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揭阳一中2018届高三上学期第一次阶段考试(文数)


揭阳一中 2018 届高三上学期第一次阶段考试 数学(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.已知集合 A ? {y | y ? 2 A. ?1 ? A
x

?1, x ? R} , B ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} ,则(
3?B
C. A ? (CR B) ?

) D. A ? B ? A

B.

A

2 2.已知命题 p:“? x∈[0,1],a≥ex”,命题 q:“? x0∈R,x 0 +4x0+a=0”,若命题“p∧q”是

真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.[1,4] C.[e,4] D.(-∞,1] 2 3.在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a +b2=2c2,则 cos C 的最 小值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 1 2 1 D.- 2

? ?? 4. 函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? ? 0, ? ? ? 的最小正周期为 ? ,若其图象向右平移 个单位后 3 2? ?
关于 y 轴对称, 则 ( D. ? ? 2,? ? ? ) A

? ? 2,? ?

?
3

B. ? ? 2,? ?

?
6

C. ? ? 4,? ?

?
6

?
6

5.已知 ? , ? ? ? A.

4 ? 5 ? ? 3? ? , ? ? , cos(? ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? ,则 sin(? ? ) =( 5 4 13 4 ? 4 ?
B. ?



33 65

33 65

C.

?

16 65

D.

16 65
a 时, 2

6.已知 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3) (a ? 0, 且 a ? 1) 满足对于任意 x1 , x2 , 当 x1 ? x 2 ? 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那么 a 的取值范围是( )

A. (0, 3)

B (1, 3)

C. (0, 2 2)

D.

( 1,

2 3)

7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ? x ? ? ? =2x-1,则 5 A.- 2

1 ,若当 x∈[0,1)时,f(x) f ? x ? 1?

f (log 1 6) 的值为(
2

) 1 C.- 2 D.-6

B.-5

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 ?ABC 的外接圆半径为 R ? 2 ,

1

且 tan B ? tan C ? A.

2 sin A ,则边 b 的值为( cos C
B.

) D. 4

2

2

C.

6

9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示, 若 f (4) ? ? f (6) ? ?1 , 且 f( ) ? 0 , 则 f (2017) ? ( A

1 2

) B

1 2

2 2

C

1

D

3 2
)

x ?1 ? x ?1 ? 2 ? 2, f x ? 10. 已知函数 ? ? ? ,且 f ? a ? ? ?3 ,则 f ? 6 ? a ? ? ( ? ?? log 2 ? x ? 1? , x ? 1

(A) -

7 4

(B)-

5 4

(C)-

3 4

(D)-

1 4

11.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? 2bx ? c 有两个极值点 x1 , x2,且 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , 3
) D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ?

则直线 bx ? ? a ? 1? y ? 3 ? 0 的斜率的取值范围是( A. ? ? , ?

? 2 2? ? 5 3?

B. ? ? , ?
2

? 2 3? ? 5 2?

C. ? ? , ?

? 2 1? ? 5 2?

? ?

2? 5?

?2 ?3

? ?

12. 已知 f ? x ? ? xe x , 又g ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ? tf ? x ?? t ? R ? ,若方程 g ? x ? ? ?2 有 4 个不
同的根,则 t 的取值范围为( A. ? ??, ? ? 2e ? )

? ?

1 e

? ?

B. ? ??, ? e ?

? ?

1 e

? ?

C. ? ? 2e, ?? ?

?1 ?e

? ?

D. ? ? e, ?? ?

?1 ?e

? ?

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分.
13.函数 f ( x) ? ? x ? 3x 的极大值为
3 2

.

14.已知 2 tan ? ? sin ?

? 3, ?

?
2

? ? ? 0 ,则 sin ? ? ___________
.

15.在区间 [ ?

? ? , ] 上随机取一个数 x ,则 sin x ? cos x ?[1, 2] 的概率是 6 2

2

π 16.已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相

?

?

π 同.若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________.

? ? 三.解答题(共 70 分,解答题应写出文字说明,证明过程和演算步骤,第 17—21 题为必考题,每个试题考生都必须解答,第 22,23 题为选考题,考生根据要求作 答)
17.(本小题满分 12 分) 锐角三角形 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 2b cos B ? a cos C ? c cos A (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若线段 BC 上存在一点 D ,使得 AD ? 2 ,且 AC ? 6 , CD ? 3 ? 1 ,求 S ?ABC .
18. (本小题满分 12 分)4 月 23 日是“世界读书日”,某 中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本 校学生课外阅读情况 ,学校随机抽取了 100 名学生对其 课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学 生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布 直方图, 若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书 迷”,低于 60 分钟的学生称为“非读书迷”。 (1)求 x 的值并估计全校 3000 名学生中“读书迷”大概有多 少?(将频率视为概率) (2)根据已知条件完成下面 2× 2 的列联表,并据此判断是 否有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关?
非读书迷 男 女 合计 读书迷 15 45 合计

附: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,n ? a ?b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P(k 2 ? k0 )

k0

3

19. (本小题满分 12 分) 如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 是弧 上一点,VC 垂直⊙O 所在平面,D,E

分别为 VA,VC 的中点. (1)求证:DE⊥平面 VBC; (2)若 VC=CA=6,⊙O 的半径为 5,求点 E 到平面 BCD 的距离. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的方程为

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,它的一个顶点为 M (0,1) ,离心率为 e ? . 2 a b 3

(1)求椭圆的方程;
(2)设直线 l 与椭圆交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 面积的最大值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x .
3

3 ,求 ?AOB 2

(Ⅰ)直线 y ? k ( x ? 1) 为曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线,求实数 k ; (Ⅱ)若 a ?

e x ,证明: f ? x ? ? ln x ? xe . 2

请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中 x 轴的正

? x ? a ? a cos? , 半轴重合.圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, 0 ? a ? 5 ) ,直线 ? y ? a sin ? ,

l : ? sin(? ? ) ? 2 2 ,若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且 AB ? 2 2 . 4
(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)若 M,N 为曲线 C 上的两点,且 ?MON ? (23) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? 1 | , a ? R . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 2? | x ? 1 | 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 1 时,直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图象围成三角形,求 m 的取值范围.
4

?

? ,求 OM ? ON 的最小值. 3

数学(文科)参考答案
一.选择题 D C C B B D 二.填空题 13 . 4 14 . C B C AA C

?

3 2

15.

3 4

3 - ,3? 16 . ? ? 2 ?

17.解法一: (1)在 V ABC 中, Q 2b ? cos B ? a ? cos C ? c ? cos A ,

? 2b ? cos B ? a ?

1 a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?c? ? b ,….4 分? cos B ? , 2 2ab 2bc

?B ?

?
3

,….5

分 解法二: (1)在 V ABC 中, Q 2b ? cos B ? a ? cos C ? c ? cos A ,

Q 2sin B ? cos B ? sin A ? cos C ? sin C ? cos A=sin( A+C) , …3 分 Q sin( A+C ) ? sin B , …4


? 2sin B ? cos B ? sin B ,

Qs i n B? , 0 ? cos B ?

1 , 2

?B ?

?
3

. ................................ 5 分

(2)在 V ACD 中,由余弦定理可得

cos C ?

AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ( 6) 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 4 2 ,................................................... 7 分 ? ? 2 ? AC ? CD 2 2 6 ? ( 3 ? 1)
,

?C ?

?
4

?A ?? ? B ?C ?

5? ,…….8 分 12
AC AB ? ,? sin B sin C

在 V ABC 中,由正弦定理可得

6 sin

?
3

?

AB sin

?
4

,? AB ? 2 .…10 分

1 1 6 ? 2 3? 3 ? SV ABC ? ? AB ? AC ? sin A ? ? 2 ? 6 ? ? . …..12 分 2 2 4 2
18. (1)由已知可得:(0.01+0.02+0.03+x+0.015)× 10=1,可得 x=0.025,…2 分 因为( 0.025+0.015)× 10=0.4,将频率视为概率, 由此可以估算出全校 3000 名学生中读书迷大概有 1200 人. …4 分 (2)完成下面的 2× 2 列联表如下
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

非读书迷 男 女 合计 40 20 60

读书迷 15 25 40

合计 55 45 100

…8 分

K2 ?

100(40 ? 25 ? 15 ? 20)2 ? 8.249 . 60 ? 40 ? 55 ? 45
…12 分

? 8.249 ? 6.635 ,?有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关.
19. (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,C 是弧 AB 上一点,∴AC⊥CB.
5

又∵VC 垂直⊙O 所在平面,∴VC⊥AC,∴AC⊥平面 VCB. 又∵D,E 分别为 VA,VC 的中点,∴DE∥AC,∴DE⊥平面 VCB.………6 分 (2)解:设点 E 到平面 BCD 的距离为 d, 由 VE﹣BCD=VB﹣CDE 得 ,



,即点 E 到平面 BCD 的距离为



……12 分

x2 ? y2 ? 1 . 20. (1) 3

…3 分(2) ①当 AB ? x 轴时, | AB |? 3

…4

②当 AB 与当 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则有

| m| 1? k
2

?

3 3 ? m2 ? (k 2 ? 1), 2 4 …5分

将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0,? x1 ? x2 ? ?

6km 3(m2 ? 1) , x x ? ,…6 分 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? | AB |2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 )[

36k 2 m2 12(m2 ? 1) 12(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1 ? m2 ) ? ]? (3k 2 ? 1)2 3k 2 ? 1 (3k 2 ? 1)2

?

3(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) 12k 2 12 12 ? 3 ? ? 3? ? 3? ? 4 , …10 2 2 4 2 1 (3k ? 1) 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k


2 当且仅当 9k ?

1 3 ,k ?? 时上式取等号,此时 | AB |? 2,? | AB |max ? 2 ,此时 2 k 3

?AOB 面积的最大值为 S ?

3 …12 2

21. (Ⅰ)解法一:由已知得 f (1) ? 0 ,所以切点坐标 (1,0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 又 f ?1? ? 0 ? a ? 1 ? 0 , 得 a ? ?1 , …2 分

1 f ?( x) ? ? 3x2 ?1 , 所 以 x

k ? f ?( 1 ? ) ?1 ? 3 ? 1 3 .4 分
(Ⅱ)即证: ln x ? ax3 ? x ? ln x ? x e x ,即证: ax3 ? x ? x e x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 因为 x ? 0 ,即证: ax 2 ? 1 ? e x , ·
6

x x x 2 设 h ? x ? ? e ? ax ? 1 , h? ? x ? ? e ? 2ax ,令 h?? ? x ? ? e ? 2a

(i)当 a ?

1 时, h?? ? x ? ? 0 , h? ? x ? 单调递增, h? ? x ? ? h? ? 0? ? 1, h ? x ? 单调递增, 2

h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,满足题意; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
(ii)当 a ?

1 x 时, h?? ? x ? ? e ? 2a ? 0 ,解得 x ? ln 2a , 2

当 x ?? 0,ln2a ? , h?? ? x ? ? 0 , h? ? x ? 单调递减, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 当 x ?? ln2a, ??? , h?? ? x ? ? 0 , h? ? x ? 单调递增, ·
ln 2 a · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 此时 h? ? x ?min ? h?(ln 2a) ? e ? 2a ln 2a ? 2a(1 ? ln 2a) , ·

因为 a ?

e , 1 ? ln 2a ? 0 ,即 h? ? x ?min ? 0 , h ? x ? 单调递增, h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,满足 2

题意; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 综上可得,当 a ?

e · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 时, f ( x) ? ln x ? xe x . · 2

解法二: (Ⅰ)同解法一; (Ⅱ)即证: ln x ? ax3 ? x ? ln x ? x e x ,即证: x e x ? ax 3 ? x , ….5 分 因为 x ? 0 , 即证: e x ? ax 2 ? 1 ? 0 , 8….分 令 k ( x) ? e x ? 因为 a ?

e e 2 x , 即证 e ? x ? 1 ? 0 , 2 2

e 2 x ? 1 ,k ?( x) ? e x ? ex , k??( x) ? ex ? e ? 0 , k ?( x) 单调递增,k ?( x) ? 1 , 2 e k ( x) 单调递增, k ( x) ? k (0) ? 0 .所以 e x ? x 2 ? 1 ? ax 2 ? 1 ,故原不等式得证. ..12 2



? x ? a ? a cos? , ? x ? a ? a cos? , 22(22)解析: (I)由 ? ,得 ? ? y ? a sin ? , ? y ? a sin ? ,
2 ? 圆 C 的普通方程为 ? x ? a ? ? y 2 ? a 2 .即圆心为 (a, 0) ,半径 r ? a . .............................. 2 分

? ? sin(? ? ) ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 2 2 , 4 4 4
把 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入,得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 . ............................... 4 分

?

?

?

7

? 圆心到直线的距离 d ?

a?4 2

,? AB ? 2 r ? d ? 2 2 ,即 a
2 2

2

? a ? 4? ?
2

2

? 2,

得 a ? 2, 或a ? 6 ,? 0 ? a ? 5 ,? a ? 2 . ............................................................................. 5 分 (Ⅱ)由(I)得,圆 C 的普通方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 .
2

把 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入,得 ? ? cos? ? 2 ? ? ( ? sin ? )2 ? 4 ,
2

化简,得圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? . ........................................................................... 7 分 依题意,设 M ( ?1 , ?1 ), N ( ? 2 , ?1 ?

?
3

)(?1 ? ? 0, 2? ?) ,

?? ? ? ? OM ? ON ? ?1 ? ?2 ? 4cos ?1 ? 4cos ??1 ? ? ? 6cos ?1 ? 2 3 sin ?1 ? 4 3 cos(?1 ? ) 3? 6 ?

? ?1 ? ? 0, 2? ? ? OM ? ON 的最小值为 ?4 3 . .............................................................. 10 分
23、解: (I)? f ( x) ? 2? | x ? 1| 恒成立,即 |x ? |+|x ? 1| ? 1 恒成立,

a 2

a ? ( |x ? |+|x ? 1|) min ? 1 成立, ................................................................................................... 2 分 2
由 |x ? |+|x ? 1| ? |x ?

a 2

a a a ? x ? 1|=| ? 1| 得 | ? 1| ? 1 ,.............................................................. 3 分 2 2 2

解得: a ? 0 或 a ? 4 ,所以 a 的取值范围为 (? ?, 0] ? [4, ??) .......................................... 4 分

? ?2 ? 3x ? ? (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 1|? ? x ? ?3x ? 2 ? ?
做出 f ( x) 的图像,如图所示: 8分

1 (x ? ) 2 1 ( ? x ? 1) ................................... 6 分 2 ( x ? 1)

可知,当

1 ? m ? 1 时,直线 y ? m 与函数的图象围成三角形,即所求 m 的取值范围为 2
10 分

1 ( , 1] . 2

8


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