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【重点资料】2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质作业 苏教版选修2-1

2.2.2 椭圆的几何性质 [基础达标] 1.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为________. y2 x2 ?1 ? 1 2 1 2 解析:把椭圆的方程化为标准形式 + =1? >1?,故 a = ,b =1,所以 a= ,b 1 1 m m ?m ? 2 2 m =1,2 1 1 =4,解得,m= ,符合题意. m 4 1 答案: 4 1 2.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆的方程 3 是________. c 1 解析:由题意,知 2a=12, = ,故 a=6,c=2, a 3 ∴b =a -c =32,故所求椭圆的方程为 + =1. 36 32 答案: + =1 36 32 3.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0<e≤ 解析:由 e = 2= 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 3 ,则长轴的最大值是________. 2 c2 a2-b2 a2-1 a2-1 3 2 = 2 ,得 0< 2 ≤ ,解得 1<a ≤4.故 1<a≤2,2<2a≤4. 2 a a a a 4 即长轴的最大值是 4. 答案:4 4. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ________. 2 2 2 解析:由题意知 2b=a+c,又 b =a -c , 2 2 2 2 ∴4(a -c )=a +c +2ac. 2 2 2 2 ∴3a -2ac-5c =0,∴5c +2ac-3a =0. 3 2 ∴5e +2e-3=0,∴e= 或 e=-1(舍去). 5 3 答案: 5 x2 y2 1 5.若椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为________. 16 m 3 m 1 16 1 128 解析:由已知得 1- = 或 1- = ,∴m= 或 18. 16 9 m 9 9 128 答案: 或 18 9 → → 6.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF 1·MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心 率的取值范围是________. 解析:结合图形(图略),转化为 c<b. 1 答案:?0, ? ? 2? ? 2? 7.设 P 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,如果∠PF1F2=75°, ∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率是________. 解析:在 Rt△PF1F2 中,由正弦定理, = = =2c, sin 15° sin 75° sin 90° PF1+PF2 ∴ =2c. sin 15°+sin 75° 由椭圆的定义,知 PF1+PF2=2a. c 1 6 代入上式,有 e= = = . a sin 75°+sin 15° 3 得 答案: 6 3 x2 y2 a b PF1 PF2 F1F2 x2 y2 a b 切于椭圆的一个焦点,与 y 轴相交于 B、C 两点,若△ABC 是锐角三角形,则该椭圆的率心 率的取值范围是________. 2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,以椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点 A 为圆心的圆与 x 轴相 b A c π 解析:由题意得,圆半径 r= ,因为△ABC 是锐角三角形,所以 cos 0>cos = >cos , a 2 r 4 即 2 c 2 ac 2 e 5-1? ? 6- 2 < <1,所以 < 2 < , ?. 2<1,即 2<1,解得 e∈? 2 r 2 a -c 2 1-e 2 ? ? 2 答案:? 5-1? ? 6- 2 , ? 2 ? ? 2 9.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在 x 轴上,短轴的一个顶点 B 与两个 2π 焦点 F1,F2 组成的三角形的周长为 4+2 3,且∠F1BF2= ,求椭圆的标准方程. 3 π 3 解:设长轴长为 2a,焦距为 2c,则在△F2OB 中,由∠F2BO= 得:c= a,所以△F2BF1 3 2 的周长为 2a+2c=2a+ 3a=4+2 3,∴a=2,c= 3,∴b =1;故所求椭圆的标准方程 为 +y =1. 4 10.已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, → → OB=2OA,求直线 AB 的方程. 解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 3 a -4 3 其离心率为 ,故 = ,则 a=4, 2 a 2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 → → (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. 2 2 x2 2 x2 y2 x2 y2 x2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4, 4 4 2 所以 xA= 2, 1+4k 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k )x =16, 16 4 16 2 所以 xB= 2, 4+k 16 16 → → 2 2 又由OB=2OA,得 xB=4xA,即 2= 2, 4+k 1+4k 解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程 为 y=kx. 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4, 4 4 2 所以 xA= 2, 1+4k 2 16 16k → → 2 2 由OB=2OA,得 xB= 2,yB= 2,

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