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(新课标Ⅱ第四辑)2016届高三数学上学期第三次月考试题 文

第三次月考数学文试题
一、选择题。每小题给出的四个选项中,只有一个符合题意。 (本题共 12 小题,共 60 分。 ) 1、设集合 A ? {x | ?x2 ? 4x ? 3 ? 0}, B ? {x | 2x ?1 ? 3}, 则A ? B ? ( A. {x | x ? ?1或x ? 1} 2、复数 B. {x | x ? ?1或x ? 2} C. {x | 2 ? x ? 3} ) D.一 1 ) D.R

a ? 2i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? 2i A. ? 4 B.4 C. 1 ? ? ? ? 3、设向量 a ? (m,1), b ? (2, ?3) ,若 a // b ,则 m ? ( ) 1 1 2 2 A. B. ? C. D. ? 3 3 3 3

4、四名同学根据各自的样本数据研究变量 x, y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以 下四个结论: ① y 与 x 负相关且 ? y ? 2.347 x ? 6.423 ; ② y 与 x 负相关且 ? y ? ?3.476 x ? 5.648 ; ③ y 与 x 正相关且 ? y ? 5.437 x ? 8.493 ; ④y 与 x 正相关且 ? y ? ?4.326 x ? 4.578 . 其中一定不正确 的结论的序号是 ( ) ... A.①② B.②③
2

C.③④
2

D. ①④ )

5、若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?4
x 2

B. 4

x y ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 C. ? 2 D. 2

6、设 f ? x ? ? 3 ? x ,则在下列区间中,使函数 f ? x ? 有零点的区间是( ) A.

?0,1?

B ?1, 2?

C.

??2, ?1?

D.

??1,0?
)

7、阅读如下程序框图,如果输出 i ? 4 ,那么空白的判断框中应填人的条件是 (

A. S<8?

B. S<12?

C. S<14?

D. S<16?

8、 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) , g ( x) ? cos( x ?

?
2

) ,则下列结论中正确的是(



A.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期为 2? B.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 1

1

? 单位后得 g ( x) 的图象 2 ? D.将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 单位后得 g ( x) 的图象 2
C.将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 9、某校运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为 15°的看台上,同一列上的第一排和最后 一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一 排的距离为 10 6 m(如图),则旗杆的高度为( ) A.10 m B.30 m C.10 3 m D.10 6 m 10、直线 ax ? 1 y ? 2 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? r 2 相切,则圆的半径最大时, a 的值是(
a



A. 1

B. ? 1

C. ? 1

D. a 可为任意非零实数

11、已知 A、B、C 是球 O 的球面上三点,三棱锥 O-ABC 的高为 2 2 ,且 ?ABC ? 600 ,

AB ? 2, BC ? 4 ,则球 O 的表面积为(
A. 24? B. 32?

) D. 96?

C. 48?

12 、 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 1) ?
x ,则 f (log2 20) ? ( f ( x )? 2 ? 1

1 f ( x)

, 当 x ? ? ?1, 0 ? 时,

) D. ?

A.

1 5

B. ?

1 5

C.

1 4
2

1 4

二、填空题。 (每小题 5 分,共 20 分) 13、已知命题 p : ?x ? R ,使 x ? 2 x ? 3 成立,则 ? p 14、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 。

15 、 已 知 等 差 数 列 {a n } 中 , a1 ? a4 ? a7 ? ? , 那 么

5 4

cos(a3 ? a5 ) ?



16、已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a | ,当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 。

三、解答题(解答应写出必要的演算过程或文字说明。本大题共 6 小题,共 70 分。 ) 17、 (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 轴为极轴建立极坐标系.
2

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数) .以 O 为极点,x 轴的非负半 ? y ? sin ?

(Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ) 直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 , 射线 OM : ? ? 与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

?
3

与圆 C 的交点为 O、 P,

18、 (本小题满分 12 分) 年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄人有 350 人, 他们的健康状况 如下表: 健康指数 60 岁至 79 岁的人数 80 岁及以上的人数 2 120 9 1 133 18 0 34 14 -1 13 9

其中健康指数的含义是:2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康,但生活能够 自理”,-1 代表“生活不能自理”。 (Ⅰ)随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理的概率是多少? (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机地访问 其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率.。

19、(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 与 {bn } ,若 a1 ? 3 且对任意正整数 n 满足 an ?1 ? an ? 2, 数列 {bn } 的前 n 项和

S n ? n 2 ? an 。
(Ⅰ)求数列 {an }{ , bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

20、(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面) ABC ? A1B1C1 中, D 是 BC 的中点,

AA1 ? AB ? 1 。
(Ⅰ) 求证: AC 1 ∥平面 AB1D ; (Ⅱ)求点 C 到平面 AB1D 的距离。 21、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的 4

左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。

3

(Ⅰ)求双曲线 C2 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点) ,求实数 k 的范围。

??? ???

22、 (本小题满分 12 分)

x3 ? 2 x 2 已知函数 f ( x) ? 。 ex
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 x ? 0 时, af ( x) ? xf ( x) ?
'

4 x2 恒成立,求实数 a 的取值范围。 ex

参考答案 一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 C B D D B D B C B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 C A 1 12

4

13、 ?x ? R , x ? 2 x ? 3 成立
2

14、

3 2

15、 ?

3 2

16、 ? 4, ???

三、解答题 17、 (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)圆 C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,化为极坐标方程为 ? ? 2cos ?

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? (Ⅱ)法一:由 ? :由 ? ? P(1, ) ; ? Q(3, ) ? ? 3 3 ?? ? ?? ? 3 ? 3 ?
从而 PQ ?

?1 ? ?2 ? 2

法二:直线 l : 3x ? y ? 3 3 ? 0 ,射线 OM : y ? 3x
2 2 ? ? 1 3 3 3 3 ?( x ? 1) ? y ? 1 ? 3x ? y ? 3 3 ? 0 ? P( , ) ; ? Q( , ) 由? :由 ? 2 2 2 2 ? ? ? y ? 3x ? y ? 3x

从而由两点间距离公式得 PQ ? 2 18、 (本小题满分 12 分)

287 ; 300 6 3 ? (Ⅱ) P ? 10 5
解: (Ⅰ) P ? 19、 (本小题满分 12 分) 解: (I)由题意知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列 又因为 a1 ? 3 所以 an ? 2n ? 1 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 4 ; 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? n ? 2n ? 1 ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? 2n ? 1
2 2

?

?

?

?

对 b1 =4 不成立。 所以,数列 {bn } 的通项公式: bn ? ?

?4, (n ? 1) ?2 n ? 1, (n ? 2)

(II) n ? 1 时, T1 ?

1 1 ? b1b2 20

n ? 2 时,

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

5

所以 Tn ?

1 1?1 1 1 1 1 1 ? 1 n ?1 6n ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 20 2 ? 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? 20 10n ? 15 20(2n ? 3)
1 n ?1 6n ? 1 ? ? 20 10n ? 15 20(2n ? 3)

n ? 1 仍然适合上式
综上, Tn ?

20、 (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ∵DE 平面 AB1D,A1C 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (Ⅱ)由体积法 VC ? AB D ? VB ? ACD ? d ? 1 1 21、 (本小题满分 12 分)

5 5

x2 y 2 解: (1)设双曲线 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1, a b
则a
2

? 4 ? 1 ? 3 ,再由 a 2 ? b2 ? c2 得 b2 ? 1

x2 2 ? y ?1 故 C2 的方程为 3 x2 2 ? y ?1 (2)将 y ? kx ? 2 代入 3
得 (1 ? 3k
2

) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0

由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点得:
2 ? ?1 ? 3k ? 0 ? 2 2 2 ? ? ? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0

?k2 ?

1 2 且 k ? 1?? ① 3

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2

?

6 2k ?9 , x1 x2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
2

3k 2 ? 7 ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? (k ? 1) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 3k ? 1

??? ? ??? ? 3k 2 ? 7 ? ?2 又? OA ? OB ? 2 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 2 3k 2 ? 1
6

1 ?3k 2 ? 9 ? 0 ,解得: ? k 2 ? 3,?? ② 即 2 3 3k ? 1
由①、②得:

1 2 ? k ?1 3

故 k 的取值范围为 (?1, ? 22、 (本小题满分 12 分)

3 3 ) ? ( ,1) 3 3
'

解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R , f ( x) ? 列表可求得

? x( x ? 1)( x ? 4) ex 32 1 ; f ( x)极小值 =f (1) ? ? 4 e e

f ( x)极大值 =f (0) ? 0 和 f ( x)极大值 =f (4) ?
' (Ⅱ)当 x ? 0 时,由 af ( x) ? xf ( x) ?

4 x2 化简得 a( x ? 2) ? ( x ? 1)( x ? 4) ? 4 ex

2 令 t ? x ? 2 ,则化为 at ? t ? t ? 2 2 ①当 t ? 0 ,即 x ? 2 时, at ? t ? t ? 2 等价于 a ? t ?

2 ?1, t

2 2 ? t ? ? 1 ? 2 t ? ? 1 ? 2 2 ? 1, t t
当且仅当 t ?

2 ,即 t ? 2 ,亦即 x ? 2 ? 2 取等号, t

此时 a ? 2 2 ?1 ;
2 ②当 t ? 0 ,即 x ? 2 时,不等式 at ? t ? t ? 2 恒成立,此时 a ? R ; 2 ③当 t ? 0 ,即 0 ? x ? 2 时, at ? t ? t ? 2 等价于 a ? t ?

2 ?1 , t

2 2 ? 2 ? ? t ? ? 1 ? ? ?(?t ) ? (? ) ? ? 1 ? ?2 (?t ) ? (? ) ? 1 ? ?2 2 ? 1 t t ? t ?
当且仅当 ?t ? ?

2 ,即 t ? ? 2 ,亦即 x ? 2 ? 2 取等号, t

此时 a ? ?2 2 ?1 ; 综上所述 ?2 2 ? 1 ? a ? 2 2 ? 1 (其他方法也可以,比如转化为二次函数的最值)

7


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