+ 1=C5 (x +x)5-ryr(r= 0,1,2,… ,5),因此只有当 r=2,即 T3=C5 (x +x)3y2 中才能含有 x5y2 项 .设 (x2+x)3 的展开式的通项为 2 3-i i 6-i Si+1= C3 (x ) · x =C3 x (i=0,1,2,3),令 6-i=5,得 i=1,则 (x2+x)3 的展开式 2 5 5 2 中 x5 项的系数是C1 关闭 3 =3,故 (x +x+y) 的展开式中 ,x y 的系数是 2 C C 3=10×3=30. 5 ·
解析 答案

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)(2015皖南八校联考)(x2-4x+4)5的展开式中x的系数 是 . 思考:如何求三项式中某一特定项的系数?

关闭

10-r 由(x2-4x+4)5=(x-2)10,得二项展开式的通项为 Tr+1= C10 x (-2)r, 9 所以 x 的系数为(-2)9C10 =-5 120.
关闭

-5 120
解析 答案

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型三 求两个因式之积的特定项系数 例3(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 答案)

.(用数字填写

关闭

8-r r (方法一 )(x+y)8 的通项公式为 Tr+1=C8 x y (r= 0,1,… ,8,r∈ Z). 7 7 6 2 6 当 r=7 时 ,T8=C8 xy =8xy 7,当 r= 6 时 ,T7= C8 x y =28x2y 6, 所以 (x-y)(x+y)8 的展开式中含 x2y7 的项为 x· 8xy7-y· 28x2y 6=-20x2y 7,故 系数为 -20. 7 2 (方法二 )因 (x-y)(x+y)8 是 9 个因式之积 ,x2y7 的系数为C1 ·C ? C 8 7 8 · 关闭 6 -20 C 6 =-20.

解析

答案

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何求两个因式之积的特定项系数? 解题心得:1.求二项展开式中的项或项的系数的方法:求二项展开 n-k k 式的特定项问题,实质是考查通项 Tk+ 1=C a b 的特点,一般需要 建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围 (k=0,1,2,…,n).特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据 上述方法求解. 2.求三项展开式中某些特殊项的系数的方法:(1)通过变形把三项 式转化为二项式,再用二项式定理去解;(2)两次利用二项式定理的 通项公式求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列组合的基 本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多 少方法从这几个因式中取因式中的量. 3.求两个因式之积的特定项系数也有两种方法:(1)利用通项公式 法;(2)用排列组合法.

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
5

对点训练1


(用数字作答).

(1)(2015重庆,理12) 3 + 1 2√

的展开式中x8的系数

展开式的通项公式
15-
7 2

Tr+1=C5

· (x ) ·
3 5-r

1 2√



关闭

= C5 · 2-r·
关闭

(r=0,1,2,…,5). 7 -2 5 5 15- r=8,得 r=2,于是展开式中 x8 项的系数是C 2 · 令 2 = . 5
2

2

2

解析

答案

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
0

(2)若(x2+ax+1)6(a>0)的展开式中x2的系数是66,则 值为 .

sin xdx的

关闭

2 2 1 由题意可得(x2+ax+1)6 的展开式中 x2 的系数为C1 + C a , 故 C 6 6 6 + 2 2 C6 a =66, 2 ∴a=2 或 a=-2(舍去).故 0 sin xdx= 0 sin x dx=(-cos x)|2 =1-cos 2. 0 1-cos 2

关闭

解析

答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

)

关闭

r (方法一)因为 (1+x)5 的二项展开式的通项为C5 x (0≤ r≤ 5,r∈ Z),则含 2 2 2 x2 的项为C5 x +ax·C1 5 x=(10+5a)x ,所以 10+5a=5,a=-1. (方法二)因 (1+ax)(1+x)5 是 6 个因式之积 ,所以展开式中 x2 的系数为 关闭 2 1 D C 5 +aC5 =10+5a,所以 10+5a=5,a=-1.

解析

答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2二项式系数的性质与各项系数和 (多维探究) 类型一 二项式系数的最值问题 2 例4设m为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为a, +1 展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则 (x+y)2 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8
思考:如何确定二项式系数最大项的项?
关闭

由题意可知,a=C2 ,b= C2 +1 , 又 ∵13a=7b, (2 )! (2 +1)! ∴13· =7 · ,

B 即

! ! 13 2 +1 7

!( +1)!

关闭

=

+1

.解得 m=6.故选 B.
解析 答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型二 项的系数的最值问题

例 5 已知( 3 √+x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展
开式的二项式系数和大 992,则在 最大的项为 为 . ;系数的绝对值最大的项

1 2n 2x的展开式中,二项式系数 x

思考:如何求二项展开式中项的系数最值?

答案:-8 064 -15 360x4

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解析 :由题意知 ,22n-2n=992,即 (2n-32)(2n+31)=0,故 2n=32, 解得 n=5. 由二项式系数的性质知 , 21 10

的展开式中第 6 项的二项式 1 5

系数最大 ,故二项式系数最大的项为 则 令 即

5 T6=C10 (2x)5

=-8 064.

设第 k+1 项的系数的绝对值最大,

3 C10

解得 ≤k≤ , 3 3 2( + 1) ≥ 10-, ∵k∈ Z,∴k=3.故系数的绝对值最大的项是第 4 项 ,T4=· 27· x4=-15 360x 4.

1 10 -k Tk+1= C10 · (2x) · =(-1)kC10 · 210-k· x10-2k, 10- -1 10- +1 -1 C10 · 2 ≥ C10 · 2 , C10 ≥ 2C10 , 10- +1 10- -1 得 +1 C10 · 2 ≥ C10 · 2 , 2C10 ≥ C10 , 11- ≥ 2, 8 11

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型三 求二项式展开式中系数的和 例6(2015课标全国Ⅱ,理15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂 项的系数之和为32,则a= .

关闭

3 3 2 2 0 0 4 3 2 (方法一)∵(1+x)4=x4+C4 x + C4 x +C1 4 x+C4 x =x +4x +6x +4x+1, ∴(a+x)(1+x)4 的奇数次幂项的系数为 4a+4a+1+6+1=32,∴a=3. (方法二)设 (a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x 2+b3x3+b4x 4+b5x 5. 令 x=1,得 16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,① 令 x=-1,得 0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,② 由 ①-②,得 16(a+1)=2(b1+b3+b5). 3 8(a+1)=32,解得 a=3. 即

关闭

解析

答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:求二项式系数和的常用方法是什么?

解题心得 :1.二项式系数最大项的确定方法 : (1)如果 n 是偶数 ,则中间一项 第 大; (2)如果 n 是奇数 ,则中间两项 第
+1 2

项 的二项式系数最 项 的二

项式系数相等并最大 . 2.二项展开式系数最大项的求法 如求 (a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项 ,一般是采用待定 系数法 ,设展开式各项系数分别为 A1,A2,… ,An+1,且第 k 项系数最大 , ≥ -1 , 应用 从而解出 k 来 ,即得 . ≥ +1 ,

+1 +1 项与第 +1 2 2

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

3.赋值法求二项式系数的和:(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形 如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和, 常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展 开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.

(2)一般地,若 f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 f(x)的展开式中各项 系数之和为 f(1),奇数项系数之和为 a0+a2+a4+… = 系数之和为 a1+a3+a5+…=
(1)-(-1) . 2 (1)+(-1) ,偶数项 2

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 (1)(2015辽宁五校联考)若 项的二项式系数最大,则展开式的常数项是( A.360 B.180 C.90 D.45

2 √ + 2



展开式中只有第6

)

关闭

展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式总共 11 项,所以 n=10, 通项公式为
B 180. 为
2 10-r Tr+1=C10 (√) · 2

=

r 5-2 C10 2 ,所以

5

r=2 时 ,常数项 关闭
解析 答案

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)若x∈(0,+∞),则(1+2x)15的二项展开式中系数最大的项为第 项.

关闭

C15 2 -1 ≤ C15 2 , r r Tr+ 1=C15 2 x ,由 +1 +1 C15 2 ≤ C15 2 , 29 32 解得 ≤ r ≤ ,故 r=10,所以第 11 项的系数最大. 11 3 3

-1

关闭

解析

答案

-27考点1 考点2


考点3

知识方法

易错易混

(3)若 2 - 1 的展开式中含x的项为第6项,设(1 n 3x) =a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为

.

关闭

展开式

2 1 的通项为

2 n-r Tr+1= C (x ) ·

-

1

= C (-1)rx2n-3r,因为含

x 的项为第 6 项, 所以 r=5,2n-3r=1,解得 n=8.令 x=1,得 a0+a1+… +a8=(1-3)8=28, 又 a0=1, D 所以 a1+…+a8=28-1=255.
解析

关闭

答案

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3二项式定理的应用 例7(1)已知2n+2· 3n+5n-a能被25整除,求正整数a的最小值; (2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)

关闭

0 n n-1 解:(1)原式=4· 6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a=4(C 5 +C1 5 +… 0 n n-1 2 +C 52+ C 5+C )+5n-a=4(C 5 +C1 5 +… +C 5 )+25n+4-a, 显然正整数 a 的最小值为 4. 0 2 3 (2)1.028=(1+0.02) 8≈ C8 + C1 0.02+ C8 · 0.022+ C8 · 0.023≈1.172. 8 · -2 -2 -2

答案

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:二项式定理有哪些方面的应用?在这些应用中应注意什么? 解题心得:1.整除问题和求近似值是二项式定理中常见的两类应 用问题,用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数与 某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,切记余数不能为负,求 近似值则应关注展开式的前几项. 2.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选 择合适的形式.

-30考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 (1)(2015江西萍乡模拟)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a等于( ) A.0 B.1 C.11 D.12

关闭

0 2 012 1 512 012+a=(52-1)2 012+a=C2 - C2 012 522 011+… 012 52 2 011 2 012 2 011 2 012 +C2 + C2 +a. 012 × 52×(-1) 012 × (-1) 因为 52 能被 13 整除, 2 012 2 012 所以只需C2 +a 能被 13 整除, 012 × (-1) D a+1 能被 13 整除 ,所以 a=12. 即

关闭

解析

答案

-31考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

2 27 (2)S=C1 27 + C27 +…+C27 除以 9 的余数为

.

关闭

2 27 0 27 9 9 9 1 8 S=C1 27 + C27 +… +C27 =2 - 1=8 -1=(9-1) -1= C9 × 9 - C9 × 9 +… 8 9 0 8 7 +C9 × 9-C9 -1=9(C9 × 98-C1 9 × 9 +… +C9 )-2. 0 8 8 1 7 ∵ C × 9 C × 9 + … + C 9 9 是整数 ,∴S 被 9 除的余数为 7. 7 9

关闭

解析

答案

-32考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

n-k k 1.二项展开式的通项 +1 = C a b 是展开式的第k+1项,这是解 决二项式定理有关问题的基础.在利用通项公式求指定项或指定项 的系数时,要根据通项公式讨论对k的限制. 2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以,在解题时,根 据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方 法. 3.二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用,要充分利 用二项展开式的特点和式子间的联系. 4.二项展开式系数最大项的求法:如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式 系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为 A1,A2,…,An+1,且第r项系数最大,应用 ≥ -1 , 从而解出r即可. ≥ +1 ,

-33考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.项的系数与a,b 有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正. 2.切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项” 等概念.


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