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河北省邯郸市2015届高三上学期摸底考试(数学理)

邯郸市 2015 届高三年级摸底考试 理科数学 一.选择题 1.已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ,则 A. M ? N 2.复数 z ? B. N ? M C. M ? N ? {2,3} D. M ? N ? (1,4)

?

?

i +1 ( i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在 i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况, 采用分层抽样的方法从高一 600 人、 高二 780 人、高三 n 人中,抽取 35 人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为 13 人,则 n 等于 A、660 B、720 C、780 D、800

4.设 a ? log2 3 , b ? log4 6 , c ? log8 9 ,则下列关系中正确的是 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a D. c ? a ? b

5.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a 12 ? a 13 ? A、75 B、90 C、105 D、120

6.阅读程序框图,运行相应程序,则输出 i 的值为 A.3 B.4 C.5 D.6

7. 如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1 cm,粗实线为某空间几何体的三视图,则该几

何体的体积为 A. 2 cm3 B. 4 cm3 C. 6 cm3 D.8 cm3

8.函数 f ( x) ? 2 x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 上的图象大致为 2 2

A

B

C

D

?x ? 2 y ? 0 ? 9. 设 z ? x ? y ,其中 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2

10. 把半径为 2 的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内,现在往该圆内任投一点, ,此点落在星形内的概率为 A.

4

?

?1

B.

2

?

C.

4

?

?

1 2

D.

1 2

? 11.已知 A, B, C 点在球 O 的球面上, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2 .球心

O 到平面 ABC 的距离为 1,则球 O 的表面积为

A.12?

B. 1 ? 6
2

C. 3 ? 6

D. 2 ? 0

12. 抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上的点,若三角形 OFM 的 外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 36 ? ,则 p 的值为 A.2 B.4 C.6 D.8

二.填空题

1? ? 13. 二项式 ? x 2 - ? 展开式中 x 的系数为___________________.-10 x? ?
14..某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋 友 1 本,则不同的赠送方法共有 10 种.

5

D 是 AB 的中点, E 为线段 AC 上一动点, 15.在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, 则 EB ? ED

的取值范围为

? 23 ? ? 16 ,3? ? ?

16.如果定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不等的实数 x1 , x2 都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , 则 称 函 数 f ( x) 为 “ Z 函 数 ” 给 出 函 数 :
2 ? ? ?ln x , x ? 0 ? x ? 4 x, x ? 0 ④y ? ? 2 。 ①y ? - x3 ? 1 , ②y ? 3x - 2sin x - 2cos x ③y ? ? 0, x ? 0 ? x ? x , x ? 0 ? ? ? ?

以上函数为“ Z 函数”的序号为 三.解答题 17. 已知递增等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 S3 ? 2S2 ? 1 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? a n (n ? N * ) ,且 {bn } 的前 n 项和 Tn . 求证: Tn ? 2 18. (本小题满分 12 分)在三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 三角形的面积为 S ? (1)求角 B 的大小 (2)若

3 ac cos B . 2

c a 1 1 ? ? 4 ,求 ? 的值. a c tan A tan C

19 . (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AD ? 平面 A1 BC ,其垂足 D 落 在直线 A1 B 上. (1)求证: BC ⊥ A1 B
B1 A1 C1

(2)若 AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求二面角

P ? A1 B ? C 的平面角的余弦值
A

D

P

C

B

20.某商场组织有奖竞猜活动,参与者需要先后回答两道选择题,问题 A 有三个选项,问题 B 有四个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题 A 可获奖金 25 元,正确回答问 题 B 可获奖金 30 元,活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答 正确,则继续答题,否则该参与者猜奖活动终止,假设一个参与者在回答问题前,对这两个 问题都很陌生,只能用蒙猜的办法答题。 (1)如果参与者先回答问题 A,求其获得奖金 25 元的概率; (2)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.

x2 y 2 21. 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三 a b
角形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切。 (1)求椭圆的方程。 (2)设 P 为椭圆上一点,若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T ,且满 足 OS ? OT ? t OP (O 为坐标原点),求实数 t 的取值范围 22. 已知函数 f ( x ) ?

e ax x

(1)若 f ( x ) 在区间 ?1 , +?? 单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ?

1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [m, m ? 1](m ? 0) 上的最小值. 2
邯郸市 2015 届高三摸底考试理科数学答案

一、选择题 1-5CDBAC 6-10 BBDCA 11-12 AD 二、填空题 13.-10 14.10 15. ? ,3? ? 16 ?

? 23 ?

16.②④

三、解答题 17. 解: (1)设公比为 q,由题意:q>1, a1 ? 1 ,则 a2 ? q , a3 ? q 2 ,∵ ∴ a1 ? a2 ? a3 ? 2(a1 ? a2 ) ? 1 ,……………2 分 则 1 ? q ? q ? 2(1 ? q) ? 1 解得: q ? 2 或 q ? ?1 (舍去) ,
2

s

3

? 2 s2 ? 1,

∴ an ? 2

n ?1

……………4 分

(Ⅱ) bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2 n ?1 ……………6 分

Tn ? ?1 ? 3 ? .....? ?2n ? 1?? ? 1 ? 1 ? 2 ? ......2n?1

?

?

?

n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? ? n 2 ? 2n ? 1 ……………8 分 2 1? 2

又∵ Tn ∴ Tn ∴ Tn 18.

1,??? 上是单调递增的 ? n 2 ? 2n ?1 在 ?

?T 1 ? 2

? 2 …………………………10 分
ABC 中 S?

解 (1) 在 三 角 形

1 3 ac sin B , 由 已 知 S ? ac cos B 可 得 2 2

1 3 ac sin B ? ac cos B ? t a B n ? 3 ? B为 三 角 形 内 角 , 2 2
0﹤ B ﹤ ? ? B ?

?
3
?B ?

-------------5 分

(2)?

c a a 2 ? c 2 b 2 ? 2ac cos B ? ? ? ?4 a c ac ac

?
3

? b 2 ? 3ac

由 正 弦 定 理 可 得

3 1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) sin B ? ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C sin A sin C

s i 2n B ? 3s i A ns i C n

?B ?

?

? sin A sin C ?

1 4

?

3 ?2 3 2 sin A sin C

----------12 分

19. (Ⅰ)证明:

三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

? A1 A ? 平面 ABC ,又 BC ? 平面 ABC , ? A1 A ? BC
-

AD ? 平面 A1BC ,且 BC ? 平面 A1BC ,

? AD ? BC . 又

AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,

? BC ? 平面 A1 AB ,
又 A1 B ? 平面 A1 BC ,

? BC ? A1 B -----------------------------------5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? 平面 A1 AB , AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB

如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 B ? xyz

AD ? 平面 A1BC ,其垂足 D 落在直线 A1B 上,

z
A1 C1

?

AD ? A1 B .

在 Rt ??ABD 中, AD ? 3 ,AB=2,

B1

AD 3 0 , ?ABD ? 60 sin ?ABD ? ? AB 2
在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? AB . 在 Rt??ABA 1 中, AA 1 ? AB ? tan 60 ? 2 3
0

y

D
A

x

P

C

,

B

则 B (0,0,0), A(0,2,0) ,C(2,0,0),P(1,1,0), A1 (0,2,2 3 ), BP ? (1,1,0)

BA1 ? (0,2,2 3 ) BC ? (2,0,0)
设平面 PA 1 B 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z )



? ?n1 ? BP ? 0 ? x ? y ? 0 ? 即? ? n ? BA ? 0 ?2 y ? 2 3 z ? 0 1 ? 1
? ?n 2 ? BC ? 0 ? x ? 0 ? 即? ? ?n2 ? BA1 ? 0 ?2 y ? 2

可得 n1 ? (3,?3, 3)

设平面 CA1 B 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z)



3z ? 0

可得 n2 ? (0,?3, 3)

cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 n1 n2

?

2 7 7

? 二面角 P ? A1 B ? C 平面角的余弦值是

2 7 ………12 分 7

( Ⅱ ) 或 ? AD ? 平面A1BC, 则AD 即为平面 A1 BC的法向量 在 Rt??ABD 中 ,
1 3 3 3 AD ? 3 ,AB=2,则 BD=1 可得 D( 0, , ) AD ? (0,? , ) 2 2 2 2

cos n1 ? AD ?

n1 ? AD n1 AD

?

2 7 7
2 7 ………12 分 7

? 二面角 P ? A1 B ? C 平面角的余弦值是

20. 解:随机猜对问题 A 的概率 P 1 ?

1 1 ,随机猜对问题 B 的概率 P2 ? . 3 4

(1)设参与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元为事件 M , 则 P?M ? ? P 1 (1 ? P 2) ?

1 3 1 1 ? ? ,即参与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元概率为 3 4 4 4
-------------5 分

(2)参与者回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: ①先回答问题 A 再回答问题 B,参与者获奖金额 ? 可取 0,25,55, 则 P(? ? 0) ? 1 ? P 1 ?

2 1 1 , P(? ? 25) ? P , P(? ? 55) ? PP 1 (1 ? P 2) ? 1 2 ? 3 4 12
-------------8 分

E (? ) ?

②先回答问题 B 再回答问题 A,参与者获奖金额? 可取 0,30,55 则 P (? ? 0) ? 1 ? P2 ?

130 12

3 1 1 , P(? ? 30) ? P2 (1 ? P , P(? ? 55) ? PP 1) ? 1 2 ? 4 6 12

E (? ) ?

115 12
-------------12 分

因为 E (? ) ? E (? ) ,所以应该先答问题 A,再答问题 B。

21. 解: (1)由题意:以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 ,
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? a …………*

x2 y2 ∵椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 a b
形, b=c, a ? 故所求椭圆方程为

2b ? 2c 代入*式得 b=c=1 ∴ a ? 2b ? 2
x2 ? y 2 ? 1. ………4 分 2

(Ⅱ)由题意知直线 L 的斜率存在,设直线 L 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 p?x0 , y0 ? 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k ∴ ? ? 64k ? 4 1 ? 2k
4

?

2

?x

2

? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 …………6 分

?

2

??8k

2

? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0

?

∴k ?
2

1 2

8k 8k 2 ? 2 设 S ?x1 , y1 ? , T ?x2 , y2 ? 则 x1 ? x2 ? ………………8 分 , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0, OS ? OT ? t OP 成立,故,t=0 符合题意。 当t ? 0时

2

8k ? tx ? x ? x ? 0 1 2 ? 1? 2 k 2 ? ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4 ) ? ? 4 k 得 0 1 2 1 2 ? 1? 2 k 2 ?
2



1 ? 4k 1 8k ……………10 分 x0 ? ? , y0 ? ? 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k

2

32k 4 16k 2 将上式代入椭圆方程得: 2 ? ?1 t (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2
16k 2 整理得: t ? 1 ? 2k 2
2

由k ?
2

1 2 知0 ? t ? 4 2

所以 t∈(-2,2)……………12 分

22. 解:(1)由题知:函数 f ( x ) 在上为增函数,故 ( 立 又由 eax ? 0, x2 ? 0 ,则 ax ? 1 ? 0 ,即 a ? 又 ( ) max ? 1 ,故 a ? 1 -------------5 分

eax eax (ax ? 1) )? ? ? 0 在 ?1 , +?? 上恒成 x x2

1 在 ?1 , +?? 上恒成立 x

1 x

x x e 2 ( ? 1) 1 e 2 ( x ? 0) , f ( x )? ? (2)当 a ? 时, f ( x) ? x2 2 x
x 2

x ? 1 ? 0 时,即 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 2 x 当 ? 1 ? 0 时,即 x ? 0 或 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 2
当 则 f ( x ) 的增区间是 (2, ??) ,减区间是 (??, 0) , (0, 2) 由于 m ? 0 ,则 m ? 1 ? 1 -------------8 分

当 m ? 1 ? 2 时,即 0 ? m ? 1 时, f ( x ) 在 ?m, m ?1? 上单调递减

则 f ( x)min

e2 ? f (m ? 1) ? m ?1

m?1

当 m ? 2 ? m ? 1 时,即 1 ? m ? 2 时, f ( x ) 在 ?m,2? 上单调递减,在 ? 2, m ? 1? 单调递增。 则 f ( x ) min ? f (2) ?

e 2

当 m ? 2 时, f ( x ) 在 ?m, m ?1? 上单调递增。则 f ( x) min

e2 ? f (m) ? m

m

综上可知:当 0 ? m ? 1 时, f ( x)min 当 1 ? m ? 2 时, f ( x ) min ? f (2) ?
m

e2 ? f (m ? 1) ? m ?1

m?1

e 2

当 m ? 2 时, f ( x) min

e2 -------------12 分 ? f (m) ? m


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