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浙江专用2018版高考数学大一轮复习4.5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式课件


§4.5 简单的三角恒等变换

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时训练

基础知识

自主学习

知识梳理

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,(C(α-β))
cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β ,(C(α+β))

sin(α-β)=

sin αcos β-cos αsin β ,(S(α-β))

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,(S(α+β))
tan α-tan β tan(α-β)= ,(T(α-β)) 1+tan αtan β tan α+tan β tan(α+β)= .(T(α+β)) 1-tan αtan β

2.二倍角公式 sin 2α=
2sin αcos α




cos 2α= cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α

2tan α 2 1 - tan α tan 2α=___________.

知识拓展

1+cos 2α 1-cos 2α 2 1.降幂公式:cos α= ,sin α= . 2 2
2

2.升幂公式:1+cos 2α=2cos α,1-cos 2α=2sin α.
2 2

b 3.辅助角公式: asin x+bcos x= a +b sin(x+φ), 其中 sin φ= 2 2, a +b a cos φ= 2 2. a +b
2 2

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC中,sin Asin B和cos Acos B大小不确定.( × ) (3)若α+β=45°,则tan α+tan β=1-tan αtan β.( √ ) α α2 (4)对任意角 α 都有 1+sin α=(sin +cos ) .( √ ) 2 2 (5)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × ) (6)在非直角三角形中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.( √ )

考点自测

1.(教材改编)sin 18°cos 27°+cos 18°sin 27°的值是 答案

解析

2 A. 2

1 B.2

3 C. 2

2 D.- 2

2 sin 18° cos 27° +cos 18° sin 27° =sin(18° +27° )=sin 45° =2.

cos 40° 2.化简 等于 cos 25° 1-sin 40° A.1 B. 3

答案

解析

C. 2

D.2

cos 40° 原式= cos 25° 1-cos 50°
cos 40° cos 40° = = = 2. cos 25° · 2sin 25° 2 sin 50° 2

3.tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° =

3

. 答案

解析

tan 20° +tan 40° ∵tan 60° =tan(20° +40° )= , 1-tan 20° tan 40°
∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)

= 3- 3tan 20° tan 40° ,
∴原式= 3- 3tan 20° tan 40° + 3tan 20° tan 40° = 3.

4.(2016· 浙江)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=

2



b= 1 . 答案

解析

∵2cos2x+sin 2x=cos 2x+1+sin 2x

? 2? ? ? ? ? π? 2 2 ? ? ? 2 x + + 1 = 2sin cos 2 x + sin 2 x ? ? ?+1 4? 2 2 ? ?

=Asin(ωx+φ)+b(A>0),∴A= 2,b=1.

题型分类

深度剖析

第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

题型一 和差公式的直接应用

7 3 π cos 2α - 5 . 例 1 (1)(2016· 杭州模拟)已知 sin α=5, α∈(2, π), 则 = π 2sin?α+4?
答案 解析

cos2α-sin2α π= 2 2 2sin?α+ ? 2? sin α+ cos α? 4 2 2 cos 2α

=cos α-sin α,

3 π ∵sin α=5,α∈(2,π), 4 7 ∴cos α=-5,∴原式=-5.

(2)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为 2 A.- 2 1 C. 2 2 B. 2 1 D.- 2
答案 解析

由tan Atan B=tan A+tan B+1,

tan A+tan B 可得 =-1,即 tan(A+B)=-1, 1-tan Atan B 3π 又 A+B∈(0,π),所以 A+B= 4 , π 2 则 C=4,cos C= 2 .

思维升华

(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.

跟踪训练 1 64 A.25

3 (1)(2016· 全国丙卷)若 tan α=4,则 cos2α+2sin 2α 等于 48 B.25 C.1 16 D.25
答案 解析

2 cos α+2sin 2α 3 2 tan α=4,则 cos α+2sin 2α= cos2α+sin2α

1+4tan α 64 = . 2 = 1+tan α 25

π 14 (2)(2016· 宁波期末考试 ) 已知 θ∈(0 , 4 ) ,且 sin θ - cos θ =- 4 ,则 2cos2θ-1 等于 答案 解析 π cos?4+θ? 2 4 3 3 A.3 B.3 C.4 D.2

题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换

例2 2 5 A. 25

5 3 (1)设 α、β 都是锐角,且 cos α= 5 ,sin(α+β)=5,则 cos β 等于 2 5 B. 5 5 5 D. 或 5 25
答案 解析

2 5 2 5 C. 或 25 5

4 π 4 7π (2)已知 cos(α-6)+sin α=5 3,则 sin(α+ 6 )的值是 -5
答案 解析

.

π 4 ∵cos(α- )+sin α= 3, 6 5
3 3 4 ∴ 2 cos α+2sin α=5 3,
1 3 4 π 4 3(2cos α+ 2 sin α)=5 3, 3sin(6+α)=5 3, π 4 ∴sin(6+α)=5, 7π π 4 ∴sin(α+ )=-sin( +α)=- . 6 6 5

命题点2 三角函数式的变形

例3

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin 2-cos 2? (1)化简: (0<θ<π); 2+2cos θ

解答

1+cos 20° 1 (2)求值: 2sin 20° -sin 10° (tan 5° -tan 5° ).

解答

引申探究 θ θ ?1+sin θ-cos θ??sin 2-cos 2? 化简: (0<θ<π). 解答 2-2cos θ

思维升华
(1) 解决三角函数的求值问题的关键是把 “ 所求角 ” 用 “ 已知角 ” 表示 .①

当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差
的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”

的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

α+β α-β (2)常见的配角技巧: 2α=(α+β)+(α-β), α=(α+β)-β, β= - , 2 2 α+β α-β α-β β α α= 2 + 2 , 2 =(α+2)-(2+β)等.

π 1 π 跟踪训练 2 (1)(2016· 宿州模拟)若 sin(4+α)=3,则 cos(2-2α)等于 4 2 A. 9 7 C.9 4 2 B.- 9 7 D.-9
答案 解析

π 1 π 1 ∵sin( +α)= ,∴cos( -α)= , 4 3 4 3
π π 1 7 ∴cos(2-2α)=cos 2(4-α)=2×9-1=-9.

1 1 2 (2)(2016· 青岛模拟)化简(tan α+ )· sin 2α-2cos α 等于 答案 tan α 2 A.cos α C.cos 2α
2

解析

B.sin α D.-cos 2α

2

1 1 2 原式=sin αcos α· sin 2 α - 2cos α 2

=1-2cos2α=-cos 2α.

(3)计算:sin 50° (1+ 3tan 10° )=

1

.

答案

解析

sin 10° sin 50° (1+ 3tan 10° )=sin 50° (1+ 3cos 10° )

cos 10° + 3sin 10° =sin 50° × cos 10°

1 3 2?2cos 10° + 2 sin 10° ? =sin 50° × cos 10°
2sin 50° cos 50° sin 100° cos 10° = = = =1. cos 10° cos 10° cos 10°

思想与方法系列8

17 2 π 4 π 典例 1 (1)设 α 为锐角, 若 cos(α+ )= , 则 sin(2α+ )的值为 50 6 5 12 3π cos?α- ? 10 π (2)若 tan α=2tan5,则 等于 π sin?α-5?
A.1
思想方法指导

利用联系的观点进行角的变换

.

B.2
答案 解析

C.3

D.4

三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地 拆角、凑角来利用所给条件.

典例 2

α 2α (1)(2016· 浙江五校联考)已知 3tan2+tan 2=1, sin β=3sin(2α+β), 4 B.-3 2 C.-3

则 tan(α+β)等于 4 A.3 D.-3

1+cos 2α+4sin2α (2)已知 tan α=4,则 的值为 sin 2α
思想方法指导 答案 解析

33 4

.

在三角变换中,要熟练掌握三角公式的结构特征,体会公式间的联系,
熟悉公式的常见变形.解题时尽快寻找题目中的三角式子和公式的联系,

寻求突破途径.

课时训练

1.(2015· 课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于 答案

3 A.- 2

3 B. 2

1 C.-2



1 D.2

解析

sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° =sin 20° cos 10° +cos 20° sin 10° 1 =sin(20° +10° )=sin 30° =2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2.(2016· 全国甲卷)若 7 A. 25
因为 sin

?π ? 3 ? ? cos?4-α?= ,则 5 ? ?

sin 2α 等于 答案

解析

1 B. 5

1 C.- 5



7 D.- 25

?π ? ? ? ? ? 2?π 2α=cos?2-2α?=2cos ?4-α? ?-1, ? ? ? ?

又因为

?π ? 3 ? ? cos?4-α?=5,所以 ? ?

9 7 sin 2α=2×25-1=-25,故选 D.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

? ? π 2 ? α + 3.已知 sin 2α=3,则 cos2? ? ?等于 答案 4 ? ?

解析



1 C.2 π 1+cos[2?α+ ?] ? ? 4 π? 2? 因为 cos ?α+4?= 2 ? ?

? π? ? 1+cos?2α+2? ? ? ?

1 A.6

1 B.3

2 D.3

2 1-3 ? ? 1 - sin 2 α π? 1 2? 所以 cos ?α+4?= = 2 =6,故选 A. 2 ? ?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2

1-sin 2α = , 2

1 2 π 4.(2016· 东北三省三校联考)已知 sin α+cos α=3,则 sin (4-α)等于 1 A. 18 8 C.9



17 B. 18 2 D. 9

答案

解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

π 1 3π 5.(2016· 绍兴高三教学质检)已知 sin(5-α)=3,则 cos(2α+ 5 )等于



7 A.- 9

1 B.- 9

1 C. 9

7 D. 9

答案

解析

π π π 因为 sin(5-α)=cos[2-(5-α)] 3π 1 =cos(α+ )= , 10 3 3π 3π 所以 cos(2α+ )=cos[2(α+ )] 5 10 3π 12 7 2 =2cos (α+10)-1=2×(3) -1=-9,故选 A.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 6.(2017· 浙江九校联考)已知锐角 α,β 满足 sin α-cos α=6,tan α+tan β + 3tan αtan β= 3,则 α,β 的大小关系是 答案 π A.α<4<β π C. <α<β 4
解析



π B.β<4<α π D. <β<α 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2tan?45° -α? sin αcos α 7.化简 · 2 2 2 = 1-tan ?45° -α? cos α-sin α

1 2

. 答案

解析

1 -2α? 1 sin 2α 2sin 2α sin?90° 原式=tan(90° -2α)· = ·· cos 2α cos?90° -2α? 2 cos 2α

cos 2α 1 sin 2α 1 = sin 2α · 2· cos 2α=2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

π sin?2β-2?· sin?β+π? π 4 1 8.已知 0<α< , sin α= , tan(α-β)=- , 则 tan β= 3 ; 2 5 3 π 2cos?β+4? 6 = 5 . 答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

3 5π 9.已知 sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=5, β 是第三象限角, 则 sin(β+ 4 ) 7 2 =
10

. 答案

解析

依题意可将已知条件变形为 3 3 sin[(α-β)-α]=-sin β=5,sin β=-5. 4 又 β 是第三象限角,因此有 cos β=-5. 5π π sin(β+ 4 )=-sin(β+4) π π 7 2 =-sin βcos 4-cos βsin 4= 10 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

π π 1 4 4 *10.(2016· 江山模拟)已知 cos( +θ)cos( -θ)= ,则 sin θ+cos θ 的值 4 4 4 5 为
8

. 答案

解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

π 1 π 11.已知 α∈(0,2),tan α=2,求 tan 2α 和 sin(2α+3)的值. 解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

12.已知

?π ? ? α∈?2,π? ?,且 ? ?

α α 6 sin 2+cos 2= 2 .

解答

(1)求 cos α 的值;

α α 6 因为 sin +cos = , 2 2 2

1 两边同时平方,得 sin α= . 2
π 3 又2<α<π,所以 cos α=- 2 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

?π ? 3 ? (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π? ?,求 cos β 的值. 解答 5 ? ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

π π 1 π π *13.(2016· 合肥质检)已知 cos(6+α)cos(3-α)=-4,α∈(3,2).
(1)求sin 2α的值;
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

1 (2)求 tan α- 的值. 解答 tan α
π π 2π ∵α∈(3,2),∴2α∈( 3 ,π),
1 3 又由(1)知 sin 2α= ,∴cos 2α=- . 2 2
2 2 sin α - cos α 1 sin α cos α ∴tan α-tan α=cos α- sin α = sin αcos α

3 -2 -2cos 2α = sin 2α =-2× 1 =2 3. 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13


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