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《平面向量的正交分解及坐标表示》课件 2_图文

2.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示

复习
平面向量基本定理

如果e1,e2是同一平面内的两个不 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2
使a= λ1 e1+ λ2 e2

复习

a= λ1 e1+ λ2 e2

(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面 内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线;

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的 条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. λ1,λ2是被 a , e1、 e2唯一确定的数量。

向量夹角
B

b
a

b
?

O

a

A

思考:
已知∠AOB是两个非零向量a,b的夹角 (1)∠AOB的取值范围什么? (2)若a,b同向,则∠AOB=? (3)若a,b反向,则∠AOB=?

向量a与b的夹角是90°,则称向量a与b 垂直,记作a⊥b. 思考: 互相垂直的两个向量能否作为平 面内所有向量的一组基底?
b a

λ2 a2

a

把一个向量分解为两个互相垂 直的向量 ,叫做把向量正交分解
λ 1a 1

F1 G

F2

正交分解

练习:如图,向量i、j是两个互相垂直的 单位向量, |a|=4,向量a与i的夹角是30°, 用向量i、j为基底,表示向量a

a ?2 3 i?2 j
B j
O i

a

P A

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基 底时,会为我们研究问题带来方便。

我们知道,在平面直角坐标系, 每一个点都可用一对有序实数(即它 的坐标)表示,对直角坐标平面内的 每一个向量,如何表示?

y

yj
j O i

a

分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a, 由平面向量基本定理知,有且只 x 有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j
把(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标, y叫做a在y轴上的坐标

xi

a = ( x, y )
y

i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )

yj j O i

a x

xi

y

向量a、b有什么关系? a=b

yj yj j O i

a

b

能说出向量b的坐标吗?

b=( x,y )
xi xi x

相等的向量坐标相同

y

a
A (x,y)

如图,在直角坐标平面内,以原 点O为起点作OA=a,则点A的位 置由a唯一确定。

y
j O i

设OA=xi+yj,则向量OA的坐标 (x,y)就是点A的坐标; x
反过来,点A的坐标(x,y)也就是 向量OA的坐标。

x

因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。

练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.

(1)a ? (1, 2)
解:
y

(2)b ? (?1, 2)
B(?1, 2)
y

. A(1, 2)
a
x

.

o

b

o

x

例.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标.
b ? ?2i ? 3 j ? ( ?2, 3)

b

y 5 4 3 2 1
-2 -1
O

B

AB ? 2i ? 3 j ? (2,3)

a
A
j

-4 -3 c ? ?2i ? ? ?3? j

? ( ?2, ?3)

c

-1 -2 -3 -4 -5

i1

2

3

4

x

d

d ? 2i ? ? ?3? j ? (2, ?3)

问题1 : AB 的坐标与点A 的坐标和点B的坐标有什么关系? 问题2: a ?b 的坐标与a的坐标和b 的坐标有什么关系?

随堂练习

1、 a= ? 4,6 ? ,且a=2b,那么 b的坐标是 B
A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3) 2、若向量a= ? x-2,3 ? 与向量b= ?1,y+2 ? 相等,那么 B A、x=1,y=3 B、x=3,y=1

C、x=1,y=-3

D、x=5,y=-1

3、已知AB= ? x,y ? , B的坐标是 ? -2,1? ,那么 OA的坐标为 C A、(x-2,y+1) B、(x+2,y-1)
C、(-2-x,1-y) D、(x+2,y+1)

4、若向量a= ?1, 1? ,b= ?1, -1? ,c= ? -1, 2 ? ,那么 c等于 B 1 3 1 3 3 1 3 1 A、 - a+ b B、 a- b C、 a- b D、 - a+ b 2 2 2 2 2 2 2 2 5、已知a= ? 3,-1? ,b= ? -1,2 ? ,那么-3a-2b等于 B
A、 ? 7,1? B、 -1? C、 -1? ? -7, ? -7,1? D、 ? 7,

6、已知B的坐标是 ? m,n ? ,AB 的坐标为(i,j),则点A A 的坐标为

A、(m-i,n-j)
C、(m+i,n+j)

B、(i-m,j-n)
D、(m+n,i+j)

小结 平面向量的正交分解

平面向量的坐标表示


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