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2016年高中数学组卷


2016 年 09 月 26 日高中数学组卷
一.选择题(共 8 小题) x 2 1. (2016?山东)设集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={x|x ﹣1<0},则 A∪B=( A. (﹣1,1) B. (0,1) C. (﹣1,+∞) D. (0,+∞)
2

) )

2. (2016?浙江)已知集合 P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x ≥4},则 P∪(?RQ)=( A.[2,3] B. (﹣2,3] C.[1,2) D. (﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) 3. (2016?北京)设 , 是向量,则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (2016?江西模拟)下列各组函数中是同一函数的是( A. B. )



C.

D.y=|x|+|x﹣1|与 y=2x﹣1 )

5. (2016?北京)下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是( A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2
﹣x

6. (2016?天津)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增, 若实数 a 满足 f(2
|a﹣1|

)>f(﹣

) ,则 a 的取值范围是(

) D. ( ,+∞) )

A. (﹣∞, ) B. (﹣∞, )∪( ,+∞) C. ( , ) 7. (2014?广西)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C.﹣ D.﹣

8. (2014?新课标 I)若 tanα>0,则( ) A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 二.填空题(共 9 小题) 9. (2015?浙江)若 a=log43,则 2 +2 =______. |x﹣a| 10. (2015?福建)若函数 f(x)=2 (a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,且 f(x)在[m, +∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于______. x 11. (2015?湖南)若函数 f(x)=|2 ﹣2|﹣b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是______. 3 2 12. (2016?浙江)设函数 f(x)=x +3x +1,已知 a≠0,且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a) 2 ,x∈R,则实数 a=______,b=______. x 13. (2016?天津)已知函数 f(x)=(2x+1)e ,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)的值 为______. x 14. (2015?天津)已知函数 f(x)=a lnx,x∈(0,+∞) ,其中 a 为实数,f′(x)为 f(x) 的导函数,若 f′(1)=3,则 a 的值为______. x 15. (2015?陕西)函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为______.
第 1 页(共 10 页)
a
﹣a

16. (2016?四川)sin750°=______. 17. (2016?上海)方程 3sinx=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为______. 三.解答题(共 4 小题) 2 18. (2016?山东)设 f(x)=xlnx﹣ax +(2a﹣1)x,a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f′(x) ,求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 19. (2015?重庆)已知函数 f(x)=ax +x (a∈R)在 x=
3 2

处取得极值.

(Ⅰ)确定 a 的值; x (Ⅱ)若 g(x)=f(x)e ,讨论 g(x)的单调性. 20. (2016?北京)已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)求 f(x)的单调递增区间. 21. (2016?天津)已知函数 f(x)=4tanxsin( (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论 f(x)在区间[﹣ , ]上的单调性. ﹣x)cos(x﹣ )﹣ .

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2016 年 09 月 26 日阳阳老师的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 8 小题) 1. (2016?山东)设集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={x|x ﹣1<0},则 A∪B=( A. (﹣1,1) B. (0,1) C. (﹣1,+∞) D. (0,+∞) x 【解答】解:∵A={y|y=2 ,x∈R}=(0,+∞) , 2 B={x|x ﹣1<0}=(﹣1,1) , ∴A∪B=(0,+∞)∪(﹣1,1)=(﹣1,+∞) . 故选:C.
2 x 2



2. (2016?浙江)已知集合 P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x ≥4},则 P∪(?RQ)=( A.[2,3] B. (﹣2,3] C.[1,2) D. (﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) 2 【解答】解:Q={x∈R|x ≥4}={x∈R|x≥2 或 x≤﹣2}, 即有?RQ={x∈R|﹣2<x<2}, 则 P∪(?RQ)=(﹣2,3]. 故选:B.



3. (2016?北京)设 , 是向量,则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解:若“| |=| |”,则以 , 为邻边的平行四边形是菱形; 若“| + |=| ﹣ |”,则以 , 为邻边的平行四边形是矩形; 故“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的既不充分也不必要条件; 故选:D. 4. (2016?江西模拟)下列各组函数中是同一函数的是( A. B. )



C.

D.y=|x|+|x﹣1|与 y=2x﹣1

【解答】解:∵B 中,y=

,定义域与对应法则都不同,∴排除 B.

又∵C 中,y=|x﹣1|=

,定义域不同,∴排除 C.
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∵D 中,y=|x|+|x﹣1|=

对应法则不同,∴排除 D.

A 中、y= 故选 A.

=

=x,与 y=x 定义域和对应法则均相同,为同一函数;

5. (2016?北京)下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是( A.y= B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2
﹣x



【解答】解:A.x 增大时,﹣x 减小,1﹣x 减小,∴ ∴函数 在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误;

增大;

B.y=cosx 在(﹣1,1)上没有单调性,∴该选项错误; C.x 增大时,x+1 增大,ln(x+1)增大,∴y=ln(x+1)在(﹣1,1)上为增函数,即该选 项错误; D. ;

∴根据指数函数单调性知,该函数在(﹣1,1)上为减函数,∴该选项正确. 故选 D. 6. (2016?天津)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增, 若实数 a 满足 f(2
|a﹣1|

)>f(﹣

) ,则 a 的取值范围是(

) D. ( ,+∞)

A. (﹣∞, ) B. (﹣∞, )∪( ,+∞) C. ( , )

【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵2 ∴2
|a﹣1|

>0,f(﹣ < =2 , . .

)=f(

) ,

|a﹣1|

∴|a﹣1| 解得 故选:C.

7. (2014?广西)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C.﹣ D.﹣



【解答】解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r=
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=5.

∴cosα= = 故选:D.

=﹣ ,

8. (2014?新课标 I)若 tanα>0,则( ) A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 【解答】解:∵tanα>0, ∴ ,

则 sin2α=2sinαcosα>0. 故选:C. 二.填空题(共 9 小题) 9. (2015?浙江)若 a=log43,则 2 +2 = 【解答】解:∵a=log43,可知 4 =3, a 即2 = , 所以 2 +2 = 故答案为:
a
﹣a

a

﹣a



a

+ .

=



10. (2015?福建)若函数 f(x)=2 (a∈R)满足 f(1+x)=f(1﹣x) ,且 f(x)在[m, +∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 1 . 【解答】解:∵f(1+x)=f(1﹣x) , ∴f(x)关于 x=1 对称, ∵函数 f(x)=2 (a∈R) x=a 为对称轴, ∴a=1, ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增, ∵f(x)在[m,+∞)上单调递增, ∴m 的最小值为 1. 故答案为:1. 11. (2015?湖南)若函数 f(x)=|2 ﹣2|﹣b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 0<b< 2 . x x 【解答】解:由函数 f(x)=|2 ﹣2|﹣b 有两个零点,可得|2 ﹣2|=b 有两个零点, x 从而可得函数 y=|2 ﹣2|函数 y=b 的图象有两个交点, 结合函数的图象可得,0<b<2 时符合条件, 故答案为:0<b<2
x
|x﹣a|

|x﹣a|

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12. (2016?浙江)设函数 f(x)=x +3x +1,已知 a≠0,且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a) 2 ,x∈R,则实数 a= ﹣2 ,b= 1 . 3 2 【解答】解:∵f(x)=x +3x +1, 3 2 3 2 ∴f(x)﹣f(a)=x +3x +1﹣(a +3a +1) 3 2 3 2 =x +3x ﹣(a +3a ) 2 2 2 3 2 2 2 ∵(x﹣b) (x﹣a) =(x﹣b) (x ﹣2ax+a )=x ﹣(2a+b)x +(a +2ab)x﹣a b, 2 且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a) ,

3

2



,解得



(舍去) ,

故答案为:﹣2;1. 13. (2016?天津)已知函数 f(x)=(2x+1)e ,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)的值 为 3 . x 【解答】解:∵f(x)=(2x+1)e , x x ∴f′(x)=2e +(2x+1)e , 0 0 ∴f′(0)=2e +(2×0+1)e =2+1=3. 故答案为:3. 14. (2015?天津)已知函数 f(x)=a lnx,x∈(0,+∞) ,其中 a 为实数,f′(x)为 f(x) 的导函数,若 f′(1)=3,则 a 的值为 3 . 【解答】解:因为 f(x)=a lnx,所以 f′(x)=f(x)=lna?a lnx+ a ,又 f′(1)=3,所以 a=3; 故答案为:3. 15. (2015?陕西)函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为 【解答】解:依题解:依题意得 y′=e +xe ,
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x x x x x x x x

y=﹣



令 y′=0,可得 x=﹣1, ∴y=﹣ . 因此函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为 y=﹣ . 故答案为:y=﹣ .
x

16. (2016?四川)sin750°=



【解答】解:sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°= , 故答案为: .

17. (2016?上海)方程 3sinx=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 【解答】解:方程 3sinx=1+cos2x,可得 3sinx=2﹣2sin x,
2





即 2sin x+3sinx﹣2=0.可得 sinx=﹣2, (舍去)sinx= ,x∈[0,2π] 解得 x= 或 或 . .

2

故答案为:

三.解答题(共 4 小题) 2 18. (2016?山东)设 f(x)=xlnx﹣ax +(2a﹣1)x,a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f′(x) ,求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 2 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=xlnx﹣ax +(2a﹣1)x, ∴g(x)=f′(x)=lnx﹣2ax+2a,x>0, g′(x)= ﹣2a= ,

当 a≤0,g′(x)>0 恒成立,即可 g(x)的单调增区间是(0,+∞) ; 当 a>0,当 x> 当 0<x< 时,g′(x)<0,函数为减函数,

,g′(x)>0,函数为增函数,

∴当 a≤0 时,g(x)的单调增区间是(0,+∞) ; 当 a>0 时,g(x)的单调增区间是(0, ) ,单调减区间是( ,+∞) ;

(Ⅱ)∵f(x)在 x=1 处取得极大值,∴f′(1)=0, ①当 a≤0 时,f′(x)单调递增, 则当 0<x<1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
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当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在 x=1 处取得极小值,不合题意, ②当 0<a< 时, >1,由(1)知,f′(x)在(0, 时,f′(x)>0, )内单调递增,即 f(x)在 x=1 处取得极小值, )内单调递增,

当 0<x<1 时,f′(x)<0,当 1<x< ∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1, 不合题意. ③当 a= 时,

=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

则当 x>0 时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意. ④当 a> 时,0< 当 <1,

<x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,

∴当 x=1 时,f(x)取得极大值,满足条件. 综上实数 a 的取值范围是 a> .

19. (2015?重庆)已知函数 f(x)=ax +x (a∈R)在 x= (Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)若 g(x)=f(x)e ,讨论 g(x)的单调性. 2 【解答】解: (Ⅰ)对 f(x)求导得 f′(x)=3ax +2x. ∵f(x)=ax +x (a∈R)在 x= ∴f′(﹣ )=0, ∴3a? ∴a= ; (Ⅱ)由(Ⅰ)得 g(x)=( x +x )e ,
3 2 x 3 2 x

3

2

处取得极值.

处取得极值,

+2?(﹣ )=0,

∴g′(x)=( x +2x)e +( x +x )e = x(x+1) (x+4)e , 令 g′(x)=0,解得 x=0,x=﹣1 或 x=﹣4, 当 x<﹣4 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当﹣4<x<﹣1 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 当﹣1<x<0 时,g′(x)<0,故 g(x)为减函数; 当 x>0 时,g′(x)>0,故 g(x)为增函数; 综上知 g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)内为减函数,在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)内 为增函数.

2

x

3

2

x

x

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20. (2016?北京)已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)求 f(x)的单调递增区间. 【解答】解: (1)f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx= 由 T= ,得 ω=1; . ,得 ](k∈Z) . . = .

(2)由(1)得,f(x)= 再由 ∴f(x)的单调递增区间为[

21. (2016?天津)已知函数 f(x)=4tanxsin( (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论 f(x)在区间[﹣ ,

﹣x)cos(x﹣

)﹣



]上的单调性. ﹣x)cos(x﹣ ,k∈Z}, )﹣ .

【解答】解: (1)∵f(x)=4tanxsin( ∴x≠kπ+

,即函数的定义域为{x|x≠kπ+ sinx)﹣

则 f(x)=4tanxcosx?( cosx+ =4sinx( cosx+
2

sinx)﹣

=2sinxcosx+2 sin x﹣ =sin2x+ (1﹣cos2x)﹣ =sin2x﹣ cos2x =2sin(2x﹣ ) , ; ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z, ,kπ+ ],k∈Z,

则函数的周期 T= (2)由 2kπ﹣ 得 kπ﹣

≤x≤kπ+

,k∈Z,即函数的增区间为[kπ﹣ , ],k∈Z, , ],

当 k=0 时,增区间为[﹣ ∵x∈[﹣ ,

],∴此时 x∈[﹣

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由 2kπ+ 得 kπ+

≤2x﹣ ≤x≤kπ+

≤2kπ+

,k∈Z, ,kπ+ ],k∈Z,

,k∈Z,即函数的减区间为[kπ+ ,﹣ ],k∈Z, ,﹣ ], ,﹣

当 k=﹣1 时,减区间为[﹣ ∵x∈[﹣ 即在区间[﹣ , ,

],∴此时 x∈[﹣

]上,函数的减区间为∈[﹣

],增区间为[﹣



].

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